1、第一章第一章 預備知識預備知識 1.1 概率空間概率空間 1.2 1.2 隨機變量及其分布隨機變量及其分布 1.3 隨機變量的數字特征隨機變量的數字特征 1.4 特征函數、母函數特征函數、母函數 1.5 收斂性與極限定理收斂性與極限定理 1.1 概率空間概率空間 一、隨機事件的公理化定義一、隨機事件的公理化定義 回顧初等概率論中引進古典概率、幾何概率回顧初等概率論中引進古典概率、幾何概率 等定義，有如下問題：等定義，有如下問題： 對于隨機試驗對于隨機試驗e的樣本空間的樣本空間,是否是否的每一個的每一個 子集子集( (事件事件) )都能確定概率都能確定概率? ? 定義定義(代數代數) )：設隨機

2、試驗：設隨機試驗e 的樣本空間的樣本空間 為為,f 是是的子集組成的集族，滿足的子集組成的集族，滿足 (1) f ; ; (2)若若af, ,則則 . .（對逆運算封閉）（對逆運算封閉）fa (3) 若若 則則 （對可列并運算封閉）（對可列并運算封閉） , 2 , 1 ifai 1i i fa 稱稱f為為的一個的一個-代數代數（事件體）（事件體）, , f 中的集中的集 合稱為合稱為事件事件. . f的定義給出了事件間類似于代數學中的代的定義給出了事件間類似于代數學中的代 數結構數結構. . ex1：在編號為：在編號為1,2，,n 的的 n個元件中取一件，個元件中取一件， 1. 考慮元件的編號

3、，則全體基本事件為考慮元件的編號，則全體基本事件為 樣本空間為樣本空間為 n,1,2, 構造如下事件構造如下事件: nkkak, 2 , 1 ,1,2, , nskaaa sksk nskiaaaa skiski ,1,2, , niii aaaa n iiiiii n ,1,2, 121 , 1211n21 , 1n21 , iiiskk aaa 可驗證集族可驗證集族 組成一個組成一個代數代數. 2. 僅考慮元件是正品或次品，則基本事件為僅考慮元件是正品或次品，則基本事件為 a1=取到正品取到正品, , a2=取到次品取到次品 ,a,a,f 21 則則 為一個為一個代數代數. . .,aa,

4、f代代數數是是最最簡簡單單通通常常稱稱 ex.2 測量一個零件測量一個零件, ,考慮其測量結果與實際長考慮其測量結果與實際長 度的誤差度的誤差. . 基本事件為基本事件為x, ,樣本空間為樣本空間為 11 :rrxx 則則r1 1的子集全體：的子集全體： , ,單點集單點集 x ，一切開的，一切開的, , 閉的，半開半閉區間等組成的集族閉的，半開半閉區間等組成的集族f是一個代數是一個代數. . , 另外，令另外，令 0: 0: 2 1 xxa xxa = =出現正誤差出現正誤差 = =出現負誤差出現負誤差 則則 為一個為一個代數代數. ,a,a,f 21 注：注：對同一研究對象的同一試驗對同一

5、研究對象的同一試驗,試驗目的不同試驗目的不同, 其樣本空間和代數的結構會不同其樣本空間和代數的結構會不同. 定義定義(可測空間可測空間)：樣本空間：樣本空間和和代數的二元體代數的二元體 (,f) 稱為可測空間稱為可測空間. 可測空間有如下可測空間有如下性質性質： 1. ;f 2.對可列交運算封閉對可列交運算封閉,若若 則有則有 ),1,2,( ifai 1 f i i a 證證, 11 i i i i aa因因 ff ii aa 11 ff i i i i aa 3. 對有限并對有限并, ,有限交封閉：若有限交封閉：若 則則 niai,1,2,f n i i n i i aa 11 ff, 或

6、或 4. .對差運算封閉對差運算封閉,即即若若 則則 . .f,f, baf ba f baba 二、概率的公理化定義二、概率的公理化定義 柯氏公理體系是現代概率論的基石柯氏公理體系是現代概率論的基石. 定義定義( (概率概率) )：設：設(,f)是一可測空間，對是一可測空間，對 定義在定義在f上的實值集函數上的實值集函數p(a), 滿足滿足 f a 1) 非負性：對非負性：對 ; 10f, apa 2) 規范性規范性: :p() = 1; ; 3) 完全可加性完全可加性, ,對對 ,1,2,fjiaaia jii 有有 11i i i i apap 稱稱p是是(,(,f) )上的上的概率概率

