1、非線性分析弧長法的讀書報告1.弧長法的原理弧長法屬于雙重目標控制方法，即在求解過程中同時控制荷載因子和位移增量的步長。其基本的控制方程為： （1）式中：為荷載因子增量數值為荷載比例系數，用于控制弧長法中荷載因子增量所占的比重為固定的半徑在求解過程中，荷載因子增量在迭代中是變化的，下列非線性靜力平衡的迭代求解公式中存在個未知數，即 （2）這樣，在弧長法中一共存在個未知數，根據約束方程： 即為附加的控制方程，問題才能得到解答，此時，可以根據值的取值分為兩種弧長法，其中，時的弧長法稱為球面弧長法，時的弧長法稱為柱面弧長法。1.1球面弧長法如下圖所示，根據圖中所示來說明弧長法的求解策略：在第步荷載增量

2、第次迭代分析中，結構的位移增量可由式（2）來計算，即 （3）由于剛度矩陣不對稱以及帶寬被改變，通常情況下直接聯立求解式（1）和式（3）中個變量相當困難。通常，將式(3)中分解為兩個部分，即 （4）式中， （5） 說明的第一項為采用荷載控制的標準切線剛度迭代求解的結果； （6） 說明的第二項為考慮荷載下按當前結構剛度計算出來的位移增量。至此，式(4)中仍有為未知量，現在只有借助控制方程（1）來求解。第次迭代結束后相應于迭代初始點（上圖中點）的位移增量為 (7)將（7）式代入控制方程（1）式，并考慮迭代前后弧長保持不變，故得到： (8)式中：與分別為第次迭代前后荷載因子相對于迭代初始點（上圖中 點

3、）的增量，它們有如下關系： (9)將(4)代入(9)中，可得： （10）式中：由此，可通過解上述一元二次方程得到何在因子的增量，從而進一步確定當前的荷載水平和位移向量，即(11)(12)1.2柱面弧長法經過研究發現，荷載比例系數對于最終分析結果的影響是有限的，尤其是結構非線性成都較高時，這種影響甚微。令，從而減少程序中的未知數和提高求解效率。于是把從原先所謂的“球面弧長法”簡化為“柱面弧長法”，結構的控制方程則簡化成： （13）同理可得：(10)中關于的一元二次方程式中的系數可以簡化成:由上式求解出兩個根，從而得到兩個位移增量，即： （14） （15）為了保證迭代方向盡量保持一致，可以根據兩次

4、迭代結束時的位移增量和的夾角最小準則來判斷到底哪個更合適。兩個向量之間的夾角可以按照下式確定： （16）將一元二次方程求出的兩個解分別代入上式求出各自的夾角，夾角小的的荷載因子增量為所求的值。可按照式（11）和（12）更新結構的荷載水平和位移向量。1.3弧長法的簡化形式上述弧長法的求解過程，需要求解一元二次方程，計算量大，因此，為簡化計算，提出了另一種控制方程，用垂直于迭代向量的平面代替圓弧，把弧長不變的條件改為向量與向量始終保持正交，即滿足下列控制方程： （17）寫成矩陣形式為與前面的解法相同，可求解上述一元二次方程得相比之下，用上式求解容易多了，其余步驟完全同上述相關內容。1.4弧長法的求

5、解步驟（1） 對于第1個增量步()第1次迭代()分析,選定參考荷載，即 確定了初始弧長增量。（2） 輸入期望迭代次數；如果采用球面弧長法，則輸入荷載參與比例系 數。（3） 存儲結構初始切線剛度。（4） 在第次增量步分析中，迭代流程如下。 求解出。 記錄迭代次數，對結構剛度矩陣進行三角分解或計算“當前剛度系數”以判別矩陣是否正定。 更新結構的變形向量，計算結構的恢復力箱梁和非平衡力向量。 如果采用切線剛度迭代技術，則要根據當前結構的變形向量更新結構剛度矩陣；如果采用初始剛度迭代技術，則只需在每次增量分析中的初始迭代中根據上一次增量結束時的結構位移向量來更新結構剛度即可，在增量步中不用更新。 計算

6、和，若采用初始剛度迭代技術，在整個增量步迭代中為定值，不必重復計算。 求解荷載因子增量。 按式（4）計算，由式（11）、（12）更新當前的荷載水平和位移向量。 收斂性判別。如果滿足收斂準則，則終止當前增量步下的迭代進城，記錄迭代次數進入步驟；如果不滿足收斂準則，則需要繼續迭代，記錄迭代次數，令，重復步驟 判別當前荷載水平是否達到期望值或超過一定的增量步數。如是，則分析結束，輸出數據；如不是，則令，更新結構切線剛度矩陣，計算當前增量步中的弧長增量，返回步驟。2.弧長法的適用范圍弧長法適用性很強，收斂性和穩定性明顯好于其他處理負剛度問題的方法，它既可以用于加工軟化結構，也可以適用于加工硬化結構，在

7、非線性程度較高的體系應優先考慮采用該方法。但是該方法的計算量很大，對一般非線性問題，還是建議選擇其他簡單的方法。3.弧長法的評述（1）弧長法屬于雙重目標控制方法，即在求解過程中同時控制荷載因子和位移增量的步長，從理論上來說，任何方法都應在極值點附近存在剛度奇異的問題，但是控制位移法和弧長法中，迭代點正好落在極值點附近的概率很小，在現實中很難遇見，除非遇到非線性程度很高的結構體系。在分析混凝土開裂的加工軟化問題時，偶爾也會在運用弧長法時出現一些問題，如在應用球面孤長法時得不到方程式的實數解，或應用柱面弧長法時在臨界點附近發散，找不到交點。（2）弧長法屬于自動步長法，只要給出一些控制參數，步長由程序自動計算，此方法為當前的主流計算方法。（3）弧長法中的荷載增量預測因子只是初步控制當前荷載增量步的迭代過程，不能完全準確估計結構迭代結束時的荷載水平，結構最終的荷載水平是迭代結束后的數值。4.參考文獻1何政，歐進萍.鋼筋混凝土結構非線性分析m.哈爾濱工業大學出版社,2007.2向天宇，趙人達，劉海波. 將弧長法