1、 高考數(shù)學(xué) 一、1.集合的概念與運算（1）解題時要明確集合中元素的特征，關(guān)注集合的代表元素（集合是點集、數(shù)集還是圖形集）.（2）集合中的元素具有確定性、無序性和互異性，在求解有關(guān)集合的問題時，尤其要注意元素的互異性.（3）空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，要時刻注意對空集的討論，防止漏解.（4）解題時注意區(qū)分兩大關(guān)系：一是元素與集合的從屬關(guān)系，二是集合與集合的包含關(guān)系.（5）venn 圖圖示法和數(shù)軸圖示法是進行集合交、并、補運算的常用方法，其中運用數(shù)軸圖示法時要特別注意端點是實心還是空心.（6）處理集合問題時，一定要注意檢驗結(jié)果是否與題設(shè)相矛盾.2.命題及其關(guān)系、充分條件與必要條件

2、（1）當(dāng)一個命題有大前提而要寫出其他三種命題時，必須保留大前提.（2）判斷命題的真假及寫四種命題時，一定要明確命題的結(jié)構(gòu)，可以先把命題改寫成“若p 則 q”的形式.（3）判斷條件之間的關(guān)系時要注意條件之間關(guān)系的方向，正確理解“p 的一個充分而不必要條件是 q”等語言.3.簡單的邏輯聯(lián)結(jié)詞、命題的否定與否命題（1）pq 為真命題，只需 p、q 有一個為真即可;pq 為真命題，必須 p、q 同時為真.（2）p 或 q 的否定：非 p 且非 q;p 且 q 的否定:非 p 或非 q.（3）命題的否定與否命題：“否命題”是對原命題“若 p，則 q”的條件和結(jié)論分別加以否定而得到的命題，它既否定其條件，

3、又否定其結(jié)論;“命題的否定”即“非 p”，只是否定命題 p 的結(jié)論.二、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)易錯知識清單1.分段函數(shù)在求分段函數(shù)的值 f (x ) 時，要先判斷 x0 屬于定義域的哪個子集，然后代入相應(yīng)的關(guān)系式；0分段函數(shù)的值域應(yīng)是其定義域內(nèi)不同子集上各關(guān)系式的取值范圍的并集.2.函數(shù)的單調(diào)性與最值（1）區(qū)分兩個概念：“函數(shù)的單調(diào)區(qū)間”和“函數(shù)在某區(qū)間上單調(diào)”，前者是指函數(shù)具備單調(diào)性的“最大”的區(qū)間，后者是前者“最大”區(qū)間的子集.（2）函數(shù)的單調(diào)區(qū)間不一定是整個定義域，可能是定義域的子集，但一定是連續(xù)的.（3）函數(shù)的額單調(diào)性是針對定義域內(nèi)的某個區(qū)間而言的，函數(shù)在某個區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，1但在整個定義域上不

4、一定是單調(diào)函數(shù)，如函數(shù) y= 在（-，0）和（0，+）上都是減函x數(shù)，但在定義域上不具有單調(diào)性.（4）若函數(shù)在兩個不同的區(qū)間上單調(diào)性相同，則這兩個區(qū)間要分開寫，不能寫成并集.例如，函數(shù) f(x)在區(qū)間(-1，0)上是減函數(shù)，在（0，1）上也是減函數(shù)，但在(-1，0)(0，1)上卻不 1=一定是減函數(shù)，如函數(shù) f (x).x3.（1）f(0)=0 既不是函數(shù) f(x)是奇函數(shù)的充分條件，也不是必要條件.（2）判斷分段函數(shù)的奇偶性要有整體的觀點，可以分類討論，也可以利用圖象進行判斷.4.二次函數(shù)與冪函數(shù)= ax + bx + c（1）對于函數(shù) y，要認(rèn)為它是二次函數(shù)，就必須滿足 a0，當(dāng)題目條件未

