1、【標題】淺談導數在中學數學建模中的應用 【作者】楊 鵬 飛 【關鍵詞】導數最值函數數學模型 【指導老師】趙 博 【專業】數學與應用數學 【正文】1引言今天，導數作為研究函數性態的有力工具，是對學生進行理性思維訓練的良好素材，是我國高考命題的熱點，高考中主要考察利用導數求函數的單調性、單調區間、極值點、凹凸性、畫圖象等許多性質。除此以外，導數在現實中的重要性，也越來越得到人們的認肯，如在物理運動學中和微觀經濟學中邊值問題的應用。特別的在中學利用導數建立數學模型解決優化設計問題，有利于培養學生創新意識，提高學生分析問題、解決問題的能力。2導數溯源在西方，導數的思想最初是法國數學家費馬(fermat

2、)為解決極大、極小問題而引入的。但導數作為微分學中最主要的組成部分則是由牛頓（isac newton，16431727）與萊布尼茨（gottfried wilhelm，16461716）分別通過研究不同的問題而創立的。11666年牛頓將其前兩年的研究成果整理成一篇總結性論文流數簡論，這也是歷史上第一篇系統的微積分文獻。在簡論中，牛頓以運動學為背景提出了微積分的基本問題，發明了“正流數術”（微分），從確定面積的變化率入手通過反微分計算面積，又建立了“反流數術”，并將面積計算與求切線問題的互逆關系作為一般規律明確地揭示出來，將其作為微積分普遍算法的基礎論述了“微積分基本定理”?！拔⒎e分基本定理”也

3、稱為牛頓萊布尼茨定理，牛頓和萊布尼茨各自獨立地發現了這一定理。而萊布尼茨與牛頓的切入點不同，他創立微積分首先是出于幾何問題的思考，尤其是特征三角形的研究。1684年，萊布尼茨整理、概括自己1673年以來微積分研究的成果，在教師學報上發表了第一篇微分學論文一種求極大值與極小值以及求切線的新方法。在我國，導數作為微積分教學改革內容有一個漫長的過程。微積分內容在我國數學中幾進幾出,究其原因值得深思。1978年由教育部頒布的數學教學大綱中提了精簡傳統數學內容,增加微積分的初步知識。1988年以后,由于高考不考察其內容的導向影響,微積分實際上形同虛設。因此,關于微積分內容是否要增加,其深度、廣度、體系安

4、排和教學規律又怎樣掌握,一直是教育界同仁努力探索的問題。和我國形成鮮明對比的是世界上大部分發達國家受新數運動的影響早已將微積分等近現代數學的基礎知識作為中學數學的教學內容,把微積分放在突出位置作為提高人才培養質量的關鍵來加以改革。例如,美國從1958年,日本從1951年就開始在高中講授微積分,他們強調拓寬知識面,注重問題解決,強調理解和使用新技術等。而我國導數第一次出現在高考題中是在2000年，經過幾年的發展已成為各地高考的熱點，縱觀2007年全國各地的高考有近三分之二的試卷中都出現了與導數相關的試題。3中學數學開設導數等微積分課程的探討隨著教育改革的不斷深化,課程改革問題擺到了教育理論界的面

5、前。在我國中學是否開微積分初步一度成為人們討論的熱點問題,在新一輪的課程改革當中,也再一次將導數及其應用規定為選修內容。現在看來,無論是從社會發展需要,還是對人的培養方面來看都是必要的。首先，微積分中蘊涵著許多重要的思想,由常量到變量,由孤立到發展,由靜止到變化,由有限到無限,符合人的認識規律。而極有價值的極限思想,以“直”代“曲”,以“局部”研究“整體”,無窮分割等思想是初等數學中未能涉及的。這些思想和方法有利于實現學生數學思維的飛躍,有利于學生形成辨證邏輯思維,使復雜問題簡化。我們設想,從未接觸微積分內容的高中生進入社會所面臨的是所學的知識的技能與實際的具體需要還甚遠的情形將會怎樣。從這一

6、點來講,在中學開設微積分是必要的,也勢在必行。其次，面對21世紀這個信息時代,數學要與之相適應,就要作適當的更新,要逐步滲透一些高等數學思想，從本質上講初等數學和高等數學本身就是無法分割的，在中學開設微積分可與大學形成更好的銜接,為初等數學過渡到高等數學奠定了一定的基礎，也為進入社會工作生活的部分學生掌握新技術和新知識奠定了良好的基礎。讓學生能夠認識到數學知識的統一性,應用微積分可以解決初等數學難以解決的一些問題。再次,從學生的心理發展來看,微分學是高度抽象思維的結果,在高中開設部分微積分課程是完全符合學生心理發展規律的。最后,從標準實施情況來看,微積分在中學開設是完全可以的,我國大部分地區的