7、( (測度測度),),p(a)是事件是事件a 的概率的概率. . 三元體三元體(,f, p)稱為稱為概率空間概率空間. ex: 設某路口到達的車輛數為設某路口到達的車輛數為m, ,基本事件基本事件 為為m, ,樣本空間樣本空間 f是是的一切子集的一切子集 組成的集族，則組成的集族，則f是一個是一個代數代數. . ,0,1,2, 定義定義p()=0,并對并對af 令令 ak k k ap0, ! e 證明證明 p為可測空間為可測空間(,(,f) )上的概率上的概率. . 證證: 1) 0 1 ! e ! e kk kk kk p , 0 ! e0 k k k 有有，對，對2) 因因 ; 1 !

8、e ! e)(0 akk kk kk ap 3) 設設),( , )1,2,(,fjiaaia jii i i ak k i i k ap 1 ! e 1 . )( ! e 11 iaki i k i ap k 有有 三、概率性質三、概率性質 設設(,(,f, p) )是概率空間是概率空間, ,則概率則概率p 有如下性質有如下性質: : 1) p()=0; 2)有限可加性有限可加性: 若若 )( ,1,2,fjiaania jii ; )( 11 n i i n i i apap 則則 推論推論1: ; 1 apap 推論推論2 (單調性單調性):):若若 ，則，則ab p(ab)=p(a)p

9、(b) 且且 ,bpap 3) 概率的單調性概率的單調性 . 0)(lim n n ap則則 , 1 n n a且且若若, 21 aa 1,2, 1k nbaa nk k nk k 證：證： 211 nnnnn aaaaa a1 an an+1 其中其中b1,b2,互不相容，由完全可加性有互不相容，由完全可加性有 0)(1 1 1 1 1 k kk k k aapbpap 收斂級數的余項極限為收斂級數的余項極限為0,( (as ), ),即即 n . )as(0, 1 naapap nk kkn 則則且且若若, 1 21 aaaa n n 推論推論1： .linapap n n 推論推論2：

10、則則且且若若, 1 21 n n aaaa .linapap n n 證：在推論證：在推論1中中 , 21 bbaab nn 則則令令 . 00lim aapapapbp nnn n )( nasapap n aaaa n n 1 11n n n n aab且且 a bn= an - a 有有設設,1,2,f,niai 4）多除少補原理）多除少補原理 n i i n i i apap 11 .1 11 1 nki n i i n ki apaap 推論推論：概率具有次可加性：概率具有次可加性 . 11 n i i n i i apap 四、條件概率四、條件概率 bp abp bap 定義定義：

11、設：設(,f, p)是概率空間，是概率空間，a, bf， 且且p(b)0 稱為已知事件稱為已知事件b發生的條件下，事件發生的條件下，事件a 發生的發生的 條件概率條件概率. 定理：定理：設設(,f,p)是概率空間是概率空間,bf,且且p(b)0,則則 對對 有有 對應對應, 集函數集函數 滿足三滿足三 條公理條公理: : )(bap f, a bp 1;)()2 bp . 11 i i i i bapbap 則則且且),( ,1,2,f)3jiaaia jii 條件概率條件概率 是概率是概率. . ; 1)(0f,)1 bapa 定義定義: :記記pb= = p( (| |b）, ,則則pb

12、是可測空間是可測空間(,(,f) ) 上的概率上的概率, ,稱稱(,(,f, ,pb) )是是條件概率空間條件概率空間. . 定理：定理：設設a是概率空間是概率空間(,f, p)上的正概率事上的正概率事 件件,bf, 且且pa(b)0, 則對任意則對任意cf 有有 )(bacpbcp a )( )( )( )( abp acbp bp cbp bcp a a a 證證 . )( )( )( )( )( / )( )( bacp abp abcp ap abp ap abcp ex. 10 張簽中有三張幸運簽張簽中有三張幸運簽, ,3人依次各抽一人依次各抽一 張簽張簽, ,第一個人抽到幸運簽第一個人抽到幸運簽, ,假若第二人也抽到假若第二人也抽到, , 問第三人抽到幸運簽的概率問第三人抽到幸運簽的概率. . 解解 設設 ai= =第第i 人抽到幸運簽人抽到幸運簽, i=1,2,3. . , )( 1 1 appa 記記, 9 2 )()( 122 1 aapapa有有 . 8 1 )()( 21323 1 aaapaapa 所求概率為所求概率為 五、全五、全概率公式與概率公式與