5、2說明 a0 時，就要討論 a=0 和 a0 兩種情況.（2）冪函數(shù)的圖象一定會出現(xiàn)在第一象限，一定不會出現(xiàn)在第四象限，至于是否出現(xiàn)在第二、三象限，要看函數(shù)的奇偶性;冪函數(shù)的圖象最多能同時出現(xiàn)在兩個象限內(nèi);如果冪函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸相交，則交點一定是原點.5.指數(shù)與指數(shù)函數(shù)（1）指數(shù)函數(shù)的底數(shù)不確定時，單調(diào)性不明確，從而無法確定其最值，故應(yīng)分 a1 和 0a0，且 a1)時，要特別注意條件m0，在無 m0aaa = log m的條件下應(yīng)為log maa|(為偶數(shù)).a= ay = log x(a0，且 a1)互為反函數(shù)，應(yīng)（2）指數(shù)函數(shù) y(a0，且 a1)與對數(shù)函數(shù)xa從概念、圖象和性質(zhì)三個方面

6、理解它們之間的聯(lián)系與區(qū)別.（3）解決與對數(shù)函數(shù)有關(guān)的問題時需注意兩點：務(wù)必先研究函數(shù)的定義域;注意對數(shù)底數(shù)的取值范圍.7.函數(shù)的圖象（1）函數(shù)圖象的每次變換都是針對自變量“x”而言，如從f(-2x)的圖象到 f(-2x+1)的圖象是11向右平移 個單位，即把 x 變成 x- .22（2）當(dāng)圖形不能準(zhǔn)確地說明問題時，可借助“數(shù)”的精確性進行求解，解題過程中要注重數(shù)形結(jié)合思想的運用.8.函數(shù)與方程（1）函數(shù) f(x)的零點是一個實數(shù)，是方程 f(x)=0 的根，也是函數(shù) y=f(x)的圖象與 x 軸交點的橫坐標(biāo).（2）函數(shù)零點存在性定理是零點存在的一個充分條件，而不是必要條件;判斷零點個數(shù)還要依據(jù)

7、函數(shù)的單調(diào)性、對稱性或結(jié)合函數(shù)圖象.9.函數(shù)模型及其應(yīng)用（1）函數(shù)模型應(yīng)用不當(dāng)，是常見的解題錯誤.所以要正確理解題意，選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型 .（2）要特別關(guān)注實際問題的自變量的取值范圍，合理確定函數(shù)的定義域. （3）注意問題反饋.在解決函數(shù)模型后，必須驗證這個數(shù)學(xué)結(jié)果對實際問題的合理性.10.導(dǎo)數(shù)的概念及運算（1）利用公式求導(dǎo)時要特別注意除法公式中分子中的符號，防止與乘法公式混淆.復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)要正確分解函數(shù)的結(jié)構(gòu)，由外向內(nèi)逐層求導(dǎo).（2）求曲線切線時，要分清在點 p 處的切線與過點 p 的切線的區(qū)別，前者只有一條，而后者包括了前者.（3）曲線的切線與曲線的交點個數(shù)不一定只有一個.11.導(dǎo)數(shù)與函

8、數(shù)的單調(diào)性、極值、最值（1）求函數(shù)單調(diào)區(qū)間與函數(shù)極值時要養(yǎng)成列表的習(xí)慣，可使問題直觀且有條理，減小失分的可能性.（2）求函數(shù)最值時，不可想當(dāng)然地認(rèn)為極值點就是最值點，要通過認(rèn)真比較才能下結(jié)論 .（3）解題時要注意區(qū)別求單調(diào)性和已知單調(diào)性的問題，處理好 f (x)=0 時的情況;區(qū)分極值點和導(dǎo)數(shù)為 0 的點.12.導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用（1）若函數(shù) f(x)在某個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，則 f (x)0，而不是 f (x)0(f (x)=0 在有限個點處取到).（2）利用導(dǎo)數(shù)解決實際生活中的優(yōu)化問題時，要注意問題的實際意義.13.定積分（1）被積函數(shù)若含有絕對值符號，應(yīng)先去絕對值符號，再分段積分.（2）若定積分

