1、體會(huì)習(xí)題潛能 不少課本例習(xí)題，具有探究的好臺(tái)階，可以給我們提供了發(fā)掘教材的好機(jī)會(huì) 可是，很多師生只是把它們作為習(xí)題，一解而過(guò)，而沒(méi)有去探究、去挖掘，沒(méi)有 從這里體會(huì)數(shù)學(xué)曲徑通幽處的奧妙，無(wú)異于入寶山而空手歸 習(xí)題：如圖（1），直線MA / NB，點(diǎn)P在MA和NB之間，求證：/ APB= / MAP+ / NBP.學(xué)生很快就作出來(lái)了 . 接著，我又問(wèn)當(dāng)點(diǎn)P在MA和NB之外時(shí)（如圖（2）又會(huì)有什么結(jié)果? 圖（1） A B 圖（2） 沒(méi)一會(huì)，學(xué)生就得出了結(jié)論：/ MAP= / NBP+ / APB （證明略）我又問(wèn)當(dāng) 點(diǎn)P位置不同時(shí)，你們還能就本題作出什么猜想？同學(xué)們這時(shí)議論紛紛 有同學(xué)提 出來(lái)：當(dāng)

2、點(diǎn)P在MA和NB之間（如圖（3）時(shí)，有/MAP+ / PBN+Z APB=360 圖（4） 有同學(xué)補(bǔ)充道：當(dāng)點(diǎn)P在MA和NB之外時(shí)（如圖（4）,有/ NBP= / MAP+ / APB. 師：很好請(qǐng)同學(xué)們對(duì)比圖（2）與圖（4），看看它們有什么相同和不同？ 生：雖然兩個(gè)結(jié)論形式上不一樣，但它們沒(méi)有本質(zhì)的不同 . 師：可看作是同一種類型嗎？. 生：我想應(yīng)該可以 師：那我們就把它們歸結(jié)為一種類型好了 課上到這里，同學(xué)們認(rèn)為這道習(xí)題也差不多了 .我話鋒一轉(zhuǎn)，請(qǐng)同學(xué)們?cè)傧胍?想如果在MA和NB之間有兩個(gè)點(diǎn)Pi、P2呢？你又會(huì)發(fā)現(xiàn)什么樣的結(jié)論呢？ 同學(xué)們有的盯著黑板，有的低頭思考，個(gè)個(gè)若有所思 這時(shí)有同學(xué)

3、悄悄說(shuō)道（雖然聲音很小，但我還是聽見了）：好像有兩種不同 的情況 那請(qǐng)你們想一想，每種情況下有什么結(jié)論？ 同學(xué)們又議論開了，積極性好像比開始更高了 過(guò)了幾分鐘后，有同學(xué)舉手 回答：Pi、P2兩點(diǎn)有兩種不同的位置關(guān)系，如圖（5）和圖（6）所示： B 圖（6） 在圖（5）中，添加了如圖所示的輔助線（用虛線表示）有/ AP1P2+Z P1P2B -Z MAPi-Z NBP2=180 . 以下虛線都表示輔助線，限于篇幅，證明過(guò)程這里略寫 在圖（6）中，有Z MAPi+Z AP1P2+Z P1P2B+ Z NBP2=540 我說(shuō)：很好！ Pi、P2兩點(diǎn)的位置還有沒(méi)有別的情況呢？ 這時(shí)，有同學(xué)補(bǔ)充道：Pi

4、、P2兩點(diǎn)的位置還可能是如圖（7）或圖（8）所示， P2 圖（7） 圖（8） 在圖 在圖 師：非常好！這兩種情況有沒(méi)有共同地方？ 一陣沉默以后，有學(xué)生答道：從式子的結(jié)構(gòu)看形 式是一樣的P2 那么，Pi、P2兩點(diǎn)的位置除了在 MA和NB之間外，M 還有沒(méi)有其他情況呢？我又問(wèn)道 學(xué)生又是議論紛紛，過(guò)了一會(huì)兒有學(xué)生說(shuō)： Pi、P2兩點(diǎn)的位置還可能是如圖（9）所示， 這時(shí)有Z MAPi + Z APiP2+Z PiP2B-Z NBP2=i80 也有同樣的結(jié)論 (7) (8) 中，有Z 中，有Z NBP2+ Z PiP2B+ Z MAP i-Z APiP2=i80 MAPi+ZAPiP2+Z NBP2-

