1、第第1717章章 壓桿穩定壓桿穩定 17. .1 壓桿穩定性問題的分析及認識壓桿穩定性問題的分析及認識 17. .2 壓桿的臨界壓力壓桿的臨界壓力 17. .3 壓桿的臨界應力壓桿的臨界應力 17. .4 壓桿的穩定條件及穩定計算壓桿的穩定條件及穩定計算 第二章中，軸向拉、壓桿應滿足強度條件 但是，如果取一根長度為lm的松木直桿，其橫截面面 積為5mm30mm，抗壓強度極限為=40MPa 。此桿的極限承 載能力應為 17. .1 壓桿穩定性問題的分析及認識壓桿穩定性問題的分析及認識 17.1.1. 壓桿的穩定性問題 試驗發現，若將木桿豎立在桌上，用手壓其上端，則當 壓力不到30N時, 木桿就被

2、明顯壓彎。這個壓力比計算的極 限荷載小兩個數量級。當木桿被明顯壓彎時，就不可能再承 擔更大的壓力。 由此可見，木桿的承載能力并不完全取決于軸向壓縮的強 度。 為什么？ 剛體的平衡 穩定平衡不穩定平衡隨遇平衡 17.1.2. 穩定性問題的分析 實際的受壓桿件由于: 1. 其軸線并非理想的直線而存在初彎曲， 2. 作用于桿上的軸向壓力有“偶然”偏心， 3. 材料性質并非絕對均勻， 因此在軸向壓力作用下會發生彎曲變形，且由此引起的側 向位移隨軸向壓力的增大而更快地增大。 對于細長的壓桿，最終會因為彈性的側向位移過大而喪失 承載能力； 壓桿能否保持其原有直線平衡狀態的問題稱為壓桿的穩定 （stable

3、）性問題。 工程中有些構件具有足夠的強度、剛度,卻不一定能安全 可靠地工作，還要滿足穩定性的要求。 17.1.3. 理想壓桿模型 由此引出了關于壓桿失穩(buckling)這一抽象的概念： 當細長中心壓桿上的軸向壓力F小于Fcr時，桿的直線狀態的平 衡是穩定的； 當FFcr時桿既可在直線狀態下保持平衡，也可以在微彎狀態 下保持平衡，也就是說FFcr時理想中心壓桿的直線平衡狀態 是不穩定的，壓桿在軸向壓力Fcr作用下會喪失原有的直線平衡 狀態，即發生失穩。 Fcr則是壓桿直線狀態的平衡由穩定變為不穩定的臨界力(critical force)。 壓桿的臨界力既然與彎曲變形有關，因此壓桿橫截面的 彎

4、曲剛度應盡可能大； 在可能條件下還要盡量改善壓桿的桿端約束條件，例如 限制甚至阻止桿端轉動。 17.2 壓桿的臨界力壓桿的臨界力 本節以兩端球形鉸支(簡稱兩端鉸支) 的細長中心受壓桿件(圖a)為例，按照對 于理想中心壓桿來說臨界力就是桿能保 持微彎狀態時的軸向壓力這一概念，來 導出求臨界力的歐拉(L.Euler)公式。 (a) 17.2.1. 兩端鉸支壓桿的臨界力 在圖a所示微彎狀態下，兩端鉸 支壓桿任意x截面的撓度(側向位移) 為w，該截面上的彎矩為M(x)=Fcrw （圖b）。桿的撓曲線近似微分方程 為 (b)(a) 上式中負號是由于在圖示坐標中， 對應于正值的撓度w，撓曲線切線 斜率的變

5、化率 為負 的緣故。 令k2=Fcr /EI，將撓曲線近似微分方程(a)改寫成 該二階常系數線性微分方程(b)的通解為 (b) (c) 此式中C1和C2為待定系數，由邊界條件x=0，w=0 和 x=l， w=0來確定。 將邊界條件x=0，w=0代入式(c)得 C2=0。于是根據(c)式并利用邊界條件 x=l，w=0得到 (c) (a) 注意到已有C2=0 ，故上式中的C1不可能等 于零，否則(c)式將成為w 0而壓桿不能保 持微彎狀態，也就是桿并未達到臨界狀態。 由此可知，欲使(c)成立，則必須sinkl=0 滿足此條件的kl為 或即 由于 意味著臨界力Fcr 0，也就是桿根本未受 軸向壓力，

