1、一、概率論發展簡史1(20 世紀以前的概率論概率論起源于博弈問題。 15-16 世紀，意大利數學家帕喬利 (L.Pacioli,1445-1517) 、塔塔利亞 (N.Tartaglia,1499-1557) 和卡爾丹 (G.cardano,1501-1576) 的著作中都曾討論過倆人賭博的賭金分配等概 率問題。 1657 年，荷蘭數學家惠更斯 (C.Huygens,1629-1695) 發表了 論賭博中的計算，這是最早的概率論著作。這些數學家的著述中 所出現的第一批概率論概念與定理，標志著概率論的誕生。而概率論 最為一門獨立的數學分支，真正的奠基人是雅格布 ?伯努利 (Jacob Berno

2、ulli,1654-1705) 。他在遺著猜度術中首次提出了后來以 “伯努 利定理 ”著稱的極限定理，在概率論發展史上占有重要地位。伯努利之后，法國數學家棣莫弗 (A.de Moivre,1667-1754) 把概率 論又作了巨大推進，他提出了概率乘法法則，正態分布和正態分布率 的概念，并給出了概率論的一些重要結果。之后法國數學家蒲豐 (C.de Buffon,1707-1788) 提出了著名的 “普豐問題 ”，引進了幾何概率。另外， 拉普拉斯、高斯和泊松等對概率論做出了進一步奠基性工作。特別是 拉普拉斯，他是嚴密的、系統的科學概率論的最卓越的創建者，在 1812 年出版的概率的分析理論中，拉

3、普拉斯以強有力的分析工具 處理了概率論的基本內容，實現了從組合技巧向分析方法的過渡，使 以往零散的結果系統化，開辟了概率論發展的新時期。泊松則推廣了 大數定理，提出了著名的泊松分布。19 世紀后期，極限理論的發展稱為概率論研究的中心課題，俄國 數學家切比雪夫對此做出了重要貢獻。他建立了關于獨立隨機變量序列的大數定律，推廣了棣莫弗 拉普拉斯的極限定理。切比雪夫的成 果后被其學生馬爾可夫發揚光大，影響了 20 世紀概率論發展的進程。19 世紀末，一方面概率論在統計物理等領域的應用提出了對概率 論基本概念與原理進行解釋的需要，另一方面，科學家們在這一時期 發現的一些概率論悖論也揭示出古典概率論中基本

4、概念存在的矛盾與 含糊之處。這些問題卻強烈要求對概率論的邏輯基礎做出更加嚴格的 考察。2(概率論的公理化俄國數學家伯恩斯坦和奧地利數學家馮 ?米西斯 (R.von Mises,1883-1953) 對概率論的嚴格化做了最早的嘗試。但它們提出的 公理理論并不完善。事實上，真正嚴格的公理化概率論只有在測度論 和實變函數理論的基礎才可能建立。測度論的奠基人，法國數學家博 雷爾 (E.Borel,1781-1956) 首先將測度論方法引入概率論重要問題的研 究，并且他的工作激起了數學家們沿這一嶄新方向的一系列搜索。特 別是原蘇聯數學家科爾莫戈羅夫的工作最為卓著。他在 1926 年推倒了 弱大數定律成立

5、的充分必要條件。后又對博雷爾提出的強大數定律問 題給出了最一般的結果，從而解決了概率論的中心課題之一 大數 定律，成為以測度論為基礎的概率論公理化的前奏。1933 年，科爾莫戈羅夫出版了他的著作概率論基礎，這是概 率論的一部經典性著作。其中，科爾莫戈羅夫給出了公理化概率論的 一系列基本概念，提出了六條公理，整個概率論大廈可以從這六條公 理出發建筑起來。科爾莫戈羅夫的公理體系逐漸得到數學家們的普遍 認可。由于公理化，概率論成為一門嚴格的演繹科學，并通過集合論與其它數學分支密切地聯系者。科爾莫戈羅夫是 20 世紀最杰出的數學 家之一，他不僅僅是公理化概率論的建立者，在數學和力學的眾多領 域他都做出

6、了開創或奠基性的貢獻，同時，他還是出色的教育家。由 于概率論等其它許多領域的杰出貢獻，科爾莫戈羅夫榮獲80 年的沃爾夫獎。 3(進一步的發展在公理化基礎上，現代概率論取得了一系列理論突破。公理化概 率論首先使隨機過程的研究獲得了新的起點。 1931 年，科爾莫戈羅夫 用分析的方法奠定了一類普通的隨機過程 馬爾可夫過程的理論基 礎。科爾莫戈羅夫之后，對隨機過程的研究做出重大貢獻而影響著整 個現代概率論的重要代表人物有萊維 (P.Levy,1886-1971) 、辛欽、杜 布 ()和伊藤清等。 1948 年萊維出版的著作隨機過程與布朗運動提 出了獨立增量過程的一般理論，并以此為基礎極大地推進了作為