9、式子中有幾個不同的參數(shù)，則必須先分清誰是積分變量.（3）定積分式子中隱含的條件是積分上限大于積分下限.（4）定積分的幾何意義是曲邊梯形的面積，但要注意面積非負(fù)，而定積分的結(jié)果可以為負(fù).（5）將要求面積的圖形進行科學(xué)而準(zhǔn)確地劃分，可使面積的求解變得簡捷.三 、數(shù)列易錯知識清單1.數(shù)列的概念及簡單表示法（1）數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，在利用函數(shù)觀點研究數(shù)列時，一定要注意自變量的取值，如= f (n)=)和函數(shù) y f (x) 的單調(diào)性是不同的.數(shù)列 an（2）數(shù)列的通項公式不一定唯一.2.等差數(shù)列及其前 n 項和（1）當(dāng)公差 d0 時，a 是 n 的一次函數(shù)，當(dāng)公差 d=0 時，a 為常數(shù).nn（2）

10、公差不為 0 的等差數(shù)列的前 n 項和 s 是 n 的二次函數(shù)，且常數(shù)項為 0.若某數(shù)列的前 nn項和 sn 是常數(shù)項不為 0 的二次函數(shù)，則該數(shù)列不是等差數(shù)列，它從第二項起成等差數(shù)列.3.等比數(shù)列及其前 n 項和（1）注意等比數(shù)列中的分類討論.（2）由q a= (q0)，并不能判斷數(shù)列a 是等比數(shù)列，還要驗證 是否為 0.aan+1nn14.數(shù)列求和 （1）直接應(yīng)用公式求和時，要注意公式的應(yīng)用范圍，如當(dāng)?shù)缺葦?shù)列公比為參數(shù)時，應(yīng)對公比是否為 1 進行分類討論.（2）在應(yīng)用錯位相減法時，注意觀察未合并項的正負(fù)號；結(jié)論中形如 a ，a 的式子要合nn+1并.（3）在應(yīng)用裂項相消法時，要注意消項的規(guī)

11、律具有對稱性，即前剩多少項后剩多少項.四、三角函數(shù)易錯知識清單1.任意角的三角函數(shù)（1）注意易混概念的區(qū)別：象限角、銳角、小于90的角是概念不同的三類角.第一類是象限角，第二類、第三類是區(qū)間角.（2）角度制與弧度制可利用 180= rad 進行互化，在同一個式子中，采用的度量制度必須一致，不可混用.（3）已知三角函數(shù)值的符號確定角的終邊位置時不要遺漏終邊在坐標(biāo)軸上的情況.2.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系與誘導(dǎo)公式（1）利用誘導(dǎo)公式進行化簡求值時，先利用公式化任意角的三角函數(shù)為銳角三角函數(shù)，其步驟為：去負(fù)脫周化銳.要特別注意函數(shù)名稱和符號的確定.（2）在利用同角三角函數(shù)的平方關(guān)系時，若開方，要特別注意

12、判斷符號.（3）注意求值與化簡后的結(jié)果要盡可能有理化、整式化.3.三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)（1）閉區(qū)間上最值或值域問題，要先在定義域基礎(chǔ)上分析單調(diào)性，含參數(shù)的最值問題，要討論參數(shù)對最值的影響.（2）要注意求函數(shù) y=asin( x+ )的單調(diào)區(qū)間時 的符號，盡量化成 0 時的情況.（3）三角函數(shù)的最值不一定在自變量區(qū)間的端點處取得，直接將兩個端點處的函數(shù)值作為最值是錯誤的.4.函數(shù) y=a sin( x+ )的圖象及應(yīng)用（1）由函數(shù) y=sin x 的圖象經(jīng)過變換得到 y=asin( x+ )的圖象，如先伸縮，再平移時，要把 x 前面的系數(shù)提取出來.（2）復(fù)合形式的三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的求法.函數(shù)