7、師資配備、硬件設施已明顯改善,為微積分的實施提供了物質保障。4導數在中學數學的基礎理論4.1導數概念的理解一般高中數學教材引入導數有三種模式：2第一種，從運動學角度，借助物理課中瞬時速度概念引入導數概念，這是從實際問題中提煉數學模型的范例。這種模式的好處是，利用高中物理課中已經講過的瞬時速度為基礎講變化率，并利用此方法定義的導數反回來求加速度和速度，可以跟物理學聯系比較，學生容易接受；同時，也符合微積分發展史上導數產生的現實意義，是早期中學教材引入導數的常效法。第二種，從純數學角度，以變量和函數極限方式定義引入導數概念，并結合曲線上某點切線的斜率代表導數這一幾何意義加以闡述。這是目前高等數學教

8、育中數學課本普遍采取的方法，較為抽象，需要較強的函數極限知識作基礎，被部分中學教材引入采用。第三種，從初等數學角度考察導數的極限定義相形式，以直觀描述為主，由具體實例引入，經歷由平均變化、瞬時變化率刻畫現實問題的過程，間接給出導數概念，而不直接追求理論上的抽象性和嚴謹性。這是新近中學數學教材引入導數所采用的方法模式。我們認為，以上第三種引入模式較符合高中數學導數教學引入，其例子可來源于當前現實生活普遍關注的新問題，如利率的跌降、氣體分子的擴散率等，符合高中生的認知特點，易引發興趣；同時，弱化了概念，注重了導數在實際問題中的運用。在國家高中數學課程標準組2003年全日制普通高中數學課程標準（實驗

9、）（簡稱新課標）中所采用的就是第三種模式。4.2導數方法的運用其一，可以利用導數判斷函數的單調性，當函數y=f(x)在某個區域內可導時，如果f/(x)0，則f(x)為增函數；如果 f/(x)0，則f(x)為減函數。其二，可以利用導數解決極大值和極小值問題，設函數f(x)在點x0附近有定義，如果對x0附近所有的點，都有f(x)f(x0)）,我們就說f(x0)是函數f(x)的一個極大值（或極小值）。其三，可以利用導數解決最大值和最小值問題，我們知道連續函數y=f(x)在閉區間a,b上一定存在最大值和最小值，且最大值和最小值只可能在區間（a,b）內的極值點和端點處得到。因此可直接求出一切可能的極值點

10、（駐點及個別不可導點）和端點處函數值，比較這些值的大小，即可得到函數的最大值和最小值。微積分的創立是數學發展的里程碑，它的發展和廣泛應用為研究變量和函數提供了重要的方法和手段。中把導數作為選修課程并要求通過大量實例，理解導數概念，了解導數在研究函數的單調性、極值等性質中的作用。初步了解定積分的概念為以后進一步學習微積分打下基礎。數學建模在培養學生創新能力和分析問題，解決問題的能力等方面有著重要作用，而微積分增加了培養學生數學思維能力的全新素材和解決實際問題的重要工具。所以本文從微積分在數學建模中的應用這一角度展開分析。5導數在中學數學建模中的應用一般地說，數學模型可以描述為，對現實世界的某一特

11、定對象，為了一個特定目的，根據特有的內在規律，做出一些必要的簡化假設，并運用適當的數學工具得出一個數學結構。數學建模是討論建立數學模型的全過程。是運用數學思想、方法和知識解決問題的過程，它為學生創設了提出問題、探索思考和實際應用的空間，有助于學生體驗數學在解決問題中的價值和作用，體驗數學與日常生活和其他學科的聯系，有助于激發學生學習數學的興趣。5.1中學數學建模的步驟建立數學模型解決實際問題是一種創造性的思維活動它沒有統一的模式和固定的方法，目前數學的教學理論也尚未形成，然而它的七個步驟卻是所有建模教材的共同內容，也是數學建模者必須掌握的內容，如圖12所示：圖1應該指出，并不是所有的建模都要經

12、過這些步驟，有時各步驟之間的界限也不那么明顯，建模時要不拘泥于形式上的按部就班，而應該采取靈活多邊的表述形式。5.2中學數學建模的過程根據對數學建模的一般步驟進行分析，可以將數學建模的過程分為表述、求解、解釋、驗證幾個階段，并且通過這些階段完成從現實對象到數學模型，再從數學模型回到現實對象的循環，如圖22所示：圖25.3中學數學建模的特點學建建?；顒邮怯懻摻祵W模型的全過程,是通過建立數學模型解決實際問題的全過程,是一種數學思維方式。它為學生創設了“提出問題、探索思考和實際應用”的空間。其特點為:創新性，由于數學建模活動所討論的是現實世界中的實際問題,而現實世界的復雜性往往使所提出的問題不能

