1、專題復習檢測1 . (2019年東北三校聯考)已知橢圓C:x2a2+y2=1(ab0), FG/2, 0)為其右焦點,過 F2,則橢圓C的方程為()D x2 y2 dB- 7+2=1D. x-+y2=13且垂直于x軸的直線與橢圓相交所得的弦長為x2 y a 7+3=1C x2+y2= 132【答案】Bc= 2,b2. a=2,.，、/x2 v2【解析】由題意得合1,解得b也.橢圓c的方程為1.a2= b2+c2,2. (2019年福建福州模擬)拋物線C的頂點為原點，焦點在 x軸上，直線x- y=0與拋物 線C交于A, B兩點，若P(1,1)為線段AB的中點，則拋物線 C的方程為()A. y=2

2、x2B. y2= 2xC. x2= 2yD . y2= 2x【答案】B【解析】由題意可知 A, B兩點中必有一點是原點，不妨設 A(0,0).由P(1,1)是線段AB 的中點，可得B(2,2).設拋物線方程為y2=ax,將B(2,2)代入，可得22= 2a,解得a=2,即拋 物線方程為y2=2x.3,若一個圓的圓心是拋物線x2=4y的焦點，且該圓與直線 y=x+3相切，則該圓的標準方程是()B . x2+(y1)2=1D. x2+(y1)2 = 2A. (x1)2+ y2= 1C. (x1)2+y2=2【答案】D【解析】拋物線x2=4y的焦點為(0,1),即圓心為(0,1),設該圓的標準方程是

3、 x2+(y1)2 = r2(r0). =該圓與直線 y=x+3相切，.=一巖=成.，該圓的標準方程是 x2+(y1)2 =2.4. (2019年上海嘉定區期末)過點P(1,1)作直線與雙曲線x2，=1交于A, B兩點，使點P為AB中點，則這樣的直線()A .存在一條，方程為 2x y 1 = 0B.存在兩條，方程為 2x4y+1) = 0C.存在無數條D.不存在【答案】D1cc 1 c【斛析】設 A(xi,yi), B(x2,y2),則 xi +x2=2,yi+y2=2,，x22%=1,x2-y2= 1.,11兩式相減，得(xi x2)(xi + x2)2(yiy2)(yi + y2)= 0

4、,所以 x1 x2=2(y1 y2),即 kAB= 2.故所求y= 2x- 1,直線方程為y1 = 2(x1),即y=2x 1.聯立 2 1 2 化簡得2x24x+ 3 = 0,無解,故這樣的直線不存在.故選 D.5,過橢圓條=1(ab0)的左焦點F作斜率為1的直線交橢圓于 A, B兩點.若向量OA+OB與向量a=(3, 1)共線，則該橢圓的離心率為()BYy= x+ c,【解析】設A(xi,yi),B(x2,y2),F(c,0).直線l的方程為y=x+c,聯立x2y2.7+b2ioo ccccc- 2ca22cb2響匕簡得(a2 + b2)x2+2ca2x+a2c2a2b2= 0,xi +

5、x2 = 2rb2, yi + y2= xi+x2+2c= a27Pb2-量O)A+麗=2ca202+b2cb2 一4目2ca2:司工？ .向量O A+O B與向量a=(3, 1)共線，一 七/一3X a十ba十b a2cb22+ b2=0,a2 = 3b2,e=.x2 y26. (2019年江西南昌模擬)已知P(1,1)為橢圓+2= 1內一7E點，經過 P引一條弦父橢圓A, B兩點，且此弦被 P點平分，則此弦所在的直線方程為【答案】x+ 2y- 3= 0【解析】易知此弦所在直線的斜率存在，所以設其方程為y- 1 = k(x- 1), A(xi, yi), B(x2,y1= k x 1 ,y2

6、),由 x2 y2_消去 y,得(2k2 + 1)x24k(k1)x+2(k22k1)= 0.，xi + x2 =+ 2 = 1，4k k-14k k- 1-112k2+1 .又.xi + x2=2,2k2+1 =2,解得 k= 一2.故此弦所在的直線萬程為y-1 = -(x-1),即 x+2y-3=0.x27.雙曲線C: -y2= 1的左、右焦點分別為 Fi, F2,直線l過F2,且交雙曲線 C的右支于A, B兩點(點A在點B上方)，若 負+2麗+ 3求1 = 0,則直線l的斜率k =【答案】11【解析】由題意知雙曲線的焦點為Fi(-2,0), F2(2,0),設A(xi, y1), B(x

7、2, y2),直線AB:12k2y=k(x2),代入雙曲線萬程，整理得 (1 3k2)x2+12k2x12k23=0, .十一 = 1_ 3k2,12k23x1x2 = -21 3k2. OA + 2OB + 3OF1 = 0). . Xi + 2x2 6 = 0.由可得k=/或k=木1(舍去).8.設拋物線y2=8x的焦點為F,準線為l, P為拋物線上一點，PAl, A為垂足.如果 直線AF的斜率為一 鄧,那么|PF尸.【答案】8【解析】由題意，直線l的方程為x=2,焦點F為(2,0),設A點的坐標為(一2, c),則c 0-2-2=一寸3,解得c= 4m.又PAL l,，P點的縱坐標為 4