13、y=asin( x+ )(a0， 0)的單調(diào)區(qū)間的確定，基本思想是把 x+ 看作一個整體.若 b acbc 或 ab acb 或 a ，當(dāng) ab0 時不成立.1 1a b（3）ab a b ，對于正數(shù) a、b 才成立.nna1 ab，對于正數(shù) a、b 才成立.（4） b（5）注意不等式性質(zhì)中“能推出 ab，bc.ab，bcac，反過來 ac，不（6）作商法比較大小時，要注意兩式的符號.（7）求范圍問題時，如果多次利用不等式，則可能擴大變量的取值范圍.2.不等式的解法及應(yīng)用（1）對于不等式 ax +bx+c0，求解時不要忘記討論 a=0 時的情況.2（2）當(dāng)0(a0)的解集為 r 還是空集.2（

14、3）對于含參數(shù)的不等式要注意選好分類標(biāo)準(zhǔn)，避免盲目討論.（4）注意用“根軸法”解整式不等式的注意事項及解分式不等式a(a0)的一般思路f (x)g(x)移項通分.（5）求解含參數(shù)不等式的通法是“定義域為前提，函數(shù)增減性為基礎(chǔ)，分類討論是關(guān)鍵”.注意：求解完之后要寫上“綜上，原不等式的解集是”;若按參數(shù)討論，最后應(yīng)按參數(shù)取值分別說明其解集;若按未知數(shù)討論，最后應(yīng)求并集.提醒：解不等式就是求不等式的解集，最后務(wù)必用集合的形式表示;不等式解集的端點值往往是不等式對應(yīng)方程的根或不等式有意義范圍的端點值.（6）解決恒成立問題一定要弄清誰是主元，誰是參數(shù).一般地，知道誰的范圍，誰就是主元，求誰的范圍，誰就

15、是參數(shù).3.二元一次不等式（組）與簡單的線性規(guī)劃問題（1）畫二元一次不等式（組）表示的平面區(qū)域時，避免錯誤的重要方法就是使二元一次不等式（組）標(biāo)準(zhǔn)化.z（2）通過求直線的截距 的最值間接的求 z 的最值時，要注意：當(dāng)b0 時，若截距 b 取最bzz大值，則 z 也取最大值，若截距 取最小值，則 z 也取最小值；當(dāng) b0,反之不成立;若兩個向量的夾角為鈍角，則有abb0）點的坐標(biāo)為 p(x,y)，則xa,這往+a2 b2往在求與點 p 有關(guān)的最值問題中用到，也是容易被忽略而導(dǎo)致求最值錯誤的原因.（3）區(qū)分雙曲線中的 a，b，c 大小關(guān)系與橢圓中的 a，b，c 大小關(guān)系，在橢圓中 a b 22c2

16、c a b .222（4）雙曲線的離心率 e(1，)，而橢圓的離心率 e(0,1)bx2y2y2x2（5）雙曲線1 (a0，b0)的漸近線方程是 y x，1 (a0，b0)的漸-a2 b2-a2 b2aa= x近線方程是 y y.b（6）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程時一般用待定系數(shù)法求出p 值，但要先判斷拋物線是否為標(biāo)準(zhǔn)方（7）（8）求軌跡方程時，要注意曲線上的點與方程的解是一一對應(yīng)關(guān)系檢驗可從以下兩個方面進行：一是方程的變形是否是同解變形；二是是否符（9）求點的軌跡與求軌跡方程是不同的要求.求點的軌跡時，應(yīng)先求軌跡方程，然后根據(jù)方5.直線與圓、圓錐曲線的位置關(guān)系（1）直線與雙曲線交于一點時，其位置關(guān)系

17、不一定相切，例如：當(dāng)直線與雙曲線的漸近線平行時，直線與雙曲線相交于一點，但不是相切；反之，當(dāng)直線與雙曲線相切時，直線與雙曲線僅有一個交點.（2）在解決直線與拋物線的位置關(guān)系時，要特別注意直線與拋物線的對稱軸平行的特殊情.（3）若利用弦長公式計算問題，在設(shè)直線斜率時要注意說明斜率不存在的情況（4）對于中點弦問題，可以利用“點差法”求解，但不要忘記驗證0 或說明中點在曲線內(nèi)部九、計數(shù)原理易錯知識清單1.兩個計數(shù)原理（1 （2）分類的關(guān)鍵在于要做到“不重不漏”，分步的關(guān)鍵在于要正確設(shè)計分步的程序，即合（32.排列與組合（1）解排列與組合綜合題一般是先選后排，或充分利用元素的性質(zhì)進行分類、分步，然后（