6、所以這不是真實情況。在kl0的解中，最小解 kl p 相應于最小的臨界力，這是工程上最關心的臨界力。 由klp有 亦即 從而得到求兩端鉸支細長中心壓桿臨界力的歐拉公式： 此時桿的撓曲線方程可如下導出。前已求得C2=0，且取 klp，以此代入式(c)得 （171） 這一表達式又稱為歐拉公式(Eulers formula)。此公式表 明臨界壓力與抗彎剛度成正比，與桿長的平方成反比。 應用類似于以上的方法，可以得到不同支承條件下的壓桿 臨界壓力公式。 把幾種常見約束下壓桿的臨界壓力公式整理后，可以寫成 一個統一的形式 (17-2) 式中 為壓桿的抗彎剛度； 稱為長度因數，它反映 支承對壓桿臨界壓力的

7、影響； 稱為壓桿的相當長度，它綜 合反映了壓桿長度和支承情況對臨界壓力的影響。從表中可見， 桿端約束越強，壓桿的臨界力也就越高。 17.2.2. 其他支承形式壓桿的臨界壓力 表表17-117-1 桿端支承方式與相應臨界壓力桿端支承方式與相應臨界壓力 【例17-1 】試推導下端固定、 上端自由的等直細長中心壓桿臨 界力的歐拉公式，并求壓桿相應 的撓曲線方程。圖中xy平面為桿 的彎曲剛度最小的平面，亦即桿 最容易發生彎曲的平面。 解：解：根據該壓桿失穩后符合桿端約束條件的撓曲線的 大致形狀可知，任意x橫截面上的彎矩為 桿的撓曲線近似微分方程則為 這里，等號右邊取正號是因為對應于正值的(d -w)，

8、 亦為正。將上式改寫為 并令 有 此微分方程的通解為 從而亦有 根據邊界條件x=0，w =0得Ak=0；注意到 不 會等于零，故知A0，從而有wBcoskx+d。再利用邊界 條件x=0，w=0得B=-d。于是此壓桿的撓曲線方程成為 至此仍未得到可以確定隱含Fcr的未知量k的條件。為此，利 用 x = l 時 w = d 這一關系，從而得出 從式(a)可知d不可能等于零，否則w將恒等于零，故上式中 只能coskl = 0。滿足此條件的kl的最小值為kl = p/2，亦即 從而得到求此壓桿臨界力的歐拉公式： (b) 亦即 以 kl = p/2 亦即 k = p/(2l)代入式(a) 便得到此壓桿對

9、應于式(b)所示臨界力的 撓曲線方程： 【例17-2】兩端鉸支壓桿受力如圖10-9所示。桿的直徑 d=40mm，長度l=2000mm，材料為Q235鋼，求此 壓桿的臨界壓力。 圖10-9 例10-2圖 【解】根據歐拉公式 現在，圓截面對各形心軸的慣性矩均相等， 代入歐拉公式，得 在這一臨界壓力作用下，壓桿在直線平衡位置時橫截面上的應 力為。此值遠小于Q235鋼的比例極限。這表明壓 桿仍處于線彈性范圍內。 本例中若壓桿長度l=500mm，這時能不能應用歐拉公 式呢？ 假設仍可用歐拉公式計算臨界壓力，即有 這時壓桿在直線平衡時橫截面上的應力為， 壓桿已進入非彈性狀態， 因此， l=500mm時，不