8、43.由(4j3)2=8x,彳導x= 6.，|PF|= x+p=8.9.已知 M(3, y0)(y00)為拋物線 C: y2 = 2px(p0)上一點, =5.F為拋物線C的焦點，且|MF|(1)求拋物線C的方程；(2)MF的延長線交拋物線于另一點N,求N的坐標.【解析】(1)|MF|=3+2=5, . . p=4.，拋物線方程為y2=8x.(2)由題意知MF不垂直于x軸，故設MF所在直線方程為y= k(x- 2),y= kx 2 ,聯立 .整理得 k2x2(4k2+8)x+ 4k2=0.y2=8x,.、，4k241 xM xN =卜2 - 4. xM = 3, . . xN = 3. N為M

9、F的延長線與拋物線的交點，可知yNb0)的離心率為2,過橢圓右焦點F作兩條互相垂直的弦 AB與CD.當直線AB斜率為0時，AB=4.(1)求橢圓的方程；48(2)若|AB|+|CD| = 48,求直線AB的萬程.【解析】(1)由題意知e= a=1, 2a= 4.又 a2=b2+c2,解得 a = 2, b=地.22橢圓方程為x-+y-=1.43(2)當兩條弦中一條弦所在直線的斜率為0時，另一條弦所在直線的斜率不存在，由題意知|AB|+|CD|=7,不滿足條件.當兩弦所在直線的斜率均存在且不為0時，設直線AB的方程為y=k(x- 1), A(x1，y1),一，、1B(x2, y2),則直線 CD

10、的萬程為y= k(x 1).將直線AB方程代入橢圓方程中，整理得(3 + 4k2)x2 8k2x+ 4k2-12 = 0.8k24k212. xix2=374? x1x2=3K.12 k2+ 1 |AB|=#2+ 1X -x2|=侏2+ 1 Xi +，2- 4xi& = 3q-4k2-.12 k2+112 k2+1i= K.|AB|+|CD=12 k2+ 1 , 12 k2+ 12- 十 3+4k284 k2+ 1 2483k2+43 +4k2 3k2+47,解得k= 土.，直線AB的方程為xy1=0或x+ y1 = 0.B卷11. (2017年新課標n )過拋物線C: y2=4x的焦點F,且

11、斜率為 43的直線交C于點M(M在x軸上方)，l為C的準線，點A,加C, 2/3【答案】CN在l上，且MNl,則M到直線NF的距離為()B.D.2 23 .3【解析】由題知F(1,0),則MF所在直線的方程為 y=V3(x-1),與拋物線聯立，化簡,1得 3x2 - 10x+ 3= 0,解得 Xi = , 3X2=3, . M(3,2g).由 MNl 可得 N(1,2),又 F(1,0),則NF所在直線的方程為 y3x+ y-3= 0,M到直線NF的距離13/3+273-V3| 32+12故選C.F（0,52）的橢圓，截直線y12. （2019年山西太原五中模擬）中心為坐標原點，一個焦點為=

12、3x2所得弦中點的橫坐標為2,則該橢圓方程為C.+篁=17525x2+J 125 75B.D.x2- + 75 25If+冷 122x , y .丫21【解析】由已知c= 5，設橢圓的方程為 三二十馬=1,聯立a50 a消a 50 ay= 3x 2,V,得(10a2 450)x2 12(a2 50)x+ 4(a2 50) a2(a2 50) = 0.設直線 y=3x- 2 與橢圓的交點坐標分別為（Xi, yi）, （x2, y2）,由根與系數的關系得12 a250.x1 + x2 = 10a2450.由題思知 x1 + x2= 1 ,艮12 a2 50-一、，、一10aL 450 = 1,解得

13、a2=75,所以該橢圓方程為y2+x2=175 2513. （2019年新課標I ）已知雙曲線C2 ya2 b2= 1（a0, b0）的左、右焦點分別為F1,F2過F1的直線與C的兩條漸近線分別交于A, B 兩點.若 f1A=AB, f!Bf1B=0,則C的離心率為【解析】如圖，由KA=AB,可得點A為BF1的中點.又點 O為F1F2的中點,所以O/BF2.由F1B F 2B=0,可得BFUBF2,所以OALBF1.因為漸近線 OA, OB的方程分別為y=-bx, y=ax,所以直線BF1的斜率為a.方法一：直線BF1的方程為y=a（x+ c）.a .y=b x+ c , 聯立a2cx=_ b

14、 y=-ax，解得abcy=a2+b2 一a2cSPA 一齊薩abca2+b.聯立by=ax，解得a2cx=b2-a2abcy=b2Ta2a2cb2 a2abcb2a2 .又由八、abc abcA為BFi的中點，可得廬于=2 a而，化簡得b2=3a2,所以 c2 = a2+ b2 = 4a2, e=y2 = yja = 2.方法二：由直角三角形的性質可得/BOF2=2Z BF1F2,所以tan /BOF2 = tan 2/BF1F2,2aPb= ba ,化簡得b2=3a2,以下同方法一.3 1- b214. （2019年北京）已知拋物線C: x2= 2py經過點（2, 1）.（1）求拋物線C的

15、方程及其準線方程；（2）設O為原點，過拋物線 C的焦點作斜率不為 0的直線l交拋物線C于兩點M , N,直 黃y = 1分別交直線 OM , ON于點A和點B.求證：以AB為直徑的圓經過 y軸上的兩個定點.【解析】（1）拋物線C: x2= 2py經過點（2, 1）,可得4=2p,即p=2,所以拋物線C的方程為x2=-4y,準線方程為y=1.（2）證明：拋物線 設直線l方程為C: x2=- 4y 的焦點為 F(0, 1).y= kx- 1(kw 0).可得 x2 + 4kx 4= 0.x2 = 4y, 由，.y= kx 1,設 M(xi, yi), N(x2, y2),可得 xi + x2=4k, xix2=4.直線0M的方程為y=令 y=-1