1、專題10動點類綜合題目探究題型一：二次函數中三角形面積最值存及平行四邊形存在性問題例1.（2019巴中）如圖，拋物線y=ax2+bx+5（a0）經過x軸上的點a(1,0)和點b及y軸上的點c，經過b、c兩點的直線為y=x+n.（1）求拋物線解析式；（2）動點p從點a出發，在線段ab上以每秒1個單位的速度向b運動，同時動點e從點b出發，在線段bc上以每秒2個單位的速度向c運動.當其中一個點到達終點時，另一點也停止運動.設運動時間為t秒，求t為何值時，pbe的面積最大并求出最大值.c（3）過點a作ambc于點m，過拋物線上一動點n(不與b、重合)作直線am的平行線交直線bc于q，若點a、m、n、q

2、為頂點的四邊形是平行四邊形，求點n的橫坐標.（【分析】1）由ob=oc，得b點坐標為(5,0)，將a（1,0）及b(5,0)代入y=ax2+bx+5，可求得a、b；2）=過點e作eh垂直x軸于h，用時間t表示出線段bp、eh的長，利用pbe12bpeh求得面積最大值及t值；（3）由amnq可知，平行四邊形有兩種情況，amqn和amnq，即a點對點有可能是n或q，利.用平面直角坐標系中平行四邊形對點橫坐標和及縱坐標和相等求解【答案】見解析.【解析】解：（1）由題意知：c（0,5），由直線y=x+n過點b、c，得：ob=oc=5，b(5,0)，將a(1,0)、b(5,0)代入y=ax2+bx+5，

3、得：25a+5b+5=0a+b+5=0，1解得：a=-12be，由題意知：ap=t，bp=4t，be=2t，eh=2t，0t52b=6，即拋物線解析式為：y=-x2+6x+5.（2）過點e作ehx軸于h，由oc=ob知，obc=45，eh=22，beh=2ehbp=2(2t4-t)1=-2(t-2)2+22，2當t=2時，beh的面積取最大值，最大值為22.2ab=22,1+m=3+x（3）由（2）知：am=2m(3,2),設n（m，-m2+6m5），q（x，x5）當平行四邊形為amnq時，得：-m2+6m-5=-2+x-5，解得：x=5+415-412或x=2；2當平行四邊形為amqn時，得

4、：-m2+6m-5-2=x-51+x=3+m，綜上所述，n點的橫坐標為5+41解得：x=1（舍去）或x=4；5-41、或4.22題型二：一次函數與圓結合及特殊三角形存在性問題例2.（2019湖州）已知在平面直角坐標系xoy中，直線l1分別交x軸和y軸于點a(3,0)，b（3,0）.（1）如圖1，已知圓p經過點o，且與直線l1相切于點b，求圓p的直徑長；（2）如圖2，已知直線l2：y=3x3分別交x軸和y軸于點c和點d，點q是直線l2上的一個動點，以q為圓心，22為半徑畫圓.當點q與點c重合時，求證：直線l1與圓q相切；設圓q與直線l1相交于m、n兩點，連接qm、qn，問：是否存在這樣的點q，使

5、得qmn是等腰直角三角形，若存在，求出點q的坐標，若不存在，說明理由.【分析】（1）連接bp、，可得：obp是等腰直角三角形，進而求得圓p的半徑op；（2）過c作cel1于e，求出ce的長，利用切線定義證明；設直線l1與l2相交于點f，根據q的位置分兩種情況討論：q在線段bf上或q在線段bf的延長線上.【答案】見解析.【解析】解：（1）連接bp、op，3由題意知：ob=oa=3，bao=abo=45，又ab與圓p相切于b，pba=90，obp=45，又bp=op，pob=45，bpo=90，即obp是等腰直角三角形，2ob=bp=2322，故圓p的直徑為32.（2）過c作cel1于e，如下圖所

6、示，yl2l12ac=22,bexaocd由題意知：eac=45，ac=4，ce=2點q與點c重合時，圓q的半徑為22，4直線l1與圓q相切.設直線l1與l2相交于點f，當q在線段df上時，如下圖所示，yl2l1nmbqxaocd由nmq=nqm=mac=45，得：mqx軸，nqy軸，設q(t，3t3)，則m(3t6,3t3)，n(t,t+3)，由mq=22得：t（3t6）=22，解得：t=32，3t3=632點q的坐標為：（32，632）；當點q在線段df延長線時，如下圖所示，yl2l1qnmfbxaocd設q(t，3t3)，則n(3t6,3t3)，m(t,t+3)，由mq=22得：3t3（

