1、8:20 自由度：用來描述振動系統運動狀態的最少位移(坐標)數目。 自由振動：系統受初始擾動(初始位移與初始速度)后，僅 靠彈性恢復力維持的振動。 若不計阻尼，系統的自由振動是等幅的簡諧振動，它 是振動的一種最基本的形態，簡稱諧振動。 第二章 單自由度系統自由振動單自由度系統自由振動 若考慮阻尼時，振動系統的運動可能呈現兩種形式，振 動與非振動;只有阻尼低于臨界阻尼時，系統才會發生自由 振動;有阻尼自由振動的振幅是按指數規律衰減。 單自由度系統自由振動 8:20 單自由度系統自由振動 2.1 單自由度系統自由振動 通解 x=Bsinpt+Dcospt 0 kxx m 振動方程：（建立坐標系，受

2、力分析，牛頓第二定律建立平衡方程） 二階常系數線性齊次常微 分方程 假定初始條件： 0 )0(xx 0 )0(xx ptxpt p x xcossin 0 0 可得自由振動響應公式： 記： kx m ptDpptBpxsincos 無阻尼單自由度系統 x0 k m x l o 22 n m k p )arctan()( 0 0 2 0 2 0 x px p x xA )sin(ptAx 0 2 xp x 簡諧振動的三要素：振幅、頻率、相位(初相角) sin,cos 0 0 AxA p x 令 8:20 自由振動的特征方程自由振動的特征方程 單自由度無阻尼系統的自由振動微分方程為: 0 kxx

3、m 該方程的解結構為 st Xex , 代入上式有 0 0)( 0 2 2 2 kms Xekms kXemXes st stst 0 2 kms這個以s為變量的 代數方程稱為原微分方程的特征方程。 顯然該特征方程的解為 n jmkjmks/ n 即為系統的固有圓頻率，固有頻率為 2 n n f 單自由度系統自由振動 8:20 根據以上特征根，就可以得到原方程的2個特征解 及 tj n e 由此可以構造微分方程的通解為 tjtj nn eXeXx 21 利用歐拉公式： j ee t ee t jtjtjtjt 2 sin, 2 cos 同樣可以得到如下結構的通解： tDcostBsinx nn

4、 同理利用初始條件可以得到用三角正弦函數表示的解： )arctan()( 0 0202 0 x xx xA n n )sin(tAx n 單自由度系統自由振動 tj n e 式中X1 ,X2為任意常數,因x為實數,故X1, X2必為共軛復數 tXXjtXXx nn sin)(cos)( 2121 8:20 m k n 稱為固有振動圓頻率 (單位：弧度/秒 rad/s) 自由振動響應： )sin(tAx n )arctan()( 0 0 2 0 2 0 x xx xA n n 振幅 初相角 諧振動重復一次所需的 時間，稱為固有周期 (單位：秒 s) k m T n 2 2 固有頻率：單位時間內振

5、動 重復的次數 (單位：赫茲 Hz) Tm k f n 1 2 1 2 單自由度系統自由振動 8:20 單自由度系統自由振動 簡諧振動的三要素：振幅、頻率、相位 固有頻率：自由振動的頻率僅決定于系統慣性與彈性， 是系統的固有振動特性 常力對振動方程的影響 0 )( kxxm xkFxm k F 靜變形 當以質量的靜平衡位置為原點時，可以不考慮常力和由 其產生的彈簧靜變形的影響。常力對系統的固有振動特性 沒有影響。 以靜平衡位置為坐標原點 F x k m X l o 8:20 單自由度系統自由振動 2.2 能量法能量法 無阻尼系統自由振動中任一時刻的機械能為常值,機械能守恒。 常數EEE pk

6、22 2 1 2 1 Ekxxm 無阻尼系統的機械能無阻尼系統的機械能 ()0 dE m xxkxx dt x m xkx 說明無阻尼系統的機械能 在振動過程中不耗散，為一 常數。 t x(tx(t) ) A A -A-A 0 T T 初位移初位移 振動響應圖示 EEE pk maxmax 8:20 由機械能守恒，有如下兩個應用：由機械能守恒，有如下兩個應用： 0 dt dE EEE pk maxmax 由 1、求出運動方程： 由2、求固有頻率 單自由度系統自由振動 0 kxx m )sin(ptAx假設則)cos(ptAp x 22 max 2 1 pmAEk 2 max 2 1 kAE p

