1、 課時作業 卜知能提升 一、填空題 1.拋物線y= ax2的準線方程是x 2二0,則a的值是. 解析：拋物線方程可化為x2= ay, 1 1 準線方程為x=石=2,得a= g. 1 答案：-1 2 2 2 .若拋物線y2= 2px的焦點與橢圓管+號=1的右焦點重合，則p的值為. 解析：橢圓的右焦點是（2,0）,二券2, p = 4. 答案：4 3.若拋物線y2 = 2x上的一點M到坐標原點O的距離為 3,則M到該拋物線焦 點的距離為. 解析：設點M的坐標為當，t J,貝U 2 +12 =寸3,即卩t4 + 4t212 = 0,解得t2 =2或t2= 6（舍），故M（1, 土. 2）.又拋物線的

2、準線方程為x= J故點M到 3 3 準線距離為2，即M到其焦點距離為3 3一 2 4若拋物線f= 2px（p0）,過其焦點F傾斜角為60的直線I交拋物線于A、B 兩點，且AB| = 4則此拋物線的方程為 . 解析：拋物線的焦點為F（p，0）,二得直線I的方程為： y= 3（x-號），將其與y2 = 2px（p0）聯立消去y得： 2 L 3 2 C5 3x 5xp+ 4P = 0,二 xi + X2= 3P, 又 AB| = xi + X2+ p. 有呼+ p= 4,解得：p = 2. 拋物線方程為：y = 3x. 答案：y2 = 3x 5 .如果直線I過定點M(1,2),且與拋物線y= 2x2

3、有且僅有一個公共點，那么直 線I的方程為. 解析：點M在拋物線上，由題意知直線I與拋物線相切于點M(1,2),. y |x =4,.直線I的方程為y 2 = 4(x- 1), 即卩4x y-2 = 0當I與拋物線相交時，I 的方程為x= 1. 答案：4x y 2= 0, x= 1 6已知過拋物線y2 = 6x焦點的弦長為12,則此弦所在直線的傾斜角是 . 3 解析：拋物線焦點是(，0), 3 設直線方程為y= k(x), 代入拋物線方程，得k2x2 (3k2 + 6)x+4k2 = 0, 設弦兩端點 A(X1, y1), B(x2, y2), 2 “3k2 + 6 則 X1 + X2=認, k

4、 ， 而j= 2px(p0)的準線方程是x= p-2 二由一 p= 1得p = 2,由一 2= 7得P= 14與題設矛盾(舍去).二p= 2. 答案：2 9. 連結拋物線x2二4y的焦點F與點M (1,0)所得的線段與拋物線交于點 A,設點 O為坐標原點，則 OAM的面積為. 一一x+ v= 1 解析：線段FM所在直線方程x+ y= 1與拋物線交于A(xo, yo),貝屮2? yo / = 4y =3- 2 2或 yo= 3+ 2 2(舍去). 13 二 Soam = 2乂 1X (3- 2.2) = 一 2. 3 答案：3- 2 二、解答題 10. 根據下列條件求拋物線的標準方程. (1)

5、拋物線的焦點是雙曲線16x2-9y2= 144的左頂點； (2) 過點 P(2,-4); (3) 拋物線的焦點在x軸上，直線y= 3與拋物線交于點A, AF|= 5. 2 2 解析：(1)雙曲線方程化為x-治=1，左頂點為(一3,0)，由題意設拋物線方程為 2 p y =-2px(p0)且 2 = -3, p= 6, 方程為 y2=- 12x. (2) 由于P(2,- 4)在第四象限且拋物線的對稱軸為坐標軸，可設方程為y2 = mx 或 x2= ny. 代入P點坐標求得m= 8, n= 1, 所求拋物線方程為y2= 8x或x2=- y. (3) 設所求焦點在x軸上的拋物線方程為 2 y = 2

6、px(pz 0), A(m, 3), 由拋物線定義得5= |AF |= |m+ 2|. 又(-3) = 2pm, p= 或 p= 9, 故所求拋物線方程為y2=吃x或y2 = 8x. 11 在平面直角坐標系xOy中，拋物線C的頂點在原點，焦點F的坐標為(1,0). (1)求拋物線C的標準方程； 設M , N是拋物線C的準線上的兩個動點，且它們的縱坐標之積為 4,直線 MO、NO與拋物線的交點分別為點 A、B,求證：動直線AB恒過一個定點. 解析：(1)設拋物線的標準方程為y2二2px(p0),則號=1,所以p = 2, 所以拋物線C的標準方程為y2二4x. (2)證明：證法一 拋物線C的準線方

7、程為x= 1, 設 M( 1, y“，N( 1, y2)，其中 y1y2= 4. 則直線MO的方程為：y= y1x, 將y= y1x與y2 = 4x聯立方程組， 44 解得A點坐標為(y?,), 44 y=0, 4x+ 4 = 0, 同理可得b點坐標為(運，一y), 4 y+ _x 2 貝u直線ab方程為：一4 丫;=4普, +22 y2 y1 y2 y1 整理得(y1 + y2)y4x+4 = 0, 解得/ = 1故動直線AB恒過一個定點(1,0). 0, 證法二 拋物線C的準線方程為x= 1,設M( 1, y1), N( 1, y2)，其中y1y2 =4. 取 y1 = 2,貝U y2 =

8、 2,可得 M( 1,2), N( 1, 2). y2 = 4x, 此時直線MO的方程為y= 2x,由 2x, 解得 A(1, 2). 同理，可得B(1,2),則直線AB的方程為11： x= 1, 再取 y1= 1,貝U y2= 4,同理可得 A(4, 4), B(1, 1), 此時直線AB方程為12： 4x+ 3y 4 = 0,于是可得11與12的交點為(1,0).故動直 線AB恒過一個定點(1,0). 2 12.已知過拋物線y = 2px(p0)的焦點F的直線交拋物線于 A(X1, y1), B(x2, y2) 兩點. 求證：(1)X1X2為定值； 1 1 (2)|FA|+ FBI 為疋值

9、. 證明：(1)拋物線y2= 2px的焦點為F(p, 0), 設直線AB的方程為y= k(x2)(0). 廠 k(x-p , y2= 2px, 消去 y,得 k2x2 p(k2 + 2)x+ 乎=0. 2 由根與系數的關系得X1X2=(定值). 2 當AB丄X軸時，X1 = X2 = p, X1X2=牛也成立. (2)由拋物線的定義知， p |FA|= xi + 2，|FB|= X2+ 1 + |FA|十 1 |FB| 1 + xi+ p X1 + X2+ p 2 P + X2 + X1X2 + 4 X1 + X2+ PX1 + X2 + P P + + X P 2 P2 + + * P 2 當AB丄x軸時，|FA匸|FB|= p,上式也成立. 3k 厶 _+6 |AB| = X1 + X2+ p= k2 + 3= 12,解得 k=, 直線的傾斜角為4或孚 答案：4或 3 4n 44 7. 過拋物線X2 = 4y的焦點F作直線I，交拋物線于A(X1, y1), B(x2, y2)兩點， 若 y1 + y2= 6,則 |AB|等于. 解析：結合拋物線的定義可知|AB|= (y1 + p) + (y2+號)=y