1、第一講 矩陣運算性質(zhì)及其應用矩陣是數(shù)學中的一個重要內(nèi)容，它是繼數(shù)值這個運算對象之后，人們研究的又一個新的運算對象，也 是處理線性模型的重要工具 .矩陣的運算，到目前為止，人們已經(jīng)研究了幾十上百種.在這一講中，我們復習學習過的其中 10 種，包括加法、減法、數(shù)乘、乘法、乘方、轉置、共軛、行列式、伴隨和求逆.學習矩陣運算，重點有兩方面：運算的條件和性質(zhì).而運算需要的條件和數(shù)值運算是大不相同的.一 矩陣的概念及其運算方法首先，我們復習矩陣的概念及其運算方法 .定義 1 由 m n個數(shù)字 aij( i 1, 2, m,， j 1, 2, n,)排成的 m行n列的 數(shù)表，稱為一個m行n列矩陣 ，簡稱為

2、m n型矩陣.通常用 圓括號或方括號 括起來表示矩陣數(shù)表是一個整體，并 用大寫字母表示，即a11a21a12a22a1na2nam1am2amnA的(i,j) 元素，簡稱 (i, j)元.以aij 為 (i , j )元的矩陣可位于矩陣 A的第 i行第 j 列的數(shù)字 aij ，稱為 簡記作 (aij ).m n型矩陣 A也記作 Am n或mAn .m n時， n n型矩陣 A也稱為 n階矩陣，記作 An.兩個矩陣的行數(shù)相等，列數(shù)也相同時，稱為同型矩陣 .兩個矩陣 A與B是同型矩陣 ，且它們的對應位置上的數(shù)字元素都相等，就稱這兩個矩陣A與 B相等，記作 A B .有一些矩陣的元素分布比較特殊，我

3、們用專門規(guī)定的記號來表示，如零矩陣 O ，它的元素全為 0.要注意，不同型的零矩陣是不同的.單位矩陣 E(也記作 I )，它是對角線元素都為 1，其余元素都為 0的方陣 .對角矩陣 diag 1, 2, , n =(與行列式中一樣，不寫出的元素就是0) .n下面，我們來復習矩陣的 10 個運算方法 .定義 2 設兩個矩陣 A (aij )mn 和 B (bij )s t ， A與 B能相加、減的條件是： A與 B同型，即 m s且n t . A與 B相加的和 記作 A B ， A與 B相減的差 記作 A B. 運算方法規(guī)定為1 / 22ABa11b11a21b21am1bm1a12 b12am

4、2bm2a1nb1na2nb2namnbmnb11ABb21am1bm1a12b12a22b22am2bm2a1na2namnb1nb2nbmn根據(jù)定義，矩陣的加減就是對應位置上數(shù)字的加減例如2 3 3 4 2 3 3 4 5 75 7 1 0 5 1 7 0 6 72331 3 2 ( 3)253244 2 3 4211122 1 1 213定義 3 數(shù)k與矩陣 A (aij )m n相乘的積 記作kA( Ak).運算方法規(guī)定為kA kaij200ij m n 例如2 3 4 5 2 5 3 5 4 10 15 53 1 0 5 ( 3) 5 1 5 0 15 5定義 4 設兩個矩陣 A (

5、aij)mn和 B (bij )s t， A與 B 能相乘的條件是： n s. A與 B相乘的積記作 AB.運算方法規(guī)定為AB的(i, j)元 ai1b1j ai2b2jainbnj即 A的第 i行各元素與 B的第 j 列對應元素的乘積之和為 AB的(i,j)元.2 / 22312 3 2 例如 2 31 4 7 722 3 3 ( 2) ( 2) 7 2 1 3 3 ( 2) ( 2)14 151 3 4 ( 2) 7 7 1 1 4 3 7 ( 2)44 1定義 5 設矩陣 A 為 m n型， A 能乘方的條件是： m n 即 A 為方陣 . k 為非負整數(shù)， A 的 k 次冪 記作 Ak

