1、第一節第一節 微分方程的基本概念微分方程的基本概念 第五章第五章 微分方程微分方程 例例 一一曲曲線線通通過過點點(1,2),且且在在該該曲曲線線上上任任一一點點 ),(yxM處處的的切切線線的的斜斜率率為為x2, 求求 這這曲曲線線的的方方 程程. 解解)(xyy 設所求曲線為設所求曲線為 x dx dy 2 xdxy2 2,1 yx時時其中其中 , 2 Cxy 即即, 1 C求求得得 .1 2 xy所求曲線方程為所求曲線方程為 一、微分方程的定義一、微分方程的定義 1 1 問題的提出問題的提出 解解 )(,tssst 米米秒鐘行駛秒鐘行駛設制動后設制動后 4 . 0 2 2 dt sd ,

2、20, 0,0 dt ds vst時時 1 4 . 0Ct dt ds v 21 2 2 . 0CtCts 代入條件后知代入條件后知0,20 21 CC ,202 . 0 2 tts ,204 . 0 t dt ds v 故故 ),(50 4 . 0 20 秒秒 t 列列車車在在這這段段時時間間內內行行駛駛了了 ).(5005020502 . 0 2 米米 s 開始制動到列車完全停住共需開始制動到列車完全停住共需 (1)(1)微分方程的定義微分方程的定義 凡含有未知函數的導數或微分的方程叫凡含有未知函數的導數或微分的方程叫微分方程微分方程. . 例例,xyy , 0)( 2 xdxdtxt ,

3、32 x eyyy , yx x z 實質實質 聯系自變量聯系自變量, ,未知函數以及未知函數的未知函數以及未知函數的 某些導數某些導數( (或微分或微分) )之間的關系式之間的關系式. . 2 微分方程的定義與分類微分方程的定義與分類 微分方程的階微分方程的階 微分方程中出現的未知函數的最微分方程中出現的未知函數的最 高階導數的階數稱為微分方程的階高階導數的階數稱為微分方程的階. . 分類分類1 1 常微分方程常微分方程, , 偏微分方程偏微分方程. . , 0),( y yxF一階微分方程一階微分方程);,(yxfy 高階高階( (n) )微分方程微分方程 , 0),( )( n yyyx

4、F ).,( )1()( nn yyyxfy 分類分類2 2 (2) (2) 微分方程的分類微分方程的分類 分類分類3 3 線性與非線性微分方程線性與非線性微分方程. . ),()(xQyxPy ; 02)( 2 xyyyx 分類分類4 4 單個微分方程與微分方程組單個微分方程與微分方程組. . ,2 ,23 zy dx dz zy dx dy 微分方程的解微分方程的解 代入微分方程能使方程成為恒等式的函數稱之為代入微分方程能使方程成為恒等式的函數稱之為 該方程的解該方程的解. . ,)(階導數階導數上有上有在區間在區間設設nIxy . 0)(,),(),(,( )( xxxxF n 微分方程

5、的解的分類微分方程的解的分類 二、微分方程的解二、微分方程的解 (1)(1)通解通解 微分方程的解中含有任意常數微分方程的解中含有任意常數, ,且任且任 意常數的個數與微分方程的階數相同意常數的個數與微分方程的階數相同. . (2)(2)特解特解 確定了通解中任意常數以后的解確定了通解中任意常數以后的解. . , yy 例例; x Cey 通解通解 , 0 yy;cossin 21 xCxCy 通解通解 解的圖象解的圖象 微分方程的積分曲線微分方程的積分曲線. . 通解的圖象通解的圖象 積分曲線族積分曲線族. . 初始條件初始條件 用來確定任意常數的條件用來確定任意常數的條件. . 過定點的積

6、分曲線過定點的積分曲線; 0 0 ),( yy yxfy xx 一階一階 二階二階 00 00 , ),( yyyy yyxfy xxxx 過定點且在定點的切線的斜率為定值的積分曲線過定點且在定點的切線的斜率為定值的積分曲線. 初值問題初值問題 求微分方程滿足初始條件的解的問題求微分方程滿足初始條件的解的問題. . 例例 驗驗證證:函函數數ktCktCxsincos 21 是是微微分分 方方程程0 2 2 2 xk dt xd 的的解解. 并并 求求 滿滿足足初初始始條條件件 0, 0 0 t t dt dx Ax的的特特解解. 解解 ,cossin 21 ktkCktkC dt dx ,si