13、直接套用數學定理來解決,這就需要較多的創新工作；應用性，即給出的是一種現實的情景,一種實際的需求,讓學提出的問題中條件可能不足,也可能冗余,問題有較強的探索性,需要從迷離混沌的狀態中,運用思維能力,找出一條主要線索。因此,我們認為,通過數學建?；顒?可以激發學生的創造能力,提高應用數學知識解決實際問題的能力。5.3導數在中學數學建模中的應用舉例從數學建模的內涵、特點及步驟可看出,在數學建模的過程中,要求學生具有豐富的想象力、洞察力,數學語言的翻譯能力,提出問題、分析問題、解決問題的能力和創新能力。以往我國中學數學建?；顒觾H限于初等數學方法的應用,內容比較貧乏。作為重要的工具性知識的微積分進入中

14、學后,可以大大豐富數學建?；顒拥膬热?促使學生涉獵更廣泛的領域,喚起學生求知的欲望,既體驗到數學在現實世界中的作用,又實現了數學教育的目標,即培養學生的數學思維能力、創新能力及分析和解決問題的能力。運用微積分知識,人們建立了許多數學模型,并解決了許多重大問題。例如,17世紀偉大的科學家牛頓在研究力學的過程中發明了微積分,又在開普勒三定律的基礎上運用微積分,成功地推導出了著名的力學定律萬有引力定律,這一創造性的成就可以看作是歷史上著名的數學模型之一;最初的人口預測和控制模型馬爾薩斯（malthus）人口模型和阻滯增長模型（logis2tic)模型，是應用微積分知識建立起來的;還有描述生產量、勞動

15、力、投資之間變化規律的道格拉斯（douglas）生產函數等等也要用到微積分知識。又如,有一段時間,美國原子能委員會處理濃縮放射性廢物的方式是裝入密封性很好的圓桶中,然后扔到深海里。這種做法是否造成放射性污染,引起了生態學家和社會學家的關注,通過有關微積分數學模型的建立,成功解決了放射性廢物處理問題中的爭論。此外,微積分還可以解決許多中學生能夠理解的、現實生活中的實際問題,這就為我們在中學開展數學建?；顒拥於肆己玫幕A,請看以下幾例:5.3.1案例:交通管理中黃燈問題14在十字路口的交通管理中,亮紅燈之前,要亮一段時間黃燈,這是為了讓那些正行駛在十字路口上或距十字路口太近以至無法停下的車輛通過

16、路口,那么,黃燈應該亮多長時間呢?1、問題分析：這個問題提得籠統含糊,因為十字路口的交通現象是很復雜的,并且通過路口的車輛的型號、行駛速度和方向等等也千差萬別。因此,我們分析這個問題必須通過假設、簡化,明確問題。2、模型假設：（1）十字路口的車輛秩序良好,無堵塞;（2）所有車輛長度相同,行駛速度相同;（3）所有車輛都是直接穿過路口。3、模型建立：在此假設下,黃燈狀態應該持續的時間包括駕駛員的決定時間(反應時間)t1，他通過十字路口的時間t2和停車過程的駕駛時間 t3,則t= t1+ t2+ t3為黃燈應亮的時間。據統計數據或經驗得到 t1= 1秒;下面計算 t2和 t3。設法定行駛速度為v0,

17、十字路口的長度為i，典型的車身長度為l，則汽車通過十字路口的時間為t2=;頂車過程是通過駕駛員踩動剎車板產生一種摩擦力，使汽車減速知道停止。設m為汽車質量f為剎車摩擦系數，x(t)為行駛距離，剎車制動力為fmg(g為重力加速度)。由牛頓第二定律，剎車過程滿足下述方程： m=-fmg； x(0)=0,t=0= v04、模型求解：對此方程積分，并帶入條件t=0= v0得=-fgt+v0，令末速度為零，得剎車時間為t1=,再積分并帶入條件x(0)=0,得x(t)=- fgt2+ v0t,故停車距離為：x(t)=- fg()2+v0=,所以t3=，這樣黃燈應亮的時間為：t=1+5.3.2案例：生豬的最

18、佳出售時機3一飼養場每天投入4元資金用于飼料、設備、人力，估計可使80公斤重的生豬每天增加2公斤。目前生豬出售的市場價格為每公斤8元，但是預測每天會降低0.1元，問該飼養廠應該什么時候出售這樣的生豬？1、問題分析：投入資金可使生豬體重隨時間增長，但售價（單價）隨時間減少。應存在一個最佳的出售時機，使得利潤最大，這是一個優化問題，根據黑出的條件，可做如下的簡化假設。2、模型假設：每天投入4元資金可使生豬每天增加常數r（r=2公斤）；生豬出售的市場價格每天降低常數g（g=0.1元）3、模型建立：給出以下記號：t時間（天）；w生豬體重（公斤）；p單價（元/公斤）；r出售的收入（元）；ct天投入的資金（元）；q純利潤（元）。按照假設，w=80+rt(r=2),p=8-gt(g=0.1),又知道r=pw,c=4t,再考慮到純利潤應扣掉以當前價格（8元/公斤）出售80公斤生豬的收入，有q=r-c-8*80，得到目標函數（純利潤）為：q（t）=(8-gt