6、. 運算方法規(guī)定為E, k 0 AkA, k 1 ，Ak 1A, k 2例如3223 3 23 2 2 331 31 3 12( 23)131313 2 3 2 3A 的轉置 . 記作 A 或 AT ，即a11am1a12a1na11a22a2na12時，A 12am2amna1na21a22a2n3 / 22am1am213 3 2 33 10 3 1 35 3636 1定義 6 將矩陣 A 的行與列互換，得到的矩陣，稱為例如31345A 時， A 4 2 12353定義 7 設矩陣 A (aij )m n ， A可取行列式的條件是： m n即 A為方陣 . A 的行列式 即 A aij 例

7、如341 A 2 0 0 時，111( 1)2 1注：矩陣 A與行列式 A 是完全不同的對象 .矩陣 A是一張數(shù)表， 不是數(shù)，而行列式 A 就是數(shù).記號上， 矩陣只能用圓括號或方括號，而行列式一定要用一對平行線定義 8 設矩陣 A (aij)m n， A能取伴隨的條件是： A 為方陣且 m n 2.A*A21An1A22An2A2nAnn A的伴隨 記作 A* ，并稱為 A的伴隨矩陣 . 運算方法規(guī)定為即在 A中將每個元素換成它的代數(shù)余子式后，再轉置 .例如abdbcdca123*0051112642002414 / 22a22a23a12a13a12a13a1111*a32a33a32a33

8、a22a23a12a1313a21a23a11a13a11a13a21a22a23a31a33a31a33a21a23a31a32a33a21a22a11a12a11a12a31a32a31a32a21a22定義 9 設矩陣 A (aij )m n ， A可逆的條件是： A 為方陣且 A 0. A的逆記作 A 1，并稱 A 1 為 A的逆矩陣 運算方法規(guī)定為m n 2 時， A 11 A*Am n 1時，即一階方陣的逆(a11) 1a11當方陣 A 可逆的條件不滿足，即A 0時，常說 A不可逆或 A是奇異矩陣 。例如(3)，12143423有時，規(guī)定 一階矩陣的伴隨 (a11)(1)，這樣，求

9、逆公式就統(tǒng)一 為 A 11*AA.123005005111126412642001024110241定義10 矩陣 A的共軛記作 A，規(guī)定為 A (aij)m n.例如3i3i4i1i4i1i5 / 221.計算習題 112 3 518913 11 431 9 0654；答案7 4 4.(2) 12323683216891；答案；答案10.224013）21 2 ；答案24.(4) (1,2,3)20336141）14,C, B 112. 設 A 21(1,13).3323123611,B1111113. 設 A, 計算AB ;BA . 答案 AB4. 已知 A3 s B4 t Cu vD3

10、5C C ，求s,t,u,v. 答案 s 4,tBA22225,u 3 .5. 設 (0,8,6) , AT ，計算 A101. 答案 A101 100100644848366. 設 A3 3 ( 1, 2, 3), A123 2 1,3 2, 17. 求矩陣的伴隨矩陣以及逆矩陣（12025；（ 2） A21343502. 答案6.A246246351135；（2）1， A 1 1A*1923， A*192342144236510351031）答案（1） A*6 / 22二 矩陣運算的性質(zhì)這一部分講兩個問題：其一，矩陣運算性質(zhì)的發(fā)現(xiàn)方法類比；其二，矩陣運算性質(zhì)的證明方法（定義方法及其簡化形式，

11、舉反例方法， 連續(xù)性方法，逆矩陣方法）其一，矩陣運算性質(zhì)的發(fā)現(xiàn)方法類比 矩陣運算是與數(shù)值運算不同的一種新運算對象的運算.研究它們的性質(zhì)， 當然還是從 類比 數(shù)值運算的性質(zhì)開始 .注意到， 運算的名稱是規(guī)定的 ,因此，進行類比時， 數(shù)值運算的某一運算性質(zhì)就可能 會類比到矩陣的每一個運算上面去 .例如，類比交換性質(zhì)，就是交換運算中兩個運算對象的位置，就可類比出下列等式是否正確的問題： A B B A A B B A kA Ak （ 定義中相等 ） AB BA Ak kA（ k A不會算）這三個 等式是否正確的判別就是下面要講的證明方法。其二，矩陣運算性質(zhì)的證明方法于是要做的事情就很多了 .類比數(shù)值

