1、會計學1 壓桿的穩定性分析與設計壓桿的穩定性分析與設計 2021-7-172 11.1 壓桿穩定性的概念 構件的承載能力：強度 剛度 穩定性 工程中有些構件具有足夠的強度、剛度，卻不一定能安全可靠地工作。 第1頁/共47頁 2021-7-173 不穩定平衡穩定平衡 微小擾動就使小球遠離原來的平衡位置 微小擾動使小球離開原來的平衡位置，但擾動撤銷后小球回復到平衡位置 第2頁/共47頁 2021-7-174 11.1.1 平衡位置的穩定性和不穩定性 結構構件或機器零件在壓縮載荷或其他特定載荷作用下發生變形，最終在某一位置保持平衡，這一位置稱為平衡位置，又稱為平衡構形(equilibrium con

2、figuration)。 承受軸向壓縮載荷的細長壓桿，有可能存在兩種平衡構形直線的平衡構形和彎曲的平衡構形。 當載荷小于一定的數值時，微小外界擾動使得某一平衡構形偏離原來的平衡構形，外界擾動去除之后，構件仍舊能自動回復到初始平衡構形，則稱初始的平衡構形是穩定的 (stable)。 第3頁/共47頁 2021-7-175 當載荷小于一定的數值時，微小外界擾動使得某一平衡構形偏離原來的平衡構形，外界擾動去除之后，構件不能自動回復到初始平衡構形，則稱初始的平衡構形是不穩定的 (unstable)。 第4頁/共47頁 2021-7-176 3.壓桿失穩：4.壓桿的臨界壓力 臨界狀態 臨界壓力: Pcr

3、 過過 度度 對應的對應的 壓力壓力 第5頁/共47頁 2021-7-177 在任意微小的外界擾動下，不穩定的平衡構形會轉變為其他平衡構形。不穩定的細長壓桿的直線平衡構形，在外界的微小擾動下，將轉變為彎曲的平衡構形。這一過程稱為屈曲(buckling)或失穩(lost stability)。 通常，屈曲將使構件失效，并導致相關的結構發生坍塌(collapse)。由于這種失效具有突發性，常常帶來災難性后果。 第6頁/共47頁 2021-7-178 2007年8月2日，美國明尼蘇達州一座跨越密西西比河的大橋發生坍塌 第7頁/共47頁 2021-7-179 第8頁/共47頁 2021-7-1710

4、11.1.2 臨界狀態與臨界載荷 介于穩定平衡構形與不穩定平衡構形之間的平衡構形稱為臨界平衡構形，或稱為臨界狀態(critical state)。處于臨界狀態的平衡構形，有時是穩定的，有時是不穩定的，也有時是中性的。 非線性彈性穩定理論已經證明了：對于細長壓桿，臨界平衡構形是穩定的。 使桿件處于臨界狀態的壓縮載荷稱為臨界載荷(critical loading)，用FPcr表示。 第9頁/共47頁 2021-7-1711 11.1.3 三種類型的壓桿的不同臨界狀態 不是所有受壓桿件都會發生屈曲，也不是所有發生屈曲的壓桿都是彈性的。理論分析與試驗結果都表明：根據不同的失效形式，受壓桿件可以分為三種

5、類型，它們的臨界狀態和臨界載荷各不相同。 G細長桿：發生彈性屈曲，當外加載荷FPFPcr時，不發出屈曲；當FPFPcr時，發生彈性屈曲，即當載荷去除后，桿仍能由彎形平衡構形回復到初始直線平衡 構形。 第10頁/共47頁 2021-7-1712 A中長桿：發生彈塑性屈曲。當外加載荷FPFPcr時，不發出屈曲；當FPFPcr時，它發生屈曲，但不再是彈性的，這是因為壓桿上某些部分已經出現塑性變形，即當載荷去除后，桿不能完全由彎形平衡構形回復到初始直線平衡 構形。 B粗短桿：不發生屈曲，而發生屈服(yield)。 第11頁/共47頁 2021-7-1713 11.2 細長壓桿臨界力的歐拉公式 一、兩端

6、鉸支壓桿的臨界力: PwyxM),( 假定壓力已達到臨界值，桿已經處于微彎狀態，如圖， 從撓曲線入手，求臨界力。 w EI P EI M w 0 2 wkww EI P w EI P k 2 :其中 PP x P x w P M 第12頁/共47頁 2021-7-1714 xBxAycossin 0)()0(Lyy 0cossin 00 : kLBkLA BA 即 0 cos sin 1 0 kLkL 0sin kL EI P L n k 臨界力 Pcr 是微彎下的最小壓力，故，只能取n=1 ；且桿將繞慣性矩最小的軸彎曲。 2 min 2 L EI Pcr 第13頁/共47頁 2021-7-1