7、t+3）=22，5解得：t=3+2，3t3=6+32點q的坐標為：（3+2，6+32）；綜上所述，當qmn是等腰直角三角形時，點q的坐標為：（32，632）或（3+2，6+32）.題型三：二次函數中線段最值問題及特殊平行四邊形存在性問題例3.（2019南充）如圖，拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于點a（-1，0），點b（-3,0），且ob=oc.（1）求拋物線的解析式；（2）點p在拋物線上，且pob=acb，求點p的坐標；（3）拋物線上兩點m，n，點m的橫坐標為m，點n的橫坐標為m+4.點d是拋物線上m，n之間的動點，過點d作y軸的平行線交mn于點e.求de的最大值.點d關于點e的對稱點為f

8、.當m為何值時，四邊形mdnf為矩形？【分析】（1）由題意得c(0,3)，將a、b、c點坐標代入y=ax2+bx+c求得a、b、c值；（2）根據p（點所處位置不同分類討論，借助三角函數或相似三角形性質求解；3）利用待定系數法求出直線mn的解析式，進而根據d、e的位置關系求得de的值為兩點縱坐標的差；利用矩形的性質，得：mn2=df2=4de2代入求解.【答案】見解析.【解析】解：（1）ob=oc，b（-3,0），c（0，-3）6可得：9a-3b+c=0c=-3a-b+c=0解得：a=-1,b=-4,c=-3.即拋物線解析式為：y=-x2-4x-3.（2）過點a作agbc于點g，如下圖所示，由題

9、意知：bag=abg=45，bg=ag=absin45=2bc=2ob=32，cg=bc-bg=22，tanacg=agcg=12設p（t,-t2-4t-3），過點p作pqx軸于q，tanpoq=tanacg=1tanpoq=pqoq=-t2,即2t+7t+6=02242.當p在x軸上方時，t0則pq=-t2-4t-3,oq=-t，-t2-4t-31=23解得t=-2,t=-，1233p(-2,1),p(-,)127當點p在第三象限時，t2+4y+3即2t2+9t+6=0，-t=12，解得：t=3-9+334,t4=-9-334，p(3-9+33-9+3344,8),p(-9+339+334,

10、-8)綜上所述，點p坐標為(-2,1)，(-,)，(當點p在第四象限時，pob90，而acb90，故點p不在第四象限；33-9+33-9+339+339+33244,8)，(-4,-8).（3）m(m,-m2-4m-3),n(m+4,-(m+4)2-4(m+4)-3)即n(m+4,-m2-12m-35)，設直線mn解析式為y=kx+n，km+n=-m2-4m-3可得：k(m+4)+n=-m2-12m-35解得：k=-2m-8n=m2+4m-3故mn解析式為：y=(-m-8)x+(m2+4m-3)設d(t,-t2-4t-3)，e(t,(-2m-8)t+(m2+4m-3)de=(-t2-4t-3)

11、-(-2m-8)t+(m2+4m-3)=-t2+2(m+2)t-(m2+4m)=-t-(m+2)2+4，即當t=m+2時，de最大值為4.當de最大時，點e(m+2,-m2-8m-19)為線段mn的中點.點e為df的中點，8當de最大時，四邊形mdnf為平行四邊形.如果mdnf為矩形，則mn2=df2=4de2,故42+(8m+32)2=442，3化簡得，(m+4)2=，4解得：m=-432.當m=-4+33或-4-時，四邊形mdnf為矩形22題型四：二次函數中給定動線段平方和最值存在性問題例4.（2019安徽）一次函數y=kx+4與二次函數y=ax2+c的圖像的一個交點坐標為（1,2），另一

12、個交點是該二次函數圖像的頂點（1）求k，a，c的值；（2）過點a（0，m）（0m4）且垂直于y軸的直線與二次函數y=ax2+c的圖像相交于b，c兩點，點o為坐標原點，記w=oa2+bc2，求w關于m的函數解析式，并求w的最小值.【答案】見解析.【解析】解：（1）由題意得，k+4=-2，解得k=-2，二次函數頂點為（0,4），c=4，把（1,2）代入二次函數表達式得：a+c=2，解得a=-2（2）由（1）得二次函數解析式為y=-2x2+4，令y=m，得2x2+m-4=0即x=4-m2，設b，c兩點的坐標分別為（x1，m）（x2，m），則x+x=24-m212，9w=oa2+bc2=m2+44-m