10、能應用歐拉公式計算其臨界壓力， 所以=1022.4kN的結果是不正確的。 運用歐拉公式計算臨界力時需要注意： (1)當桿端約束情況在各個縱向平面內相同時(例如球形鉸)，歐 拉公式中的 I 應是桿的橫截面的最小形心主慣性矩 Imin。 (2)當桿端約束在各個縱向平面內不同時，歐拉公式中所取用的 I應與失穩(或可能失穩)時的彎曲平面相對應。例如桿的兩端 均為如圖所示柱形鉸的情況下： x y z 軸銷 對應于桿在xy平面內失穩，桿端約束接近于兩端固定， 對應于桿在xz平面內的失穩，桿端約束相當于兩端鉸支， 而取用的臨界力值應是上列兩種計算值中的較小者。 x y z 軸銷 17. .3 壓桿的臨界應力

11、壓桿的臨界應力 17.3.1. 臨界應力和柔度 在推導細長中心壓桿臨界力的歐拉公式時，應用了材料 在線彈性范圍內工作時的撓曲線近似微分方程，可見歐拉公 式只可應用于壓桿橫截面上的應力不超過材料的比例極限sp 的情況。 按照抽象的概念，細長中心壓桿在臨界力Fcr作用時可在 直線狀態下維持不穩定的平衡，故其時橫截面上的應力可按 scrFcr /A來計算，亦即 式中， scr 稱為臨界應力； 為壓桿橫截面對于失穩時繞以轉動的形心 主慣性軸的慣性半徑； ml /i 為壓桿的相當長度與其橫截面慣性半徑之比，稱 為壓桿的長細比(slenderness)或柔度，記作l，即 17.3.2. 歐拉公式應用范圍

12、根據歐拉公式只可應用于scrsp的條件，由式(a)知該應 用條件就是 亦即或寫作 可見 就是可以應用歐拉公式的壓桿最小柔度。 對于Q235鋼，按照 E206 GPa，sp 200 MPa，有 通常把llp的壓桿，亦即能夠應用歐拉公式求臨界力Fcr 的壓桿，稱為大柔度壓桿或細長壓桿。 當壓桿柔度滿足時，這類壓桿稱為小柔度桿， 又稱為粗短桿。這類壓桿一般不發生失穩，而可能發生屈服 （塑性材料）或破裂（脆性材料）。于是，其臨界應力為 柔度滿足的壓桿稱為中柔度桿或中長桿。這 類壓桿也會發生失穩，但失穩時其橫截面上的應力已經超過比 例極限，故為彈塑性失穩。這類壓桿的臨界應力需按彈塑性穩 定理論確定。目前

13、工程設計中多采用經驗公式。 常用的經驗公式有直線公式和拋物線公式。 1. 直線公式 對于柔度的壓桿，通過試驗發現，其臨界應力與柔 度之間的關系可近似用如下直線公式表示 17.3.2. 臨界應力的經驗公式 (17-9) 式中，為與壓桿材料力學性能有關的常數。 表17-2列出了不同材料的柔度值以及，系數的值。 表表17-2 直線公式系數，和柔度值，直線公式系數，和柔度值，。 材料（ 、 ） Q235鋼（ 、）3041.1210060 優質碳鋼（ ， ）4602.5710060 硅鋼（ ， ）5773.7410060 鉻鉬鋼9805.2955 硬鋁3923.2650 鑄鐵3321.4580 松木28

14、.70.259 2. 拋物線公式 對于有結構鋼與低合金結構鋼等材料制作的非細長壓桿, 可采用拋物線型經驗公式計算臨界應力,該公式的一般表達式 為 (17-11) 式中, 與 為與材料性能有關的常數. 以上導出的歐拉臨界壓力或臨界應力公式只在彈性階 段適用，臨界應力不得超過材料的比例極限。工程實際中 的壓桿一般很難滿足上述理想化的要求，實際壓桿的穩定 計算都是以經驗公式為依據的。 【例17-3】圖17-10a、b所示壓桿，其直徑均為d，材料都是 Q235鋼，但二者的長度和約束都不相同。 （1）分析哪一根桿的臨界壓力較大。 （2）若d=160mm， ，計算二桿的臨界壓力。 (a) (b) 圖17-