18、2）解受條件限制的組合題時，通常用直接法(合理分類)和間接法(排除法)來解決.分類標(biāo)準(zhǔn)（3）對于選擇題要謹(jǐn)慎處理，注意答案的不同等價形式.處理選擇題可采用排除法，錯誤的答案會有重復(fù)或遺漏現(xiàn)象.3.二項式定理（1）項的系數(shù)與 n 和 a，b 的值有關(guān)，二項式系數(shù)只與 n 有關(guān)，且大于 0(n 為項數(shù)).（2（3）關(guān)于組合式的證明，常采用“構(gòu)造法”（4）展開式中第 k1 項的二項式系數(shù)與第 k1 項的系數(shù)一般是不相同的.在具體求各項的系數(shù)時，一般先確定符號，再確定數(shù)值；確定符號時對根式和指數(shù)的運算要細(xì)心，以防出錯.十、概率與統(tǒng)計易錯知識清單1.隨機事件的概率（1）正確認(rèn)識互斥事件與對立事件的關(guān)系：

19、對立事件是互斥事件，是互斥中的特殊情況，（2）需準(zhǔn)確理解題意，特別留心“至多”“至少”“不少于”等語句的含義.2.古典概型（1）古典概型的重要思想是事件發(fā)生的等可能性，一定要注意在計算基本事件總數(shù)和事件（2）概率的一般加法公式：p(ab)p(a)p(b)p(ab)提示：公式的作用是求 ab 的概率，當(dāng)aba、b 互斥，此時p(ab)0，所以 p(ab)p(a)p(b)；要計算 p(ab)，需要求 p(a)、p(b)，更重要的是確定事件ab，并求其概率；該公式可以看作一個方程，知三可求一.3.幾何概型（1）準(zhǔn)確把握幾何概型的“測度”是解題關(guān)鍵.（2）幾何概型中，線段的端點、圖形的邊框是否包含在事

20、件之內(nèi)不影響所求結(jié)果.4.二項分布（1）運用公式 p(ab)=p(a)p(b)時一定要注意公式成立的條件，只有當(dāng)事件 a、b 相互獨立時，公式才成立.（2）獨立重復(fù)試驗中，每一次試驗只有兩種結(jié)果，即某事件要么發(fā)生，要么不發(fā)生，并且任何一次試驗中某事件發(fā)生的概率相等.注意恰好與至多（少）的關(guān)系，靈活運用對立事件.5.離散型隨機變量的均值與方差、正態(tài)分布（1）會根據(jù)分布列的兩個性質(zhì)來檢驗求得的分布列的正誤（2）對于實際應(yīng)用問題，必須對實際問題進行具體分析，一般要將問題中的隨機變量設(shè)出（3）解決正態(tài)分布問題有三個關(guān)鍵點:對稱軸 x= ;標(biāo)準(zhǔn)差 ;分布區(qū)間.利用對稱性可求指定范圍內(nèi)的概率值；由 , ,

21、分布區(qū)間的特征進行轉(zhuǎn)化，使分布區(qū)間轉(zhuǎn)化為 3 特殊區(qū) 間，從而求出所求概率.注意只有在標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布下對稱軸才為x=0.6.隨機抽樣（1）系統(tǒng)抽樣的特點：適用于元素個數(shù)很多且均衡的總體；各個個體被抽到的機會相等；總體分組后，在（2分層抽樣中分多少層、如何分層要視具體情況而定，總的原則是層內(nèi)樣本的差異要小，兩層之間的樣本差異要大，且互不重疊.為了保證每個個體等可能入樣，所有層中每個個體被抽到的可能性相同.7.用樣本估計總體（1）頻率分布直方圖的縱坐標(biāo)為頻率 ，每一個小長方形的面積表示樣本個體落在該區(qū)間內(nèi)組距的頻率.（2）條形圖的縱坐標(biāo)為頻數(shù)或頻率，把直方圖視為條形圖是常見的錯誤.8.變量間的相關(guān)關(guān)

