1、二次方程根得分布與二次函數在閉區間上得最值歸納1、一元二次方程ax2+bx + c = 0根得分布情況設方程ar+bx+c = O（aO）得不等兩根為州,吃且斗 廠,相應得二次函數為= +加+c = 0,方程得根 即為二次函數圖象與x軸得交點,它們得分布情況見下面各表（每種情況對應得均就是充要條件）表一：（兩根與0得大小比較即根得正負情況）分布情況O 大致圖象()aar/ I /ILrL得出得結論o o o A2一 /o o o A加一 /o oO 大致圖象(V)a1yA-y丄rn/r得出得結論o o o 2一 /o o o ;mo /(綜合結論(不討論a).、o o Ab2a/(0o )o

2、o ) 7 /o b 2/(o /(表二:倆根與&得大小比較）分布情況兩根都小于*即x k, k、 k一個根小于4一個大于*即%. k )得出得結論A02a丿0 0bk2af(k)0/W02a/)v0A0-k2a/0Q 0-k2awf(k)0“/(燈 )ayJ / yJ y- / n m3得出得結論o o b加 o o A / /z或 o o o o 眄町p)d z( z( /tv zl / / / / X O 大致圖象()AyJ AJA人y- A1丈7/3XAXpn.1宀)X q 乂 p n1 r/得出得結論0 0 3 o 叭0 o S 一 A / / Y 7( /IX z( z( / /

3、/ /綜合結論(不討論d)o o JZ J/ / / n nr zox z( 了 丿根在區間上得分布還有一種情況:兩根分別在區間（mji）外，即在區間兩側斗n（圖形分別如下）需滿足得條件就是對以上得根得分布表中一些特殊情況作說明：兩根有且僅有一根在(加丿)內有以下特殊情況:若/(?) = 0或f(n) = 09則此時0不成立，但對于這種情況就是知道了方程有一根為加或，可以求出另外一根，然后可以根據另一根在區間(”町內，從而可以求出參數得值。如方程/一(加+ 2)x+2 = 0在區間(1,3)2 2?上有一根，因為/(1) = 0.所以用疋一(必+ 2)兀+ 2 =(尤一1)(1-2),另一根為

4、一，由1 3W-/(0)0即(1伽+ 15)(m + 3)v0得出_3 5/(0)0 K卩(2m+1)(加_ 1)0(/77 + 1) 一82 0_(2 + 1)(、0 =/? - 1 =22/(0)0m0加v 3 2近或m 3 + 2近 m00 53 + 2邁即為所求得范圍。例3、已知二次函數丁 =(加+ 2)/_(2加+ 4卩+(3加+ 3)與x軸有兩個交點，一個大于1,一個小于1,求實數加得取值范圍。解:由(加+ 2)于(1) -2 m 丄即為所求得范圍。2例4、已知二次方程皿2+(加_3)兀+4 = 0只有一個正根且這個根小于1,求實數加得取值范圍。解:由題意有方程在區間(0,1)上只

5、有一個正根，則/(0)./(1) 4(3z + l)v0 = w 0)5PliJ-次函數在閉區間g可上得最大、最小值有如下得分布情況:bin n -2a/?- /I K卩-上-w inji 2a2ab一 m 01 y八最大、最小值Omm =巾)/(Qmax = max.f (“),/(?)/(A)nnn/(Qmax = /()/U)nun = /(?)對于開口向下得情況，討論類似。其實無論開口向上還就是向下，都只有以下兩種結論：若一? e m,n，則 /(x)max = maxj fm/(n)f Jgin = min(- ?；2a2a 2a J丿J(2) 若 一 2 $ 加，”，則 /(x)m

6、ax = “皿/(/), /(”), /訕=価/(?),/(”)2a另外.當二次函數開口向上時，自變量得取值離開X軸越遠，則對應得函數值越大;反過來，當二次函數開口向下時，自變量得取值離開X軸越遠，則對應得函數值越小。二次函數在閉區間上得最值練習二次函數在閉區間上求最值，討論得情況無非就就是從三個方而入手:開口方向、對稱軸以及閉區間，以下三個例題各 代表一種情況。例1、函數f(x) = ax2-2ax+2+b(a0)在2,3上有最大值5與最小值2,求b得值。解:對稱軸勺=1可2,3故函數/(工)在區間2,3上單調。當 0時，函數/(X)在區間2,3 就是增函數故min3a + b + 2 =

7、52 + b = 2a = 1=b = 0當a3a+b + 2 = 2=例2、求函數/(x) = x2-2ax+txel,3得最小值。解:對稱軸人)=a(1)當“ vl 時,兒杯=/(l) = 2-2r/(2)當時,兒的=/() = 1-2 ；(3)當。3時,兒杯=/(3) = 10-6t/改：1本題若修改為求函數得最大值,過程又如何？解:當 a v 2 時,/(x)nm =/(3)= 10-6;(2)當a2時,/= /(1) = 2 2n。2本題若修改為求函數得最值,討論又該怎樣進行？解:(1)當 GV1 時,/(兀)喚=/(3) = 10-也/(心罰=門1) = 2 2。；當 1 也2時，f(x)nm =/(3)= 10-6./(x)nun =于=1 “；(3) 當 23 時(兀)噺*(1) = 2-加 J(嘰n=/(a)T-/；(4) 當心3時,/()_=/(1) = 2-2,/(=/(3) = 104。例3、求函數y = x2 一4兀+ 3在區間/+1上得最小值。解:對稱軸心=2(1)當 22 時，兒訕=/(/) =尸一如+ 3 ；(2)當/S2S/ +1 即1 / + 1即Y1時,)爲=于(/ + 1)=尸一2/例4、討論函數/(x) = x2+|x-| + l得最小值。1_ %-+1 y 解:/(x) = x2+|x-| +