15、10 例17-3圖 【解】（1）計算柔度，判斷哪一根壓桿的臨界壓力較大 二者均為圓截面，且直徑均為d，故有 但二者的長度和約束條件各不相同，因此，柔度不一定 相等。對于圖17-10a中的壓桿，因為兩端鉸支約束，故 。于是 (a) (b) =0.7。于是 對于圖17-10b中的壓桿，因為約束為一端固定、另一端鉸支， 故有 比較上述結果(b)與(c)可知，桿件較長的一端固定、另一 端鉸支壓桿具有較小的臨界壓力。因此支承條件及桿件長度 對壓桿臨界壓力均有影響。 (c) （2）計算給定參數下壓桿的臨界壓力 對于兩端鉸支的壓桿，由(b)式有 屬于大柔度桿，可用歐拉公式計算臨界壓力，即 對于一端固定、另一

16、端鉸支的壓桿，由(c)式有 所以也屬于細長桿。由歐拉公式可得 臨界應力總圖是指同一材料制作的壓桿，其臨界應力scr 隨柔度l 變化的關系曲線。 在llp的部分，有歐拉 公式scr p2E/l2表達scrl關 系； 但在壓桿柔度l很小時，由于該理論存在的不足，計算所得scr 可能會大于材料的屈服極限ss，故取scr ss。 在l91，故按下式計算穩定因數： 從而有許可壓力： 例題例題17- -5 廠房的鋼柱由兩根槽鋼 組成，并由綴板和綴條聯結成整體， 承受軸向壓力F=270 kN。根據桿端約 束情況，該鋼柱的長度因數取為m 1.3。鋼柱長7 m，材料為Q235鋼，強 度許用應力s=170 MPa

17、。該柱屬于b 類截面中心壓桿。由于桿端連接的需 要，其同一橫截面上有4個直徑為 d0=30 mm的釘孔。試為該鋼柱選擇槽 鋼號碼。 解解：1. 按穩定條件選擇槽鋼號碼 為保證此槽鋼組合截面壓桿在xz平面內和xy平面內具有 同樣的穩定性，應根據ly=lz確定兩槽鋼的合理間距h。現先 按壓桿在xy平面內的穩定條件通過試算選擇槽鋼號碼。 假設j0.50，得到壓桿的穩定許用應力為 因而按穩定條件算得每根槽鋼所需橫截面面積為 由型鋼表查得，14a號槽鋼的橫截面面積為 A =18.51 cm2 18.5110-4 m2，而它對z軸的慣性半徑為iz=5.52 cm=55.2 mm。 下面來檢查采用兩根14a

18、號槽鋼的組合截面柱其穩定因 數j 是否不小于假設的j 0.5。 注意到此組合截面對于z 軸的慣性 矩 Iz 和面積 A 都是單根槽鋼的兩倍， 故組合截面的iz 值就等于單根槽鋼的iz 值。于是有該組合截面壓桿的柔度： 由表17-3查得，Q235鋼b類截面中心壓桿相應的穩定因數為 j0.262。 顯然，前面假設的j0.5這個值過大，需重新假設j 值再來 試算；重新假設的j 值大致上取以前面假設的j0.5和所得 的j0.262的平均值為基礎稍偏于所得j 的值。 重新假設j0.35，于是有 試選16號槽鋼，其 A=25.1510-4 m2，iz=61 mm，從而有組合 截面壓桿的柔度： 由表17-3得j =0.311，它略小于假設的j0.35。現按采用2根 16號槽鋼的組合截面柱而j0.311進行穩定性校核。此時穩 定許用應力為 按橫截面毛面積算得的工作應力為 雖然工作應力超過了穩定許用應力，但僅超過1.5，這是允 許的。 2. 計算鋼柱兩槽鋼的合理間距 由于認為此鋼柱的桿端約 束在各縱向平面內相同，故要 求組合截面的柔度ly=lz。 根據 可知， 也就是要求組合截面的慣性矩 Iy = Iz。 如果z0，Iy0，Iz0，A0分別代表單根槽鋼的形心位置和自身的 形心主慣性矩以及橫截面面積則IyIz的條