12、運算，矩陣有哪些運算性質(zhì)呢？在這一講中，我們不可能將所有 性質(zhì)都列舉出來，并逐一證明一遍，這也不必要.我們將針對某些類比性質(zhì)， 用舉例的形式給出主要用到的證明方法 ，希望大家學會以后，能舉一反三 . 定義方法及其簡化形式例 1 證明矩陣乘法滿足結合律： A（BC） （AB）C .注 意 矩陣運算的等式是有前提條件 的 . 運算所要求的所有條件中，有些條件是必須作為前 提條件的， 有些條件是可由前提條件推出的 . 而在 等式中往往又寫不出這些條件 ，那么怎么樣區(qū) 分哪些是前提條件呢？一般來說，等式兩邊的運算中，最基本運算的一邊的條件是作為前提條件的，而另7 / 22 一邊(往往可能是復合運算時，

13、更是如此)的條件是應該要推出來的 .證 等式兩邊都是復合運算，選取左邊的運算條件為前提條件 .設B為 n s型，則 C必須是 s行，可設 C為 s t型，從而 BC是n t型，則 A必須是 n列，可設 A 為m n型，于是左邊 A(BC)為m t型.而這時右邊 ( AB)C的運算條件顯然就都滿足了， 且也是 m t 型, 等式兩邊型相同了 .下面再來證明兩邊對應位置的元素相等 .用( X )ij表示矩陣 X 的(i, j)元，這樣，左邊的 (i, j)元為(A(BC)ij (A)i1(BC)1j (A)i2(BC)2j(A)in (BC)nj(A)i1(B)11(C)1 j (B)12(C)2

14、j(B)1s(C)sj(A)i2(B)21(C)1j (B)22(C)2 j(B)2s(C)sj(A)in(B)n1(C)1j (B)n2(C)2 j(B)ns(C)sj(A)i1(B)11 (A)i2(B)21(A)in(B)n1(C)1j(A)i1(B)12 ( A)i 2 ( B) 22(A)in (B)n2(C)2j(A)i1(B)1s (A)i2(B)2s(A)in (B)ns(C)sj(AB)i1(C)1j (AB)i2(C)2j(AB)is(C)sj( AB)C)ij為右邊的 (i, j)元， i 1,2, ,m， j 1,2, ,t.根據(jù)矩陣相等的定義，我們就證明了乘法結合律

15、.從這個例子，我們看到，要 證明一個矩陣運算的等式，就要做兩方面 的工作 . 一方面找 出所需要的前提條件(盡可能少)并推證出其他的運算條件是滿足的 . 另一方面再證明矩陣運算的等式是 成立的，即等式兩邊型相同，且所有對應位置的元素也相等，這可以叫做 矩陣相等的定義方法仿照例 1 的證明方法，顯然可以證明下列矩陣運算的性質(zhì) A B B A (A B) C A (B C) A B A ( B) ( )A ( A) ()A A A8 / 22 (A B) A B (AB) ( A)B A( B) A(B C) AB AC， (B C)A BA CA Ak Al Ak l ， (Ak )l Akl

16、(AT )T A? (A B)T AT BT? ( A)TAT? (AB)T BT AT? A B A B? A A? AB AB其中，性質(zhì) ? 是類比分配律考慮 (AB)T ATBT 成立與否時發(fā)現(xiàn)的例 2 證明伴隨矩陣滿足 AA* A* A AE .證 根據(jù)行列式展開定理：同行展開等于行列式本身，異行展開等于零a11a12a1nAAa21a22a2nA11A12an2annA1nAA21A22A2nAEA同理 A*A A E.這個證明中， 省略了前提條件： A 為方陣且階 2 ，并推出其他運算條件的過程 . 且矩陣相等不是像例 1 那樣分兩步，而是直接計算的 .仿照例 2 的證明方法，顯然

