1、從幾道中考題說開_淺談使用教材例、習題資源的策略衢州市柯城區興華中學 何超英內容提要 近年來,中考命題者以教材的例、習題為根本,對中考試題作了許多有益的嘗試和探索。因此，有效使用教材例、習題資源十分重要。本文通過對幾個源自教材例、習題的中考題的評析，從“聯用”、“活用”、“巧用”、“拓用”四個方面出發，來分析教材例、習題資源的使用策略。關鍵詞使用，教材例、習題，策略。教材是學生知識資源的依據，也是數學試題的原始生長點。隨著新課程改革的不斷深入,新教材的實施以及中考考試的改革,教材中的例、習題越來越受到命題者的青睞。通過近幾年各地數學中考試卷的觀察、研究發現，試題除了具有基礎性、應用性、人文性、

2、探究性、新穎性等方面鮮明的特色外，還具有“源于教材，高于教材”的特點,有些試題是教材中的原題或由教材中的題目改造而來。下面是2008年浙江地區的幾道源于教材的中考題及評析。圖1ABDC題1：（浙江溫州卷）文文和彬彬在證明“有兩個角相等的三角形是等腰三角形”這一命題時，畫出圖形，并寫出了“已知”、“求證”（如圖1）已知:如圖,在ABC中B=C。求證：AB=AC。她們對各自所作的輔助線描述如下：文文：“過點A作BC的中垂線AD，垂足為點D。”彬彬：“作ABC的角平分線AD。”老師看了兩位同學的輔助線作法后，說：“彬彬的作法是正確的，而文文的作法需要訂正。”（1） 請你簡要說明文文的輔助線作法錯在哪

3、里。（2） 根據彬彬的輔助線作法，完成證明過程。評析此題是浙教版教材八下P29中證明等腰三角形判斷的例題的拓展延伸。這題以展示學生解題思維過程形式呈現問題，體現了新穎性和趣味性，主要考查學生的基本功和分析問題的能力。 題2：（浙江杭州卷）課本中介紹我國古代數學名著孫子算經上有這樣一道題：今有雞兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雞兔各有雞頭（只）？ 如果假設雞有x只，兔有y只，請你列出關于x，y的二元一次方程組；并寫出你求解這個方程組的方法。評析這道“雞兔同籠”問題在浙教版教材七下第四章章節圖(P78)，4.3節的節前語(P85)中均有出現，本題是通過對教材中的題目進行改編形成的。這一問題對

4、所有的學生來說都是熟悉的，而且難度不大，體現了考查的基礎性和公平性。題3：（浙江嘉興卷）小麗參加數學興趣小組活動，提供了下面3個有聯系的問題，請你幫助解決：（1）如圖2，正方形ABCD中，作AE交BC于E，DFAE交AB于F，求證：AE=DF；（2）如圖3，正方形ABCD中，點E、F分別在AD、BC上，點G、H分別在AB、CD上，且EFGH，求的值；（3）如圖4，矩形中，AB=a，BC=b，點分別在AD、BC上，且EFGH，求的值。圖2圖3圖4評析 這道題以浙教版教材八下P147中作業題5為基礎，并加以適當的加工、改造、演變。此題設計的三個問題，相互聯系，層層遞進，從第（1）問到第（3）問，在

5、條件逐漸變化的情況下，將問題的探究逐步引向深入，符合學生的認知規律；通過轉化、類比的數學思想方法將新問題轉化為已解決的問題，可以使學生在解決問題的過程中，增強思維能力。啟示：從上面的這幾道中考題可以看出，中考命題在考查基礎知識和基本技能的同時，不僅注重學生數學思想、探究能力、創新思維等方面的考查，而且更重要的是有許多試題都來源于教材，是教材例題或習題的類比、改造、拓展、延伸。這就要求教師在平時的教學以及總復習的過程中，要加強對典型例、習題的研究，不斷地挖掘教材中例、習題的內在“潛能”，本文擬從“聯用”、“活用”、“巧用”、“拓用”四個方面出發，來分析教材例、習題資源的使用策略。一、聯用聯用，是

6、指從教材的例、習題出發，根據學生的實際和問題的特點充分挖掘和運用知識間相似、接近的聯系，幫助學生通過聯想，激活頭腦中既有的相關知識和經驗，從而解決問題。案例1在教學浙教版教材七年級下冊1.2“三角形的角平分線和中線”時，教材的作業題4原題如下：如圖5，CE，CF分別是ABC的內角平分線和外角平分線，求ECF的度數。 當學生完成此題解答后，教師首先指出：“此題屬于三角形同一頂點處的內角平分線和外角平分線的夾角問題。”然后提問：“有關三角形的兩條內角或外角的角平分線相交問題，還有其他的情形嗎？你能畫出相應的圖形嗎？”讓學生帶著問題去畫圖并思考，最后歸納得到三種不同類型的圖形，引導學生總結它們所體現

7、的數學問題分別是：（1）不在同一頂點處的內角平分線和外角平分線的夾角問題（如圖6）；（2）兩條內角平分線的夾角問題（如圖7）；（3）兩條外角平分線的夾角問題（如圖8）。接下來，教師根據學生所畫的圖形繼續提出問題：“你知道圖6、圖7、圖8中的CPB與CAB之間分別有著怎樣的關系嗎？若這三個圖中的CAB都為80，你能分別求出BPC的度數嗎？”學生的思維再次被激發，并經過自主探究和交流合作得出了結論：（1）圖6中的BPC=BAC；（2）圖7中的BPC=90+BAC；（3）圖8中的BPC=90-BAC。通過這一組問題的訓練，有效地培養了學生的發散思維能力，提高了學生的創新意識。二、活用活用，是依據教學