22、系、統(tǒng)計案例（1）相關(guān)關(guān)系與函數(shù)關(guān)系不同函數(shù)關(guān)系中的兩個變量間是一種確定性關(guān)系例如正方形面積 s 與邊長 x 之間的關(guān)系 sx2就是函數(shù)關(guān)系相關(guān)關(guān)系是一種非確定性關(guān)系，即相關(guān)關(guān)系是非隨機變量與隨機變量之間的關(guān)系例如商品的銷售額與廣告費是相關(guān)關(guān)系兩個變量（2）回歸分析是對具有相關(guān)關(guān)系的兩個變量進行統(tǒng)計分析的方法，只有在散點圖大致呈線性時，求出的線性回歸方程才有實際意義，否則，求出的線性回歸方程毫無意義，根據(jù)回歸方程進行預(yù)報，得出的僅是一個預(yù)報值，而不是真實發(fā)生的值.十一、算法、復(fù)數(shù)、推理與證明易錯知識清單1.算法（1）注意起止框與處理框、判斷框與循環(huán)框的不同.（2）注意條件結(jié)構(gòu)與循環(huán)結(jié)構(gòu)的聯(lián)系：

23、循環(huán)結(jié)構(gòu)具有重復(fù)性，條件結(jié)構(gòu)具有選擇性沒有重復(fù)性，并且循環(huán)結(jié)構(gòu)中必定包含一個條件結(jié)構(gòu)，用于確定何時終止循環(huán)體.（3）對條件結(jié)構(gòu)，無論判斷框中的條件是否成立，都只能執(zhí)行兩個分支中的一個，不能同時時執(zhí)行兩個分支.（4）循環(huán)語句有“直到型”與“當(dāng)型”兩種，要區(qū)別兩者的異同，循環(huán)語句主要解決需要反復(fù)執(zhí)行的任務(wù)，要理解循環(huán)結(jié)構(gòu)中各變量的具體含義及變化規(guī)律.（5賦值號左邊只能是變量名字，而不是表達(dá)式，例如3=m 是錯誤的.賦值號左右不能對換，賦值語句是將賦值號右邊的表達(dá)式的值賦給賦值號左邊的變量，例如 y=x，表示用 x 的值替代變量 y 的原先的取值，不能改寫為 x=y.因為后者表示用 y 的值替代變量

24、 x 的值.在一個賦值語句中只能給一個變量賦值，不能出現(xiàn)多個“=”.（6）應(yīng)用循環(huán)結(jié)構(gòu)解決問題時，一定要注意兩個變量 i 和 s 的初始值及運算變量到底是什么，它遞增的值是多少，即“步長”為多少，由輸出的結(jié)果來判斷對應(yīng)的判斷條件到底是什么，明確哪兒是計數(shù)器，哪兒是賦值器，注意循環(huán)體內(nèi)各語句不能隨意顛倒，準(zhǔn)確判斷結(jié)束 循環(huán)的條件，必要時，要對“邊界”單獨檢驗.2.復(fù)數(shù)（1）判定復(fù)數(shù)是實數(shù)，僅注重虛部等于 0 是不夠的，還需考慮它的實部是否有意義.（2）對于復(fù)系數(shù)（系數(shù)不全為實數(shù)）的一元二次方程的求解，判別式不再成立.因此解此類方程的解，一般都是將實根代入方程，用復(fù)數(shù)相等的條件進行求解.（3）兩個虛數(shù)不能比較大小.（4）利用復(fù)數(shù)相等 a+bi=c+di 列方程時，注意 a,b,c,dr 的前提條件.（5）在復(fù)數(shù)的幾何意義中，加法和減法對應(yīng)向量的三角形法則的方向是應(yīng)注意的問題