17、可以證明下列矩陣運算的性質(zhì) A O A OA O ， AO O ，注意這些零矩陣可能不同型 EA A ， AE A ，注意這些單位矩陣可能不同階 diag a1,a2 , ,an diag b1 ,b2 , ,bn diag a1 b1,a2 b2, ,an bndi aga1 a,2,an,di ab1 g b2,n,b,d1ai a1bg a2 2b ,nna,b ,9 / 22di aga1ka,2 ,an ,diaak1ga k2 , an ,ka1a2b2a1b1a2b2a1a2anbnanbnk a1k a2ankan對于方陣 A和多項式 f(x) a0 a1x a2x2amxm

18、，記f(A) a0E a1A a2A2am Am并稱 f ( A)為矩陣 A代入多項式 f (x)所得的多項式，注意 f (A)仍是與矩陣 A同階的方陣 .對于兩個多項式 f(x) 和 g(x) 及方陣 A ，交換律成立：f(A)g(A) g(A) f(A)如果 f (x) 為多項式， diag 1, 2, , n ，則f( ) diag f( 1),f( 2), ,f( n)如果 f ( x)為多項式， A 為上三角形矩陣，Aa11a2an則f (a1)f(A)f (a2)1f (an)對于下三角形矩陣，上述類似結論也成立 .若 A P 1BP， f (x)為多項式，則 f(A) P 1f(

19、B)P. AA 1 A 1A E .最后，我們還指出一個 很有用的性質(zhì) .10 / 22? 對于 1階方陣 (k) ，總有 A(k) kA，(k)A kA. 舉反例方法例 3 舉反例說明矩陣乘法交換律不成立： AB BA .解 當 A ， B 不是同階方陣時，顯然 AB BA .對于同階方陣 A ， B ，最簡單的為 2 階(顯然 1 階方陣時，沒有反例) .這時，左邊的 (i, j) 元為(AB)ij (A)i1(B)1j (A)i 2(B)2j而右邊的 (i, j) 元為(BA)ij (B)i1(A)1j (B)i2(A)2j .1，(A)21 0時， ( AB)11 (BA)11 .于是

20、，無論 A， B的顯然， i 1， j 1 ， ( A)12 1， (B)21其他元素怎么取，都有 AB BA .故可選 A，B 的其他元素都為 0 ，即，B0010這時10000001ABBA.0010仿照例 3 舉反例的方法 ，可對下列矩陣運算性質(zhì)舉反例進行說明 .矩陣乘法有零因子 ，即 AB 0 A 0或 B 0矩陣乘法消去律一般不成立 ，即 AB AC 且 A 0 B C 另外，由于矩陣乘法交換律不成立，從而有關 因式分解的代數(shù)公式一般就都不成立 ，即 (A B)2 A2 2AB B2 (A B)3 A3 3A2B 3AB2 B3n (A B)n( 1)n kCnk AkBn kk0

21、(A B)(A B) A2 B2 (A B)(A2 AB B2 ) A3 B3 (AB)( An 1An2BAn 3B2Bn 1)AnBn， n為奇數(shù) (AB)(An 1An2BAn 3B2Bn 1)AnBn乘積乘方的公式也不成立 ，即11 / 22 （AB）k AkBk但是，要注意，仿照例 2 的證明方法，顯然可以證明：對于乘法可以交換的兩個具體矩陣 A和 B： AB BA，上述公式 中的不等號“ ”就都要換成等號“ =” . 連續(xù)性方法另外，由于乘法沒有交換律，因此，若想用乘法定義除法，對于可逆矩陣B ， A除以 B 就應該分清個數(shù)了.前幾例的方法就不能完全用來研究矩陣是右除，還是左除，所

22、以在矩陣運算中沒有除法，因此，矩陣是永遠不能出現(xiàn)在分母中的 .又由于矩陣取行列式后，就是上一章的行列式，是運算的 行列式性質(zhì) . ATA （行列式轉置，值不變） kAn kn An （ n個行都提出公因子 k ） ABAB Akk（由歸納） n 2 時，n1An ， (a11) 1A1A A （行列式定義和數(shù)值共軛運算性質(zhì)）舉 2 階反例） 舉 2 階反例）下面給出、的證明先證明 .首先另一方面，我們對行列式j 1,2, ,n )，有a11a12a1na21a22a2nan1an2ann1b11b121b21b221bn1bn2bnnD 進行下列倍加列：i 列的第b1nb2nbi j 倍加到第