7、 因此有 222 2 1 2 1 kApmA m k p 2 有常力作用的機械能： 22 11 E() 22 mxkxFx ()()0 dE mxxkx xFxx mxkx dt 得 8:20 單自由度系統自由振動 例題: 下圖所示的是用于測定低頻振動振幅的傳感器中的一個 元件(無定向擺)。剛桿OA長為l鉸支在O點, A端固定一小球， 重為W?？縿偠认禂禐閗的彈簧支撐在鉛垂面內，彈簧離O點 的距離是a。求擺在鉛垂面內維持穩定的微幅振動的條件和 它的固有頻率。略去剛桿和彈簧的質量。 k O A W l a O A l a B B 8:20 解： 這是一個單自由度系統，取擺振角來描述系統位移形態。

8、 小球的速度是 l 則它的動能是： 2 )( 2 1 l g W T 小球下降的距離是 2 2 1 )cos1 (ll 依小幅振動假設，彈簧伸長量是 a 則系統的勢能是 22 2 1 )( 2 1 WlakU 總機械能是 UTE 0 dt dE 有振動微分方程 : 0)( 22 Wlkal g W 于是系統的固有頻率是 ) 1( 2 Wl ka l g n 1 2 Wl ka 系統的固有頻率才是實數，這就是穩定振動的條件。 單自由度系統自由振動 k O A W l a O A l a B B 8:20 2.3 2.3 單自由度系統的等效處理單自由度系統的等效處理 (1)單自由度扭擺系統 假定盤

9、和軸都為均質體，扭盤為剛性，求系統的自 由扭擺振動的固有頻率。 a)剛度的等效處理（按振動的變形模式進行等效） 設扭矩T作用在盤面，此時圓盤產生一角位移，根 據材料力學可知 GI Tl 式中G為剪切模量；I I為截面極慣性矩， 32 4 d I 定義軸的扭轉剛度為 l GIT kT d為軸的直徑。 單自由度系統自由振動 b)慣性項的等效處理（按動能等效進行折算） 剛性圓盤的轉動慣量為J;單位長度軸的轉動慣量為u,總J1=ul 取軸的靜扭轉變形模式作為假設振動模式，則軸上任意一個 微元的動能為 ,軸的總動能為 dx l x u 2 )( 2 1 2 1 2 0 2 ) 3 ( 2 1 32 1

10、)( 2 1 Jul dx l x u l 因此系統的總動能 22 1 2 1 ) 3 ( 2 1 Tk J J JE T T n J k 8:20 (2) 簡支梁橫向振動 假設系統的質量全部等效集中在梁的中部,且假定為me,取 梁的中部撓度 為系統的位移 則 EI Pl 48 3 為梁截面的抗彎剛度 EI 定義簡支梁等效剛度 3 48 l EIP k e 則系統的自由振動方程為: 0 ee km 振動固有頻率為: e e n m k 需要注意的是，me不是梁的總質量，它可以通過梁上各 點位移關系和動能等效的原則獲得。 單自由度系統自由振動 8:20 單自由度系統自由振動 例 鉸接式直升機旋翼

11、揮舞振動分析 揮舞 鉸 RL cos dR)cos( 2 簡化假設： 1 旋翼簡化成長L的剛性細桿， 鉸支于揮舞鉸； 2 轉子轉速為常數； 3 重力對旋翼的作用可略去不計 以固連于轉子的旋轉坐標系 為基準來考察旋翼相對運動，以 揮舞角描述 )sin)()cos( 2 dR ) 32 ()cos 32 (sin)cos(sin 2 2 2 2 0 2 LRL L LRL LdR L 0) 32 ( 3 L 2 2 2 LRL L R p 2 3 1 取微元做受力分析，微元 離心力對鉸鏈軸o的力矩為 離心力矩總合為： 均勻細桿繞o軸的轉動慣量 J=L3/3，由動量矩定理可得： 揮舞共振的固有頻率為： 8:20 如果系統內有多個彈性元件，為簡化振動分析，可用其總 剛度(又稱等效剛度)表示其彈性特征。 并聯 串聯 外力f的作用下，兩個彈簧 變形均為 各自受的力為: 11 kf 22 kf 合力關系 )( 2121 kkfff 總等效剛度系數為 21 kk f k 串聯彈簧的變形分別為 1 211 k f uu 2 322 k f uu 總變形 21 2131 k f k f uu 等效剛度 21 21 21 )/1/1 ( 1 kk kk kk f k 由此可見，彈性元件并聯將提高總剛度，串聯將降低總剛 度。這與電學中電阻的并聯、串聯結論是相反的。阻尼器