5、Z PiP2B=i80 Pi A NB 圖(9) .當(dāng)點(diǎn)Pi、P2在NB下面時(shí), 一堂課到這里時(shí)間也差不多了，所得結(jié)果早已超出了我的想象.雖然這節(jié)課只 講了兩道題，但從這兩道題上學(xué)生所學(xué)到的數(shù)學(xué)方法與知識(shí)遠(yuǎn)不是兩道題這么簡(jiǎn) 單同學(xué)們積極參與，通過(guò)動(dòng)腦、動(dòng)手、自主探究、互相合作，獲得了知識(shí)，進(jìn) 一步感受到了分類、歸納、對(duì)比等數(shù)學(xué)方法的魅力 .這正是新課標(biāo)的目的與要求. 快下課了，我要同學(xué)們簡(jiǎn)單歸納這節(jié)課的收獲就準(zhǔn)備下課， 可看到同學(xué)們似乎還 意猶未盡，為了進(jìn)一步激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情， 我又提出：如果增加到3個(gè)點(diǎn)、 4個(gè)點(diǎn)n個(gè)點(diǎn)，情況又會(huì)是怎樣的呢？有興趣的同學(xué)不妨試試看 . 幾天后，幾個(gè)對(duì)數(shù)學(xué)

6、非常感興趣的“尖子生”說(shuō)他們已經(jīng)探索出了規(guī)律.現(xiàn) 把他們的思想整理后在這里與大家交流. 隨著點(diǎn)的增多，并考慮到規(guī)律性，主要分為三種類型： 第一種：如圖（1）和圖（5）所示的這一類型. 當(dāng)MA和NB之間有3個(gè)點(diǎn)（1、2個(gè)點(diǎn)的情況上面已討論）Pi、P2、P3時(shí), 如圖（10），這時(shí)有： /AP1P2+Z P1P2P3+ / P2P3B-Z MAPI / NBP3=360 = （3- 1） 180 當(dāng)MA和NB之間有4個(gè)點(diǎn)P1、P2、P3、P4時(shí)，如圖（11） 這時(shí)有： Z AP1P2+Z P1P2P3+Z P2P3P4+Z P3P4B / MAP 1 Z NBP4=540 = （4 1） 180

7、依此類推，當(dāng)MA和NB之間有n個(gè)點(diǎn)P1、P2、P3、P4Pn （順次連接點(diǎn)A、 P1、P2、P3、P4Pn、B、A所組成的多邊形為凸 n邊形）時(shí)，有Z AP1P2+Z P1P2P3+ Z P2P3P4+ + Z Pn- 1PnBZ MAP1 Z NBPn = （ n- 1） 180 （I），顯然當(dāng) n=1、 2時(shí)（I ）式都成立. 第二種：如圖（3）和圖（6）所示的這一類型. 當(dāng)MA和NB之間有3個(gè)點(diǎn)（1、2個(gè)點(diǎn)的情況上面已討論）P1、P2、P3時(shí), 如圖（12），有Z MAP1 + Z AP1P2+ Z P1P2P3+Z P2P3B+ Z NBP3=720 =（3+1 ）180 當(dāng)MA和NB

8、之間有4個(gè)點(diǎn)P1、P2、P3、P4時(shí)，如圖（13）,有 Z MAP1 + Z AP1P2+Z P1P2P3+Z P2P3P4+Z P3P4B+ Z NBP4=900 = （4+1） 依此類推，當(dāng)MA和NB之間有n個(gè)點(diǎn)Pi、P2、P3、P4Pn （順次連接點(diǎn) A、Pi、P2、P3、P4Pn、B、A所組成的多邊形為凸n邊形）時(shí),有 / MAP i + / AP1P2+Z P1P2P3+Z P2P3P4+ + Z Pn-iPnB+Z NBPn= （ n+1） 180 （H） 顯然當(dāng)n=1、2時(shí)（H ）式都成立. 第三種：如圖（4）和圖（9）所示的這一類型. 當(dāng)MA和NB之外有3個(gè)點(diǎn)Pi、P2、P3時(shí)，如圖（14）,有 / MAP1+Z AP1P2+Z P1P2P3+ Z P2P3B-Z NBP3=360 = （3- 1） 180 圖（14）圖（15） 當(dāng)MA和NB之間有4個(gè)點(diǎn)P1、P2、P3、P4時(shí)，如圖（15）有： Z MAP1 + Z AP1P2+Z P1P2P3+Z P2P3P4+Z P3P4BZ NBP4=540 = （4- 1） 180 依此類推，當(dāng)MA和NB之間有n個(gè)點(diǎn)P1、P2、P3、P4Pn （順次連接點(diǎn)A、 P1、P2、P3、P4Pn、B、A所組成的多邊形為凸n邊形）時(shí)，有 Z MAP1 +Z AP1P2+Z P1P2P3+Z P2P3P4+ +Z Pn-1Pn