8、實際，對教材例、習題的條件加以適當的改變，以達到開拓學生思維，培養學生構建知識能力的目的。1、變封閉式問題為開放性問題教材中例、習題的條件、答案大多是封閉、唯一的，教學中,可以根據教學內容,變原題條件、答案的封閉性為開放性，以培養學生思維的廣闊性。案例2：在教學浙教版課標教材八年級下冊6.4（2）“等腰梯形”時，可將教材中的例2：“已知，如圖9，在梯形ABCD中，AC=BD，CDAB。求證：（1）BDC=ACD；（2）梯形ABCD是等腰梯形。”改為“已知，如圖9，在梯形ABCD中，CDAB，你能補充一個條件，使梯形ABCD是等腰梯形嗎？有幾種方法？”這樣的問題能有效啟發學生積極思維，培養學生思

9、維的靈活性和創造性。”2、把問題條件“變靜為動”通過活化問題條件，創設恰當的數學探究活動情境，調動學生的學習熱情，激發學生探究的欲望。案例3：在教學浙教版課標教材七年級下冊7.1（1）“分式”時，學習了分式的概念后，可對教材中的作業題1：“判斷以下各式，是否為分式，并說明理由”的條件作靈活的改變，創設一個“組分式”的游戲活動：“已知整式2，x，x2-2，1-x，3x+4y，7，2x+1，3x。請從這些整式中任選兩個，用它們組成一個分式（至少寫出三個分式），你知道一共能組成幾個分式嗎？”這一活動的創設，不僅能激發學生的學習興趣，還能培養學生的操作能力和創造能力。三、巧用巧用，是指根據教材的特點，

10、立足于學生的實際，巧妙地改變數學問題的呈現方式，增強學生閱讀理解和運用等能力，以幫助學生適應不同的、新穎的命題形式問題的解答。案例4：在教學浙教版課標教材八年級下冊2.1 “正方形”時，教材中設置的引入正方形的性質的引例為：“回顧與思考：1.我們已經學習過哪些特殊的平行四邊形？2.是否存在一組鄰邊相等的特殊的矩形？若存在，它是什么圖形？3.是否存在一個角是直角的菱形？若存在，它是什么圖形？請你在圖10中填上各種圖形的名稱和轉化的條件：教師先讓學生獨立完成引例的解答，然后引導學生歸納正方形的性質及正方形與矩形、菱形的區別和聯系，接著教師對這個引例進行了巧妙的使用，她以新定義概念的形式呈現有關正方

11、形性質的問題:“菱形、矩形與正方形的形狀有差異，我們將菱形、矩形與正方形的接近程度稱為“接近度”。在研究“接近度”時，應保證相似圖形的“接近度”相等。(1)若菱形相鄰兩個內角的度數分別為x度,y度，將菱形的“接近度”定義為x-y,于是，x-y越小，菱形越接近于正方形。若菱形的一個內角為80度，則該菱形的 “接近度”等于（ ）；當菱形的“接近度”等于（ ）時，菱形是正方形。(2)設矩形相鄰兩條邊長分別是a和b（ab）,將矩形的“接近度”定義為，于是-1越小，矩形越接近與正方形；-1越大，矩形與正方形的形狀差異越大。當矩形的一邊長為40，周長為120時，矩形的“接近度”等于（ ）；當矩形的“接近度

12、”等于（ ）時，矩形是正方形。”通過這類問題的解答能增強學生的閱讀能力，理解能力 。四、拓用拓用，是指對教材例、習題進行適當的拓展、延伸，給學生提供更廣闊的學習空間，以培養學生的學習能力。案例5在教學浙教版課標教材八年級下冊6.3 “正方形”時，教材的作業題4原題為“如圖11，分別以ABC的邊AB,AC為一邊向外作正方形AEDB和正方形ACFG,連結CE,BG.求證：BG=CE。”待大部分學生完成后，教師提問：“若將圖11中的正方形AEDB固定不動，保持正方形ACFG的形狀和大小不變，將正方形ACFG繞著點A按逆時針（或順時針）方向旋轉任意角度，得到如圖12、圖13的情形。這時BG=CE嗎？”

13、這種圖形變化中結論的變與不變問題極大地激活了學生思維，教師先利用幾何畫板進行動態演示，學生們邊認真觀察圖形變化，邊探究猜想出BG與CE的大小關系是：BG=CE，并能給出證明。接著教師給出原題的另一種拓展：“若在圖11中以BC為邊向外作一個正方形BCQH(如圖14)，設點O1 、O2 、O3分別是正方形AEDB、ACFG、BCQH的對角線的交點，連結O1O2 ，AO3 ,你能利用旋轉變換和相似變換的知識說明線段O1O2 與AO3之間的關系嗎？這一問題對學生的挑戰性較大，在學生合作交流的前提下教師可以這樣引導：如圖15，,根據旋轉相似變換性質可得：AO1O2 ，BCG經過旋轉相似變換分別得ABG，ACO3，線段O1O2，BG 分別變為BG，AO3，上述兩種旋轉相似變換的都具有這樣特點：按逆時針方向旋轉，旋轉角度為45，相似比分別為：O 1O2：BG=1：，BG：AO3=：1，因此可以求得O1O2= AO 3，O1O2AO3。這種“拓用”使學生感受知識的發生、發展過程，掌握了圖形變換中線段關系的探索策略，有利于培養學生的類比猜想、合情推理及探究推理能力。結束語教材是最能體現數學課程標準的資源，凝聚了課程專家的心血。作為教師，務必精心領會教材精髓，活化、深化教材例、習題，創新教學方法，激發學生的學習興趣，提高學生