1、斐波那契數列斐波那契數列&黃金比黃金比 斐波那契數列斐波那契數列 fibonacci sequence game：“取棋子取棋子” 游戲方法是由兩個人輪流取一堆粒數不限的棋子。 先取的一方可以取任意粒，但不能把這堆砂子全 部取走。后取的一方，取數也多少不拘，但最多 不能超過對方所取棋子數的一倍。然后又輪到先 取的一方來取，但也不能超過對方最后一次所取 棋子的一倍。這樣交替地進行下去，直到全部棋 子被取光為止，誰能拿到最后一粒棋子，誰就算 勝利者。 game：“取棋子取棋子” 如果棋子總數為2個，獲勝的是誰呢？先取的一方還是后 取的一方？ 如果棋子總數為3個，獲勝的是誰呢？ 如果棋子總數為5個呢

2、？8個呢？13個，21個呢？ 后后game時代時代 觀察這些數字，有什么規律？ 2，3, 5, 8, 13, 21 再加上這些數字呢？ 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, leonardo fibonaccileonardo fibonacci 斐波那契數列的發明斐波那契數列的發明 者，是意大利數學家者，是意大利數學家 列昂納多列昂納多斐波那契斐波那契 leonardo fibonacci， （ad1170ad1240）。）。 他被人稱作他被人稱作“比薩的比薩的 列昂納多列昂納多”。1202年，年， 他撰寫了珠算原理他撰寫了珠算原理 (liber abacci)

3、一書。他一書。他 是第一個研究了印度是第一個研究了印度 和阿拉伯數學理論的和阿拉伯數學理論的 歐洲人。歐洲人。 fibonacci sequence 斐波那契數列（兔子數列 ） 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 斐波那契數列(finonnaci sequence) 自第三項開始,每一項都是前兩 項的和 數列中的每一項為 斐波那契數(fibonnaci number) 以符號 fn 表示。 f1 = f2 = 1 ， 而 fn = fn-1 + fn-2 (n2) fibonacci sequence緣起緣起 “不死不死”之兔之兔 一對兔子，出生后第二個月開始一對兔子，

4、出生后第二個月開始 有生育能力，每月繁殖一對小兔有生育能力，每月繁殖一對小兔 子。問一對兔子一年中可繁殖出子。問一對兔子一年中可繁殖出 多少對兔子？多少對兔子？ 珠算原理珠算原理 liber abacci fibonacci sequence解析解析 fibonacci sequence解析解析 月數月數1 12 23 34 45 56 67 78 89 91010111112121313 小兔小兔 子對子對 數數 1 10 01 11 12 23 35 58 813132121343455558989 大兔大兔 子對子對 數數 0 01 11 12 23 35 58 813132121343

5、455558989144144 兔子兔子 總對總對 數數 1 11 12 23 35 58 813132121343455558989144144233233 fibonacci sequence解析解析 通項公式 黃金比黃金比 黃金比黃金比 黃金分割又稱黃金分割又稱黃金律黃金律，是，是 指事物各部分間一定的指事物各部分間一定的數數 學學比例關系，即將整體一比例關系，即將整體一 分為二，較大部分與較小分為二，較大部分與較小 部分之比等于整體與較大部分之比等于整體與較大 部分之比，其比值為部分之比，其比值為 1 0.618或或1.618 1，即，即 長段為全段的長段為全段的0.618。 0.61

6、8被公認為最具有審被公認為最具有審 美意義的比例數字。上述美意義的比例數字。上述 比例是最能引起人的美感比例是最能引起人的美感 的比例，因此被稱為黃金的比例，因此被稱為黃金 分割分割 發現歷史發現歷史 據說在古希臘，有一據說在古希臘，有一 天畢達哥拉斯走在街上，天畢達哥拉斯走在街上， 在經過鐵在經過鐵匠鋪前他聽到鐵匠鋪前他聽到鐵 匠打鐵的聲音非常好聽，匠打鐵的聲音非常好聽， 于是駐足傾聽。他發現鐵于是駐足傾聽。他發現鐵 匠打鐵節奏很有規律，這匠打鐵節奏很有規律，這 個聲音的比例被畢達哥拉個聲音的比例被畢達哥拉 斯用數數理的方式表斯用數數理的方式表達出達出 來。被應用在很多領域，來。被應用在很多

