1、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)(經(jīng)管類)公式 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)必考知識(shí)點(diǎn) 一、隨機(jī)事件和概率 1 二、隨機(jī)變量及其分布 1、分布函數(shù)性質(zhì) P(X?b)?F(b) P(a?X?b)?F(b)?F(a) 2 1 3 三、多維隨機(jī)變量及其分布 1、離散型二維隨機(jī)變量邊緣分布 pi?P(X?xi)? ?P(X?x,Y?y)?p i j j j ij p?j?P(Y?yj)? ?P(X?x,Y?y)?p i j i i ij 2、離散型二維隨機(jī)變量條件分布 pij?P(X?xi?yj)? P(X?xi,Y?yj) P(Y?yj)P(X?xi,Y?yj) P(X?xi) ? pijP?jpijPi? ,i?1,2? p

2、j?P(Y?yjX?xi)? ?,j?1,2? x y 3、連續(xù)型二維隨機(jī)變量( X ,Y )的聯(lián)合分布函數(shù)F(x,y)?4、連續(xù)型二維隨機(jī)變量邊緣分布函數(shù)與邊緣密度函數(shù) 邊緣分布函數(shù)：FX(x)? FY(y)? x?y ? ? f(u,v)dvdu ? ? f(u,v)dvdu 邊緣密度函數(shù)：fX(x)?f(u,v)dudv fY(y)? ? ? ? f(x,v)dv f(u,y)du ? ? ? ? 5、二維隨機(jī)變量的條件分布 fYX(yx)? f(x,y)f(x,y) ,?y? fX(xy)?,?x? fX(x)fY(y) 2 四、隨機(jī)變量的數(shù)字特征 1、數(shù)學(xué)期望 離散型隨機(jī)變量：E(X

3、)?xkpk 連續(xù)型隨機(jī)變量：E(X)? k?1? ? xf(x)dx 2、數(shù)學(xué)期望的性質(zhì) (1)E(C)?C,C為常數(shù) EE(X)?E(X) E(CX)?CE(X) (2)E(X?Y)?E(X)?E(Y) E(aX?b)?aE(X)?b E(C1X1?CnXn)?C1E(X1)?CnE(Xn) (3)若XY相互獨(dú)立則：E(XY)?E(X)E(Y) (4)E(XY)2?E2(X)E2(Y) 3、方差：D(X)?E(X2)?E2(X) 4、方差的性質(zhì) (1)D(C)?0 DD(X)?0 D(aX?b)?a2D(X) D(X)?E(X?C)2 (2)D(X?Y)?D(X)?D(Y)?2Cov(X,

4、Y) 若XY相互獨(dú)立則：D(X?Y)?D(X)?D(Y) 5、協(xié)方差：Cov(X,Y)?E(X,Y)?E(X)E(Y) 若XY相互獨(dú)立則：Cov(X,Y)?0 6、相關(guān)系數(shù)：?XY?(X,Y)?7、協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)的性質(zhì) (1)Cov(X,X)?D(X) Cov(X,Y)?Cov(Y,X) (2)Cov(X1?X2,Y)?Cov(X1,Y)?Cov(X2,Y) Cov(aX?c,bY?d)?abCov(X,Y) 8 3 Cov(X,Y)D(X)D(Y) 若XY相互獨(dú)立則：?XY?0即XY不相關(guān) 五、大數(shù)定律和中心極限定理 1、切比雪夫不等式 若E(X)?,D(X)?2,對(duì)于任意?0有PX?E(

5、X)? 1 2、大數(shù)定律：若X1?Xn相互獨(dú)立且n?時(shí)， n n D(X) ?2 D 或PX?E(X)?1? n D(X) ?2 ? i?1 1 Xi? n ?E(X) i i?1 (1)若X1?Xn相互獨(dú)立，E(Xi)?i,D(Xi)?i2且?i2 1 ?M則： n ? i?1 n 1 Xi? n P ?E(X),(n?) i i?1 n 1nP (2)若X1?Xn相互獨(dú)立同分布，且E(Xi)?i則當(dāng)n?時(shí)：?Xi? ni?1 3、中心極限定理 (1)獨(dú)立同分布的中心極限定理：均值為?，方差為?2?0的獨(dú)立同分布時(shí)，當(dāng)n充分大時(shí)有： ?X Yn? k?1 n k ?n? ?N(0,1) n?