7、ncos 2 2 1 2 2 2 ktCkktCk dt xd , 2 2 的表達式代入原方程的表達式代入原方程和和將將x dt xd . 0)sincos()sincos( 21 2 21 2 ktCktCkktCktCk .sincos 21 是原方程的解是原方程的解故故ktCktCx , 0, 0 0 t t dt dx Ax. 0, 21 CAC 所求特解為所求特解為.cosktAx 微分方程的初等解法微分方程的初等解法 初等積分法初等積分法. . 求解微分方程求解微分方程求積分求積分 (通解可用初等函數或積分表示出來通解可用初等函數或積分表示出來) ; 02)()1( 2 xyyyx

8、 :1階階數數說說出出下下列列各各微微分分方方程程的的 .0)( 2 2121 21 21 的的解解 是是否否為為所所給給微微分分方方程程指指出出函函數數 yyy eCeCy xx ; 0)2( 2 yyxyx 第二節第二節 可分離變量的微分方程可分離變量的微分方程 一、可分離變量的微分方程的求解一、可分離變量的微分方程的求解 dxxfdyyg)()( 可分離變量的微分方程可分離變量的微分方程. . 5 4 2 2yx dx dy 例如例如,2 2 5 4 dxxdyy 解法解法設設函函數數)(yg和和)(xf是是連連續續的的, dxxfdyyg)()( 設設函函數數)(yG和和)(xF是是依

9、依次次為為)(yg和和)(xf的的原原函函 數數,CxFyG )()( 為微分方程的解為微分方程的解. 分離變量法分離變量法 1 分離變量法分離變量法 例例 求解微分方程求解微分方程.2的通解的通解xy dx dy 解解分離變量分離變量,2xdx y dy 兩端積分兩端積分 ,2 xdx y dy 1 2 lnCxy . 2 為所求通解為所求通解 x Cey 2 2 典型例題典型例題 .0)()(通解通解求方程求方程 xdyxygydxxyf ,xyu 令令,ydxxdydu 則則 , 0)()( x ydxdu xugydxuf , 0)()()( duugdx x u uguf , 0 )

10、()( )( du ugufu ug x dx . )()( )( |lnCdu ugufu ug x 通解為通解為 解解 例例 例例 衰衰變變問問題題:衰衰變變速速度度與與未未衰衰變變原原子子含含量量M成成正正比比, 已已知知 00 MM t , 求求 衰衰變變過過程程中中鈾鈾含含量量)(tM隨隨時時間間 t變變化化的的規規律律. 解解, dt dM 衰變速度衰變速度由題設條件由題設條件 )0(衰變系數衰變系數 M dt dM dt M dM , dt M dM 00 MM t 代代入入 ,lnlnCtM , t CeM 即即 0 0 CeM 得得,C t eMM 0 衰變規律衰變規律 )(

11、 x y f dx dy 形如形如的微分方程的微分方程. . (2)(2)解法解法, x y u 作變量代換作變量代換,xuy 即即 代入原式代入原式 , dx du xu dx dy ),(uf dx du xu . )( x uuf dx du 即即可分離變量的方程可分離變量的方程 (1) (1) 兩種特殊可分離變量方程兩種特殊可分離變量方程 ,0)(時時當當 uuf,ln )( 1x C uuf du 得得 , )(u Cex 即即 ）（ uuf du u )( )( ,代入代入將將 x y u , )( x y Cex 得得通通解解 , 0 u 當當, 0)( 00 uuf使使, 0是

12、新方程的解 是新方程的解則則uu ,代回原方程代回原方程. 0 xuy 得齊次方程的解得齊次方程的解 例例 求解微分方程求解微分方程 . 0cos)cos( dy x y xdx x y yx ，令令 x y u ，則則udxxdudy , 0)(cos)cos( xduudxuxdxuuxx ,cos x dx udu ,lnsinCxu .lnsinCx x y 微分方程的解為微分方程的解為 解解 22 2 2 yxyx xyy dx dy , 1 2 2 2 x y x y x y x y , x y u 令令,udxxdudy 則則 , 1 2 2 2 uu uu uxu . 2 22