13、22=m2-2m+8=（m-1）+7當m=1時，w取得最小值7.題型五：二次函數中給定動線段平方和最值存在性問題例5.（2019金華）如圖，在平面直角坐標系中，正方形oabc的邊長為4，邊oa、oc分別在x軸、y軸的正半軸上，把正方形oabc的內部及邊上，橫、縱坐標均為整數的點稱為好點.點p為拋物線y=-(x-m)2+m+2的頂點.（1）當m=0時，求該拋物線下方（包括邊界）的好點個數；（2）當m=3時，求該拋物線上好點坐標；（3）若點p在正方形oabc內部，該拋物線下方（包括邊界）恰好存在8個好點，求m的取值范圍.（【分析】（1）（2）分別作出圖形，可求得好點的個數及坐標；3）根據拋物線頂點

14、坐標，作出圖形，分析m的取值范圍.【答案】見答案.【解析】解：（1）當m=0時，二次函數的表達式為y=-x2+2，畫出如下函數圖象，當x=0時，y=2;當x=1時，y=1,拋物線經過點（0,2）和（1,1）.10好點有：（0,0），（0,1），（0,2），（1,0）和（1,1），共5個.（2）當m=3時，二次函數的表達式為y=-(x-3)2+5，畫出函數圖象,當x=1時，y=1;當x=2時，y=4;當x=4時，y=4.該拋物線上存在好點，坐標分別是（1,1），（2,4）和（4,4）.（3）拋物線頂點p的坐標為（m,m+2）,故點p在直線y=x+2上.由于點p在正方形內部，則0m2.解得：m=5

15、-13m=5+132m1時，頂點p在正方形oabc內，恰好存在8個好點.由圖知：點e(2,1),f(2,2).當頂點p在正方形oabc內，且好點恰好存在8個時，拋物線與線段ef有交點（點f除外）.當拋物線經過點e（2,1）時，-(2-m)2+m+2=1,12，22（舍去）.當拋物線經過點f（2,2）時，-(2-m)2+m+2=2,解得：m3=1,m4=4(舍去).當5-1311題型六：二次函數中雙動點及圖形存在性問題例6.（2019連云港）如圖，在平面直角坐標系xoy中，拋物線l1：yx2+bx+c過點c（0，3），與拋物線l2：y13x222x+2的一個交點為a，且點a的橫坐標為2，點p、q

16、分別是拋物線l1、l2上的動點（1）求拋物線l1對應的函數表達式；（2）若以點a、c、p、q為頂點的四邊形恰為平行四邊形，求出點p的坐標；（3）設點r為拋物線l1上另一個動點，且ca平分pcr若oqpr，求出點q的坐標【解答】解：（1）將x2代入y1【分析】（1）先求出a點的坐標，用待定系數法求出函數解析式；（2）設點p的坐標為（x，x22x3），（分三種情況討論：平行四邊形為acpq、acqp或apcq，列出方程求解；3）當點p在y軸左側時，拋物線l1不存在點r使得ca平分pcr，當點p在y軸右側時，設點p在ca的上方，點r在ca的下方，過點p、r分別作y軸的垂線，垂足分別為s、t，過點p作

17、phtr于點h，設點p坐標為（x1，y1），點r坐標為（x2，y），證明pscrtc，由相似比得到x1+x24，進而得tanprh的值，過點q作qkx軸于點k，由tanqoktanprh求解【答案】見解析.1x2x+2，得y3，故點a的坐標為（2，3），22將a（2，3），c（0，3）代入yx2+bx+c，得c=-34+2b+c=-3，解得：b=-2c=-3，拋物線l1：yx22x3；（2）設點p的坐標為（x，x22x3），q(n,當四邊形acpq為平行四邊形時，可得：13n2n+2)，22122+x=n13-3+x2-2x-3=-3-2n2-2n+2，解得：x=0（舍去）或x=1，即p點坐標

18、為（1,0）.當四邊形acqp為平行四邊形時，可得：2+n=x13-3-2n2-2n+2=-3+x2-2x-3，解得：x=3（舍去）或x=43，13即點p的坐標為（3，0）或（43，13綜上所述，點p的坐標為：（1,0）或（3，0）或（43，9）；當四邊形aqcp為平行四邊形時，可得：2+0=n+x13，-3-3=+x2-2x-3-2n2-2n+2解得：x=0（舍去）或x=3，即點p的坐標為（3，12）；9）或（3，12）.（3）當點p在y軸左側時，拋物線l1不存在點r使得ca平分pcr，當點p在y軸右側時，不妨設點p在ca的上方，點r在ca的下方，過點p、r分別作y軸的垂線，垂足分別為s、t，過點p作phtr于點h，則有pscrtc90，由ca平分