23、12 / 22ABn j 列上去( i 1,2, ,n ，A ABEOD( 1)n( 1)nE ABEOA ABAB這就證明了 ABA B .注意這里 A、 B 為同階方陣是前提 .再證明 .利用例 2 后面列出的性質(zhì)， AA 1 E ，再根據(jù)剛證明的性質(zhì)，就得到A A 1 A 1A E 1,故 A 1 1 A 1. ,故A .最后證明 .后一個等式是顯然的.對前一個等式，我們采用一種 連續(xù)性方法 進行證明 .對 n 2 ，當 A 可逆時，* 1 n 1 n 1 AnA AnA AnA .當 A 不可逆時，記 B A tE ，顯然 B 是 t 的 n 次多項式，至多 n 個不同根，其中一個根為

24、 t 0. * n 1因此在 t 0 的一個空心鄰域內(nèi)， B 0 ， B 可逆 .由前面已證明的結論知 B* B 在 t 0 的一個空心 鄰域內(nèi)總成立 .* * * * n 1令 t 0 ，則 BA ， B A ， B A ， BA ，而等式兩邊仍是 t 的多項式，由多項式的連續(xù)性知，這時也有 An* A n 1 . 逆矩陣方法對于矩陣的求逆運算，有如下特別重要的充要條件：例 4 對于方陣 A， A 1 B的充要條件是 AB E（或 BA E ）.證 若 A 為 1 階方陣，上述充要條件是顯然的 .若方陣 A 的階 2 ，當 A 可逆且 A 1 B 時，由例 2 后 的性質(zhì)得 AB AA 1

25、E （或 BA A 1A E ）.而當 AB E時，易知 A、 B為同階方陣，由矩陣運算的行列式性質(zhì)知A B AB E 1就得 A 0，從而 A可逆，再利用例 2 后的性質(zhì)和就得到B EB A 1AB A 1E A 1 同樣可證 BA E 的情形 .利用這個充要條件，我們就得到一個證明逆矩陣問題的方法 逆矩陣方法 ：要證 A 1 B ，只 須證明 A為方陣且 AB E（或 BA E）.下面 逆矩陣的性質(zhì) 就可以用這個方法證明 . （kA） 1 k 1A 1 (AB) 1 B 1A 113 / 22 (Ak ) 1 (A 1)k A k (AT) 1 (A 1)T (A*) 1 (A 1)* (

26、A 1) 1 A (A) 1 (A 1)同樣，舉反例可說明 (A B) 1 A 1 B 1 (A B) 1 A 1 B 1另外，對于可逆矩陣的乘法消去律是成立的并列 AX AY 或 XA YA且 A 可逆 X Y 對于伴隨矩陣，除前面已列舉的性質(zhì)外，還有一些性質(zhì)，主要用前面的 連續(xù)性方法 進行證明， 出如下：* n 1 * (kAn )* kn 1An* (用伴隨的定義和行列式性質(zhì)即得) (AB)* B* A* (Ak)* (A*)k (用歸納) (AT )* (A*)T (轉置和伴隨的定義即得)(A 1)* (A*) 1(前面已有)n2A n 2 A n 2 (A*)* A n 2(1) n

27、 1(A)* (A*) (用伴隨的定義和行列式性質(zhì)即得) AA A A AE (前面已有)同樣，舉反例可證明 (A B)* A* B* (A B)* A* B*14 / 22習題 21. 仿照例 1 的證明方法，證明下列矩陣運算性質(zhì)(1) A(B C) AB AC(2) (AB)T BT AT2. 仿照例 2 的證明方法，證明下列矩陣運算性質(zhì)(1)對于兩個多項式 f (x)和g(x) 及方陣 A ，交換律成立：f(A)g(A) g(A) f(A)(2)如果 f (x) 為多項式，diag 1, 2, , n ，則f( ) diag f( 1),f( 2), ,f( n)(3) 若 A P 1B