7、領域， 后來很多人專門研究過，后來很多人專門研究過， 開普勒稱其為開普勒稱其為“神圣分割神圣分割” 也有人稱其為也有人稱其為“金法金法”。 黃金分割與美感黃金分割與美感 利用黃金分割率的紫禁城利用黃金分割率的紫禁城 黃金分割與美感黃金分割與美感 黃金分割與美感黃金分割與美感 黃金分割與美感黃金分割與美感 黃金分割與作息制度黃金分割與作息制度 科學家們還發現，當外界科學家們還發現，當外界 環境溫度為人體溫度的環境溫度為人體溫度的 0.618倍時，人會感到最舒倍時，人會感到最舒 服現代醫學研究還表明服現代醫學研究還表明 ，0.618與養生之道息息相與養生之道息息相 關，動與靜是一個關，動與靜是一個

8、0.618的的 比例關系，大致四分動六比例關系，大致四分動六 分靜，才是最佳的養生之分靜，才是最佳的養生之 道。醫學分析還發現，飯道。醫學分析還發現，飯 吃六七成飽的幾乎不生胃吃六七成飽的幾乎不生胃 病。病。 黃金比與戰爭黃金比與戰爭 千百年來，人們對成吉思汗的蒙古千百年來，人們對成吉思汗的蒙古 騎兵，為什么能像颶風掃落葉般地騎兵，為什么能像颶風掃落葉般地 席卷歐亞大陸頗感費解，因為僅用席卷歐亞大陸頗感費解，因為僅用 游牧民族游牧民族的彪悍勇猛、殘忍詭譎、的彪悍勇猛、殘忍詭譎、 善于騎射以及騎兵的機動性這些理善于騎射以及騎兵的機動性這些理 由，都還不足以對此做出令人完全由，都還不足以對此做出令

9、人完全 信服的解釋。或許還有別的更為重信服的解釋。或許還有別的更為重 要的原因？仔細研究之下，果然又要的原因？仔細研究之下，果然又 從中發現了黃金分割律的偉大作用。從中發現了黃金分割律的偉大作用。 蒙古騎兵的戰斗隊形與西方傳統的蒙古騎兵的戰斗隊形與西方傳統的 方陣大不相同，在它的方陣大不相同，在它的5排制陣形排制陣形 中，人盔馬甲的重騎兵和快捷靈動中，人盔馬甲的重騎兵和快捷靈動 輕騎兵的比例為輕騎兵的比例為2:3，這又是一個，這又是一個 黃金分割！你不能不佩服那位馬背黃金分割！你不能不佩服那位馬背 軍事家軍事家的天才妙悟，被這樣的天才的天才妙悟，被這樣的天才 統帥統領的大軍，不縱橫四海、所統帥

10、統領的大軍，不縱橫四海、所 向披靡，那才怪呢向披靡，那才怪呢 黃金分割與戰爭黃金分割與戰爭 一代梟雄一代梟雄的的拿破侖大帝可能怎么也不會的的拿破侖大帝可能怎么也不會 想到，他的命運會與想到，他的命運會與0.618緊緊地聯系在緊緊地聯系在 一起。一起。1812拿破侖大帝拿破侖大帝 年年6月，正是月，正是莫斯科莫斯科一年中氣候最為涼爽一年中氣候最為涼爽 宜人的夏季，在未能消滅俄軍有生力量的宜人的夏季，在未能消滅俄軍有生力量的 博羅金諾戰役博羅金諾戰役后，拿破侖于此時率領著他后，拿破侖于此時率領著他 的大軍進入了莫斯科。這時的他可是躊躇的大軍進入了莫斯科。這時的他可是躊躇 滿志、不可一世。他并未意識