6、 (2)拉普拉斯定理：隨機(jī)變量?n(n?1,2?)B(n,p)則對(duì)任意x有： limP?n?np np(1?p) x? ?x? ? x 12? ? e ? t2 2dt ?(x) n (3)近似計(jì)算：P(a? ? k?1 n Xk?b)?P( a?n?n? ?X ? k?1 k ?n? ? b?n?n? n? )?( b?n?n? )?( a?n?n? ) 六、數(shù)理統(tǒng)計(jì) 1、總體和樣本 總體X的分布函數(shù)F(x)樣本(X1,X2?Xn)的聯(lián)合分布為F(x1,x2?xn)?F(xk) k?1n 2、統(tǒng)計(jì)量 1 (1)樣本平均值：X? n ? i?1 n 1 Xi (2)樣本方差：S? n?1 2

7、? 1 (Xi?X)? n?1i?1 2 n ? i?1 n (Xi2?nX) 2 (3)樣本標(biāo)準(zhǔn)差：S? 1 n?1 ? 1 (Xi?X) (4)樣本k階原點(diǎn)距：Ak? ni?1 2 n ?X i?1 n k i,k ?1,2? 1 (5)樣本k階中心距：Bk?Mk? n ?(X i?1 n i ?X)k,k?2,3? (6)次序統(tǒng)計(jì)量：設(shè)樣本(X1,X2?Xn)的觀察值(x1,x2?xn)，將x1,x2?xn按照由小到大的次序重新排列，得到x(1)?x(2)?x(n)，記取值為x(i)的樣本分量為X(i)，則稱X(1)?X(2)?X(n)為樣本(X1,X2?Xn)的次序統(tǒng)計(jì)量。X(1)?m

8、in(X1,X2?Xn)為最小次序統(tǒng)計(jì)量；X(n)?max(X1,X2?Xn)為最大次序統(tǒng)計(jì)量。 4 3、三大抽樣分布 (1)?2分布：設(shè)隨機(jī)變量X1,X2?Xn相互獨(dú)立，且都服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0,1)，則隨機(jī)變量 22 所服從的分布稱為自由度為n的?2分布，記為?2?2(n) ?2?X12?X2?Xn 性質(zhì)：E?2(n)?n,D?2(n)?2n設(shè)X?2(m),Y?2(n)且相互獨(dú)立，則X?Y?2(m?n) (2)t分布：設(shè)隨機(jī)變量XN(0,1),Y?2(n)，且X與Y獨(dú)立，則隨機(jī)變量：T?度的n的t分布，記為Tt(n) 性質(zhì)：Et(n)?0,Dt(n)? n ,(n?2)limt(n)?N

9、(0,1)? n?n?2 12? ?(x?)22?Xn 所服從的分布稱為自由 e Un1 所服從的分布稱V2 (3)F分布：設(shè)隨機(jī)變量U?2(n1),V?2(n2)，且U與V獨(dú)立，則隨機(jī)變量F(n1,n2)?為自由度(n1,n2)的F分布，記為FF(n1,n2) 性質(zhì)：設(shè)XF(m,n)，則 七、參數(shù)估計(jì) 1、參數(shù)估計(jì) 1 F(n,m) X (1) 定義：用?(X1,X2,?Xn)估計(jì)總體參數(shù)?，稱?(X1,X2,?Xn)為?的估計(jì)量，相應(yīng)的?(X1,X2,?Xn)為總體?的估計(jì)值。 (2) 當(dāng)總體是正態(tài)分布時(shí)，未知參數(shù)的矩估計(jì)值=未知參數(shù)的最大似然估計(jì)值 2、點(diǎn)估計(jì)中的矩估計(jì)法：（總體矩=樣本矩） 1離散型樣本均值：X?E(X)? n ? ? i?1 n Xi 連續(xù)型樣本均值：X?E(X)? ? ? ? xf(x,?)dx 1 離散型參數(shù)：E(X)? n 2 ?X i?1 n 2i 3、點(diǎn)估計(jì)中的最大似然估計(jì) 最大似然估計(jì)法：X1,X2,?Xn取自X的樣本，設(shè)Xf(x,?)或P(X?Xi)?P(?)則可得到概率密度： f(x1,x2,?xn,?)? ?f(x,?)或P(X?X,X i 1 i?1 n n n 2,?Xn?xn)? ?P(X?x)?