7、715 二、此公式的應用條件： 1.理想壓桿；2.線彈性范圍內；3.兩端為球鉸支座。 兩端鉸支壓桿臨界力的歐拉公式 2 2 L EI P cr min 第14頁/共47頁 2021-7-1716 11.2.2 其他剛性支承細長壓桿臨界載荷的 通用公式 長度系數（或約束系數）。 壓桿臨界力歐拉公式的一般形式 2 2 )( min L EI P cr 不同剛性支承條件下的壓桿，由靜力學平衡方法得到的平衡微分方程和端部的約束條件都可能各不相同，確定臨界載荷的表達式亦因此而異，但基本分析方法和分析過程卻是相同的。 對比方法： 以兩端鉸支的情況為依據，將其他約束的壓桿的撓度曲線形狀與兩端鉸支壓桿的撓度曲

8、線形狀比較，來推出不同約束條件下的壓桿臨界應力公式。 第15頁/共47頁 2021-7-1717 0.5l 各種支承約束條件下等截面細長壓桿臨界力的歐拉公式 支承情況兩端鉸支 一端固定 另端鉸支 兩端固定 一端固定 另端自由 兩端固定但可沿 橫向相對移動 失穩時撓曲線形狀 Pcr A B l 臨界力Pcr 歐拉公式 長度系數 2 2 l EI P cr 2 2 )7 . 0(l EI P cr 2 2 )5 . 0(l EI P cr 2 2 )2( l EI P cr 2 2 l EI P cr =10.7 =0.5=2=1 Pcr A B l Pcr A B l 0.7l C C D C

9、撓 曲線拐 點 C、D 撓曲線拐 點 0.5l Pcr Pcr l 2l l C 撓曲線拐點 第16頁/共47頁 2021-7-1718 11.3 長細比的概念 三類不同壓桿的判斷 11.3.1 長細比的定義與概念 前面已經提到歐拉公式只有在彈性范圍內才是適用的。這就要求在臨界載荷作用下，壓桿在直線平衡構形時，其橫截面上的正應力小于或等于材料的比例極 限，即 p pcr cr A F 為材料的比例極限 為臨界應力 p cr stresscritical )( 對于某一壓桿，當臨界載荷FPcr尚未算出時，不能判斷式(11-9)是否滿足；當 臨界載荷算出后，如果式(11-9)不滿足，則還需采用超過

10、比例極限的臨界載 荷計算公式重新計算。這些都會給實際設計帶來不便。 能否在計算臨界載荷之前，預先判斷壓桿是發生彈性屈曲還是發生超過比例 極限的非彈性屈曲，或者不發生屈曲而只發生強度失效?為了回答這一問題 ，需要引進長細比(slenderness ratio)的概念。 第17頁/共47頁 2021-7-1719 細長比用表示，定義為： 22222 222 2 2 21 critical critical EIEEEE l l l i i F A A l I A 其中為反映不同支承影響的長度系數，l為壓桿長度，i為全面反映壓桿橫截面形狀與尺寸的幾何量。 所以細長比是一個綜合反映壓桿長度、約束條件、

11、截面尺寸和截面形狀對壓桿臨界載荷影響的量。 l i 第18頁/共47頁 2021-7-1720 pcr crp F A (1) 歐拉公式的應用范圍是材料變形處于線彈性階段。 2 2 critica p l critical F A E 2 p E 表明：當大于或等于極限值 時，歐拉公式才是適用的。2 p E 定義： 2 p p E 當材料的E、 p給定之后，就可以獨立計算出p 臨界壓縮應力小于材料的比例極限，就發生了屈曲破壞。 當壓桿的柔度大于p時，可用上述歐拉公式計算，這種桿稱為大柔度桿或細長桿 第19頁/共47頁 2021-7-1721 (2) 如果壓桿的柔度p時，則壓桿的臨界應力公式不能

12、采用歐拉公式計算。這是屬于壓桿臨界應力超出了材料的比例極限的壓桿穩定問題。 直線公式經驗公式 把壓桿的臨界應力表示為柔度的線性函數 ba critical 其中a、b是與材料性質有關的常數，由實驗測定。 第20頁/共47頁 2021-7-1722 ba critical 的使用范圍： sp 最低限s所對應的臨界應力等于材料的壓縮極限應力 對于塑性材料(韌性材料) ss ab s s a b 對于脆性材料 sb ab b s a b sp 定義：把這種壓桿稱為中柔度桿。 s 當 時，該類壓桿稱為小柔度桿 這類小柔度壓桿的破壞是由于壓應力達到材料的極限應力而引起的破壞，它不是因失穩而破壞，而是強度