7、一類 特殊馬爾可夫過程的布朗運動的研究。 1934 年，辛欽提出平穩過程的 相關理論。 1939 年，維爾 (J.Ville) 引進 “鞅”的概念， 1950 年起，杜布 對鞅概念進行了系統的研究而使鞅論成為一門獨立的分支。從 1942 年 開始，日本數學家伊藤清引進了隨機積分與隨機微分方程，不僅開辟 了隨機過程研究的新道路，而且為隨機分析這門數學新分支的創立和 發展奠定了基礎。像任何一門公理化的數學分支一樣，公理化的概率論的應用范圍 被大大拓廣。 二、數理統在 18、19 世紀就出現了統計推斷思想的萌芽并有了一定發展，但 以概率論的基礎，以統計推斷為主要內容的現代意義上的數理統計學， 則到

8、20 世紀才告成熟。1763 年，自學成材的英國數學家貝葉斯 (T.Bayes,1702-1761) 給出 的“貝葉斯定理 ”貝(葉斯公式 )可以看作是一種最早的統計推斷程序，在 現代概率論和數理統計中仍有重要作用。拉普拉斯和高斯等人利用貝 葉斯公式進行參數估計，高斯由于計算行星軌道的需要而建立了以 “最 小二乘法 ”為基礎的誤差分析。這些都促使統計學擺脫對觀測數據的單 純描述而向強調推斷的階段過渡。英國統計學家 K? 皮爾遜對現代數理統計的建立起了重要作用。他 在 19 世紀末、 20 世紀初發展了他老師高爾頓首先提出的 “相關 ”與 “回 歸”的理論，成功地建立了生物統計學。皮爾遜明確指出

9、統計學不是研 究樣本本身，而是要根據樣本對總體進行推斷，并據此提出了 “擬合優 度檢驗”。皮爾遜的工作是所謂 “大樣本統計 ”的前驅，他的學生戈塞特 (S.Gosset)1908 年發表的 “學生分布 ”著述則開創了小樣本統計理論， 從而使統計學研究對象從群體現象轉變為隨機現象。現代數理統計學作為一門獨立學科的奠基人是英國數學家費希爾。20 世紀 20 和 30 年代，費希爾提出了許多重要的統計方法，開 辟了一系列的統計學的分支領域。他發展了正態總體下的各種統計量 的抽樣分布，將已有的相關、回歸理論建造為系統的相關分析和回歸 分析。 1923 年，費希爾提出了方差分析這一重要的數據分析方法。

10、1925 年，他與葉茨合作創立了試驗設計這一重要的統計分支，他還是 假設檢驗和多元統計分析等重要統計分支的先驅。費希爾做過中學教 員，曾長期在農業試驗站工作，并致力于數理統計在農業科學和遺傳 學中的應用。在 20 世紀 20-50 年代，費希爾是數理統計學研究的中心 人物。1928 年，維夏特 (J.Wishart) 將費希爾的狹義的多員分析發展為統 計學中的一個獨立分支。中國數學家許寶祿和美國數學家霍太林 (H.Hotelling) 也是多元統計分析的奠基人。1946 ，瑞典數學家克拉默 (H.Cramer) 的著作統計學的數學方 法，用測度論系統總結了數理統計的發展，標志著現代數理統計學

11、的成熟。第二次世界大戰期間，數理統計學的研究出現了一些重要的動向， 這些新的動向在很大程度上決定了戰后數理統計學的發展方向。其中 最有影響的是沃爾德 (A.Wald,1902-1950) 提出的序貫分析和統計決策 理論。序貫分析的主旨是以 “序貫抽樣方案 ”代替統計推斷中的傳統的固定 抽樣方案。為了解決二戰中軍方提出的實際問題，沃爾德提出序貫分 析這一嶄新的統計方法。 1947 年，沃爾德發表了序貫分析專著， 使序貫分析在戰后發展為數理統計中的一個重要分支。1950 年，沃爾德出版了著作統計決策函數。他的統計決策理 論用博弈的觀點看待數理統計問題，對于推斷所獲得的論斷會產生什 么后果，應采取何種對策或行動等這些不屬于經典統計的內容，統計 決策理論也將其納入統