11、到，天才和滿志、不可一世。他并未意識到，天才和 運氣此時也正從他身上一點點地消失，他運氣此時也正從他身上一點點地消失，他 一生事業的頂峰和轉折點正在同時到來。一生事業的頂峰和轉折點正在同時到來。 后來，法軍便在大雪紛揚、寒風呼嘯中灰后來，法軍便在大雪紛揚、寒風呼嘯中灰 溜溜地撤離了莫斯科。三個月的勝利進軍溜溜地撤離了莫斯科。三個月的勝利進軍 加上兩個月的盛極而衰，從加上兩個月的盛極而衰，從時間軸時間軸上看，上看， 法蘭西皇帝透過熊熊烈焰俯瞰莫斯科城時法蘭西皇帝透過熊熊烈焰俯瞰莫斯科城時 ，腳下正好就踩著黃金分割線。，腳下正好就踩著黃金分割線。 黃金分割與自然黃金分割與自然 鸚鵡螺曲線的每個半徑

12、和后一個的比都是黃鸚鵡螺曲線的每個半徑和后一個的比都是黃 金比例，是自然界最美的鬼斧神工。金比例，是自然界最美的鬼斧神工。 黃金分割與自然黃金分割與自然 如果從一棵嫩枝的頂如果從一棵嫩枝的頂 端向下看，就會看到端向下看，就會看到 葉子是按照黃金分割葉子是按照黃金分割 的規律排列著的。的規律排列著的。 do you know?do you know? 1、人的體溫、人的體溫37度，室溫度，室溫25度是人們度是人們 感受最舒適的溫度，而感受最舒適的溫度，而2537=0.676 很接近很接近0.618。 2理想體重計算很接近身高理想體重計算很接近身高（1 0.618）。）。 3普通人一天上班普通人一

13、天上班8小時，小時， 80.618=4.944，上班第，上班第5個小時是最個小時是最 需要休息的時候，同時也是開始期待下需要休息的時候，同時也是開始期待下 班的時候。班的時候。 4小學生一節課小學生一節課40分鐘，而注意力分鐘，而注意力 只有只有40（10.618）=15.28分鐘，因分鐘，因 此教師必須不斷注意學生的學習。此教師必須不斷注意學生的學習。 黃金分割左右股市黃金分割左右股市 黃金線五段買賣法則黃金線五段買賣法則 1.耐心持有待突破：耐心持有待突破： 2.高拋低吸取黃金：高拋低吸取黃金： 3.虎口拔牙要小心：虎口拔牙要小心： 4.高高在上買不宜：高高在上買不宜： 5.風光無限在險峰

14、：風光無限在險峰： 是什么呢？ 經研究發現，相鄰兩個斐波那契數的比值經研究發現，相鄰兩個斐波那契數的比值 是隨序號的增加而逐漸趨于黃金分割比的。是隨序號的增加而逐漸趨于黃金分割比的。 即即f(n)/f(n-1)-0.618。由于菲波那契數都。由于菲波那契數都 是整數，兩個整數相除之商是有理數，所是整數，兩個整數相除之商是有理數，所 以只是逐漸逼近黃金分割比這個無理數。以只是逐漸逼近黃金分割比這個無理數。 但是當我們繼續計算出后面更大的菲波那但是當我們繼續計算出后面更大的菲波那 契數時，就會發現相鄰兩數之比確實是非契數時，就會發現相鄰兩數之比確實是非 常接近黃金分割比的。常接近黃金分割比的。 f(n)/f(n-1)-0.618 2010年年11月月9日至日至2011月月1月月6日的日的60分鐘周期圖形，分鐘周期圖形， 涉及斐波那契數列和黃金分割比例涉及斐波那契數列和黃金分割比例 斐波那契數在植物的葉、枝、莖等排列中斐波那契數在植物的葉、枝、莖等排列中 發現發現 。 & 斐波那契數斐波那契數&海螺海螺 除了動物繁殖外，植物的生長也與斐除了動物繁殖外，植物的生長也與