13、問題，要采用第6章所學知識來處理。 第21頁/共47頁 2021-7-1723 11.3.2 三類不同壓桿的區分 第22頁/共47頁 2021-7-1724 11.3.3. 三類壓桿的臨界應力公式 2 2 2 2 2 2 )/()( E iL E AL EI A P cr cr 1.大柔度壓桿的臨界應力： 2 2 E cr 即：即： 2、中小柔度桿的臨界應力計算 1.直線型經驗公式 PS 時： ba cr S 時： scr crb 或 第23頁/共47頁 2021-7-1725 i L cr 2 2 E cr 臨界應力總圖(figures of critical stresses) ba cr

14、 P S b a s s P P E 2 小柔度桿中柔度桿 大柔度桿 第24頁/共47頁 2021-7-1726 2.拋物線型經驗公式 2 11 ba cr S c E AA 56. 0 43. 016 2 53 ，錳鋼：鋼和鋼、對于 。時，由此式求臨界應力 c 我國建筑業常用： Ps 時： 2 1 c scr s 時： scr 第25頁/共47頁 2021-7-1727 11.4 壓桿穩定條件及其應用 構件的強度問題取決于危險截面上危險點的應力，所以強度條件是從一點的應力出發的。 但是壓桿穩定問題，既不存在危險截面，也不存在危險點，其危險標志就是失穩，要使得壓桿不失穩，應該使得作用在桿上的壓

15、力F小于壓桿的臨界應力Fcr，故壓桿的穩定條件是： cr FF s cr t F F n nst是穩定安全系數，是隨而變化的， 越大，nst也越大。同時 nst一般大于強度安全系數。 wt cr s F F nn nw為壓桿的工作安全系數。它表示壓桿的臨界載荷Pcr與所受的軸向壓 力P的比值應不小于它的穩定安全系數nst，以上這種穩定計算方法稱 為安全系數法。 第26頁/共47頁 2021-7-1728 11.4.2 安全因數法與穩定性設計準則 st w nn F A F F n crPcr w 第27頁/共47頁 2021-7-1729 11.4.3 壓桿穩定性設計過程 第28頁/共47頁

16、2021-7-1730 11.5 壓桿穩定性分析與穩定性設計示例 第29頁/共47頁 2021-7-1731 第30頁/共47頁 2021-7-1732 第31頁/共47頁 2021-7-1733 對于第一個問題： 6 .6125.56 1015 .626 .61 sb Pas 對于(a)，屬于中長桿。而對于(b)，屬于粗短桿。 AbaAF acrPcr AAF scrPcr 約等于原來的2倍。 約等于原來的1.5倍。 第32頁/共47頁 2021-7-1734 第33頁/共47頁 2021-7-1735 第34頁/共47頁 2021-7-1736 yz Pz 第35頁/共47頁 2021-7

17、-1737 第36頁/共47頁 2021-7-1738 第37頁/共47頁 2021-7-1739 第38頁/共47頁 2021-7-1740 11.6 結論與討論 11.6.2 影響壓桿承載能力的因素 2 2 l EI FPcr AbaAF crPcr AAF scrPcr 第39頁/共47頁 2021-7-1741 11.6.3 提高壓桿承載能力的主要途徑： 2 2 l EI FPcr 為了提高承載能力，必須綜合考慮桿長、支承、截面的合理性以及材料性能等因素的影響。 1. 盡量減小壓桿桿長 對于細長桿，其臨界載荷與桿長平方成反比。因此，減小桿長可以顯著地提高壓桿承載能力，在某些情形下，通過

18、改變結構或增加支點可以達到減小桿長，從而提高壓桿承載能力的目的。 第40頁/共47頁 2021-7-1742 2. 增強支承的剛性 支承的剛性越大，壓桿長度系數值越低，臨界載荷越大，例如，將兩端鉸支的細長桿，變成兩端固定約束的情形，臨界載荷將成數倍增加。 3. 合理選擇截面形狀 當壓桿兩端在各個方向彎曲平面內具有用同的約束條件時， 壓桿將在剛度最小的主軸平面內屈曲。這時如果只增加截面某個 方向的慣性矩(例如只增加矩形截面高度)，并不能提高壓桿的承 載能力，最經濟的辦法是將截面設計成中空心的， 且使IyIz， 從而加大橫截面的慣性矩，并使截面對各個方向軸的慣性矩均相 同。 因此，對于一定的橫截面面積，正方形截面或圓截面比矩形 截面好；空心正方形或環形截面比實心截面好。 當壓桿端部在不 同的平面內具有不同的約束條件時，應采用最大與最小主慣 性短 不等的截面(例如矩形截面)，并使主慣性矩較小的平面內具有較 強剛性的約束，盡量使兩主慣性矩平而內壓桿的柔度相互接近。 第41頁/共47頁 2021-7-1743 4. 合理選用材料 在其他條件均相同的條件下，選用彈性模量大的材料，可以提高細長壓桿的承載能力，例如鋼桿臨界載荷大于銅、鑄鐵或鋁制壓桿的臨界載荷。但是