13、2 xyy dy yxyx dx 例例 求解微分方程求解微分方程 解解 ,lnlnln 2 1 )2ln( 2 3 )1ln(Cxuuu . )2( 1 2 3 Cx uu u 微分方程的解為微分方程的解為.)2()( 32 xyCyxy , 1 1 2 2 ) 1 2 1 ( 2 1 x dx du uuuu () dy f axby dx 解法：解法： (2)(2)形如形如 的方程的方程 ,byaxz 令令 ),( 1 a dx dz bdx dy 1 ()( ) dz af z b dx 可分離變量的微分方程可分離變量的微分方程. ( ) dz dx abf z 2 () dy xy d

14、x 解解 ,uyx 令令1 dx du dx dy 代入原方程代入原方程 2 1u dx du ,arctanCxu 解得解得 得得代回代回, yxu ,)arctan(Cxyx 原方程的通解為原方程的通解為.)tan(xCxy 例：求方程例：求方程 的通解。的通解。 ; 0)1( 22 xyyyx 解解, 0 1 22 xy xx y y ,0時時當當 x, x y u 令令,xuy 則則, dx du xu dx dy ,代入原方程代入原方程, 01 2 u dx du x得得 , 1 2 x dx u du 求下列方程的通解求下列方程的通解 兩邊積分，兩邊積分， ,lnln2)ln( l

15、nln)1ln( 22 2 Cxxyy Cxuu 或或 得得 , 222 Cxxyy 即即 ,0時時當當 x原方程可化為原方程可化為 , 01 2 u dx du x 可求得可求得同樣同樣, ,lnln)1ln( 2 Cxuu . 222 Cxxyy 即即 . 222 Cxxyy 故所求通解為故所求通解為 ; 03)()2( 233 dyxydxyx 解解 , 3 1 )( 3 1 2 x y y x dx dy ,u x y 令令,xuy , dx du xu dx dy 代入原方程，代入原方程，, 3 1 ) 1 ( 3 1 2 u udx du xu 得得, 21 3 3 2 x dx

16、du u u ,兩邊積分兩邊積分 .lnln)(21ln 2 1 lnln21ln 2 1 3 3 Cx x y Cxu 或或 得得 第三節第三節 一階線性微分方程一階線性微分方程 )()(xQyxP dx dy 一階線性微分方程一階線性微分方程的標準形式的標準形式 , 0)( xQ當當上方程稱為上方程稱為齊次的齊次的. 上方程稱為上方程稱為非齊次的非齊次的., 0)( xQ當當 例如例如, 2 xy dx dy ,sin 2 ttx dt dx , 32 xyyy, 1cos yy 線性的線性的; 非線性的非線性的. . 0)( yxP dx dy ,)(dxxP y dy ,)( dxxP

17、 y dy ,ln)(lnCdxxPy 齊次方程的通解為齊次方程的通解為. )( dxxP Cey (1) 線性齊次方程線性齊次方程 一階線性微分方程的一階線性微分方程的解法解法 (使用分離變量法使用分離變量法) (2) 線性非齊次方程線性非齊次方程 ).()(xQyxP dx dy 討論討論,)( )( dxxP y xQ y dy 兩邊積分兩邊積分 ,)( )( ln dxxPdx y xQ y ),( )( xvdx y xQ 為為設設 ,)()(ln dxxPxvy . )()( dxxPxv eey即即 非齊次方程通解形式非齊次方程通解形式 與齊次方程通解相比與齊次方程通解相比)(x

18、uC 常數變易法常數變易法 把齊次方程通解中的常數變易為待定函數的方法把齊次方程通解中的常數變易為待定函數的方法. . 實質實質 未知函數的變量代換未知函數的變量代換. ),()(xyxu原未知函數原未知函數新未知函數新未知函數 作變換作變換 dxxP exuy )( )( ,)()()( )()( dxxPdxxP exPxuexuy 代代入入原原方方程程得得和和將將yy ,)()( )( CdxexQxu dxxP ),()( )( xQexu dxxP 積分得積分得 一階線性非齊次微分方程的通解為一階線性非齊次微分方程的通解為 dxxPdxxP eCdxexQy )()( )( dxexQeCe dxxPdxxPdxxP )()()( )( 對應齊次對應齊次 方程通解方程通解 非齊次方程特解非齊次方程特解 . sin1 的通解的通解求方程求方程 x x y x y , 1 )( x xP , sin )( x x xQ Cdxe x x ey dx x dx x 11 sin Cdxe x x e xxlnln sin Cxdx x sin 1 .cos 1 Cx x 解解 例例 例例 .)1( 1 2 2 5 的通解的通解求方程求方程 x x y dx dy 解解 .這是非齊次線性方程這是非齊次線性方程.通解通解先求對應的齊