28、P， f (x)為多項式，則 f (A) P 1f(B)P.11(4) AA A A E .(5)對于 1 階方陣 (k)，總有 A(k) kA， (k)A kA.3. 仿照例 3 舉反例的方法，對下列矩陣運算性質(zhì)舉反例進行說明 . (1)矩陣乘法有零因子 ，即 AB O A O或 B O (2)矩陣乘法消去律一般不成立 ，即 AB AC 且 A O B C(3) (A B)2 A2 2AB B2(4) A B A B5) (A B) 1 A1 B 14. 用 逆矩陣方法 證明下列逆矩陣的性質(zhì)(1)(kA) 1 k 1A 1(2) (AB) 1 B 1A 1(3) (Ak) 1 (A1)k A

29、 k(4) (AT) 1 (A 1)T(5) (A*) 1 (A1)*5. 證明： 如果 A2 A,A E,則 A必為奇異矩陣 .6. 證明 (A 1 B 1) 1 A(A B) 1 B B(A B) 1 A.15 / 22三 矩陣運算性質(zhì)的應用在這一部分，我們將列舉一些應用矩陣運算性質(zhì)解決的問題性質(zhì) AA 1 A 1A E,AA A A A E 的應用 例5設202223A220， B011，044211解矩陣方程 3A 4X 2B 2X .解 移項并合并同類項得2232022401202011322106423212211044414102752X 2B 3A11故 X (2B 3A)22

30、例 6 設200103101 解矩陣方程 AX 4A 5X .解 移項AX 5X 4A 提出公因子(A 5E)X 4A 消去系數(shù)矩陣求解X (A 5E) 1( 4A) 化簡20(A 5E 1)X (A 5E) 1 4(A 5E) 20E2103 1 0031知， A 5E0210010044E由AA 5E24 ，從而(A 5E) 1A 5E(A 5E)2416 / 2212100811X4010501236001006200A 0 3 1001解矩陣方程 AXA*解 化簡即提出公因子消去系數(shù)矩陣求解20由于 A 0 300于是4AX 4E .1 * 1A 1( AXA* 4AX)A A 1(4

31、E)AA X 4XA 4EX( A E 4A) 4EX( AE 4A) 4E( AE 4A) 1 4(A E 4A) 101 ，故 A 6 ，1因此2 0 0A E 4A 0 6 40 0 10A E 4A 12060 0 011( A E 4A) 1 0 20 81200 0 1260003000X10208101043015001200617 / 22 性質(zhì) AA 1 的應用例 8 設 A43，求 A* 5A 1解*1A*5A 1A0A A 1 5A 1( A 5)A 1A4(A 5)4 A( A 5 4) A 3 ( 3 54)16A 3 3200023105求 2(A 3E)* 1.解

32、2(A 3E)* 1 2 A 3E(A 3E) 1 1 2 1 A 3E 1(A 3E) 1 1例 10 設2 A 3E (A 3E) 4180026108201A 3 1 0401求 3A* 2A 1* .解3A* 2A1* 3 AA 1 2A1* (3 A 2)A1* (3 A 2)A1 (3 A 2)A 1 1A 2 2( 3A23) A 1 ( 3A21) A(1 1)(3A22)AA A 2 16 3A2011 0 801101性質(zhì):對于 1 階方陣(k) ，總有 A(k) kA，(k)A kA的應用例 11 設 1,2,3 ， A T ，求 A101. 解18 / 2211,2,3

33、 2 1431123TA21,2,32463369123A101 ( T )101 T ( T ) ( T ) T ( T )100 14100 T 12 設 (1, 1,0)T ， A E x T ，求 x，使 A3 A.解A3(E x T)3 E3 3E2x T3E(x T)2(x T )3 Ex(3 6x4x2)T A2 3 3i 33ix 0或(3 6x 4x2) 0 x 0或 x 或 x .88 逆矩陣方法的應用：由 f (A) O,證明 g( A)可逆并求出 g(A) 1(帶余除法 ) 例 13 設 A 滿足 A3 2A 3E O ，試證明 A E 可逆，并求出 (A E) 1.解 先將等于零矩陣的等式 A3 2A 3E O 左邊 A的多項式還原成變量 x的多項式 x3 2x 3作 為被除式，講要求逆的 A 的多項式還原成變量 x 的多項式 x 1作為除式， 做多項式帶