1、 第 14 講 數學開放題專題簡析：數學開放題是相對于傳統的封閉題而言的一種題型。由于客觀世界復雜多變，數學問題也必然復雜多變，往往不可能得到唯一答案。一般而言，數學開放題具有以下三個特征：1、條件不足或多余；2、沒有確定的結論或結論不唯一；3、解題的策略、思路多種多樣。解答數學開放題，需要我們從不同角度分析和思考問題，緊密聯系實際，具體問題具體分析。我們一般可以從以下幾方面考慮：1、以問題為指向，對現有條件進行篩選、補充和組合，促進問題的順利解決；2、根據知識之間的不同聯系途徑對給定的條件進行不同的組合，采用不同的方法求解；3、避免“答案唯一”的僵化思維模式，聯系實際考慮可能出現的多種情況，

2、得出不同的答案。例 1：a、b 都是自然數，且 ab=10，那么 ab 的積可能是多少？其中最大的值是多少？分析與解答：由條件“a、b 都是自然數，且 ab=10”，可知 a 的取值范圍是 0 10 ，b 的取值范圍的 10 0。不妨將符合題意的情形一一列舉出來：010=0 19=9 28=16 37=21 46=24 55=25ab 的積可能是 0、9、16、21、24、25。當 a=b=5 時，ab 的積的最大值是 25。從以上過程發現，當兩個數的和一定時，兩個數的差越小，積越大。隨堂練習：甲、乙兩數都是自然數，且甲乙=32，那么，甲乙的積的最大值是多少？例 2：把 1 5 五個數分別填入

3、圖中的五個圓圈內，使每條直線上三個圓圈內各數的和是 9。分析與解答：每條直線上三個圓圈內各數的和是 9，兩條直線上數的和等于 92=18（其中中間圈內的數重復加了一次）。而 1、2、3、4、5 的和為 15，1815=3。所以，中間圈內應填 3。這樣，兩條直線上的圓圈中可以分別填 1、3、5 與 2、3、4。這個解我們也叫做基本解，由這個基本解很容易得出其余的七個解。隨堂練習：把 1 5 五個數分別填入圖中 的五個圓圈內，使每條直線上三個圓圈內各數的和是 10。例 3：把 1 6 六個數分別填入圖中的六個圓圈中，使每條邊上三個數的和都等于 9。分析與解答：每邊上三個數的和都等于 9，三條邊上數

4、的和等于 93=27，27（123456）=6。所以，三個頂點處被重復加了一次的三個數的和為 6。在1 6，只有 123=6，故三個頂點只能填 1、2、3。這樣就得到一組解：1、5、3；1、6、2；3、4、2。隨堂練習：把 1 6 六個數分別填入圖中的六個圓圈中，使每條邊上三個數的和都等于 12。例 4：在一次羽毛球比賽中，8 名運動員進行淘汰賽，最后決出冠軍。共打了多少場比賽？（兩名運動員之間比賽一次稱為一場）分析與解答：8 名運動員進行淘汰賽，第一輪賽 4 場后，剩下 4 名運動員；第二輪賽 2 場后，剩下 2 名運動員；第三輪只需再賽 1 場，就能決出冠軍。所以，共打了 421=7 場球

5、。還可以這樣想：8 名運動員進行淘汰賽，每淘汰 1 名運動員，需要進行 1 場比賽，整個比賽共需要淘汰 81=7 名運動員，所以共打了 7 場比賽。隨堂練習：在一次乒乓球比賽中，32 名運動員進行淘汰賽，最后決出冠軍，共打了多少場球？例 5：一個學生從家到學校，如果以每分鐘 50 米的速度行走，就要遲到 8分鐘；如果以每分鐘 60 米的速度前進，就可以提前 5 分鐘到校。這個學生出發時離上學時間有多少分？分析與解答：解答這道題，可以以不同的時間為標準，選擇的標準不同，解答方法也有所不同。例如，如果直接以這個學生出發時離上學的時間為標準。可這樣分析：由“每分鐘行 50 米，要遲到 8 分鐘”，可

6、知學校上課時，這個學生還離學校 508=400 米；由“每分鐘行 60 米，可以提前 5 分鐘到校”，可知距學校上課時，他還可走 605=300 米。兩種不同的速度，在相同的時間內路程相差 400300=700 米，而兩種速度每分鐘相差 6050=10 米。因此，這個學生出發時離上 課時間為：70010=70 分鐘。解法一：（508605）（6050）=70 分；解法二：60（58）（6050）8=70 分；解法三：50（85）（6050）5=70 分。隨堂練習：李老師從家到學校上班，出發時他看看表，發現如果步行，每分鐘 80 米，他將遲到 5 分鐘；如果騎自行車，每分鐘行 200 米，他可以

7、提前 7 分鐘到校。李老師出發時離上班時間有多少分？1、a、b 兩個自然數的積是 24，當 a 和 b 各等于多少時，它們的和最小？2、a、b、c 三個數都是自然數，且 abc=18，那么 abc 的積的最大值是多少？3、把 3 7 五個數分別填入圖中的五個圓圈內，使每條直線上三個圓圈內各數的和相等而且最大。4、把 1 7 七個數分別填入圖中的七個圓圈內，使每條直線上三個圓圈內各數之和相等。5、把 1 8 八個數分別填入圖中的八個圓圈中，使每個圓圈上五個數的和都等于 21。6、把 1 9 這九個數分別填入圖中的九個圓圈中，使每條邊上四個數的和相等而且最小。 7、在一次足球比賽中，采取淘汰制，共打了11 場球，最后決出冠軍。共有多少支足球隊參加了這次比賽？8、有 13 個隊參加籃球賽，比賽分兩個組。第一組 7 個隊，第二組 6 個隊。各組先進行單循環賽（即每隊都要與其他各隊比賽一場），然后由各組的前兩名共 4 個隊再分成兩組進行淘汰賽，最后決出冠、亞軍。共需比賽多少場？9、一位小學生從家到學校，如果以每分 50 米的速度行走，就遲到 3 分鐘；如果以每分 70 米的速度行走，就