1、.概率論與數理統計第一章 概率論的基本概念2樣本空間、隨機事件1事件間的關系 則稱事件b包含事件a，指事件a發生必然導致事件b發生 稱為事件a與事件b的和事件，指當且僅當a，b中至少有一個發生時，事件發生 稱為事件a與事件b的積事件，指當a，b同時發生時，事件發生 稱為事件a與事件b的差事件，指當且僅當a發生、b不發生時，事件發生 ，則稱事件a與b是互不相容的，或互斥的，指事件a與事件b不能同時發生，基本事件是兩兩互不相容的 ，則稱事件a與事件b互為逆事件，又稱事件a與事件b互為對立事件2運算規則 交換律 結合律分配律 徳摩根律3頻率與概率定義 在相同的條件下，進行了n次試驗，在這n次試驗中，

2、事件a發生的次數稱為事件a發生的頻數，比值稱為事件a發生的頻率概率：設e是隨機試驗，s是它的樣本空間，對于e的每一事件a賦予一個實數，記為p（a），稱為事件的概率1概率滿足下列條件：（1）非負性：對于每一個事件a （2）規范性：對于必然事件s 精品.（3）可列可加性：設是兩兩互不相容的事件，有（可以取）2概率的一些重要性質：（i） （ii）若是兩兩互不相容的事件，則有（可以取）（iii）設a，b是兩個事件若，則，（iv）對于任意事件a，（v） （逆事件的概率）（vi）對于任意事件a，b有4等可能概型（古典概型）等可能概型：試驗的樣本空間只包含有限個元素，試驗中每個事件發生的可能性相同若事件a包

3、含k個基本事件，即，里5條件概率（1） 定義：設a,b是兩個事件，且，稱為事件a發生的條件下事件b發生的條件概率（2） 條件概率符合概率定義中的三個條件1。非負性：對于某一事件b，有 2。規范性：對于必然事件s， 3可列可加性：設是兩兩互不相容的事件，則有（3） 乘法定理 設，則有稱為乘法公式精品.（4） 全概率公式： 貝葉斯公式： 6獨立性定義 設a，b是兩事件，如果滿足等式，則稱事件a,b相互獨立定理一 設a，b是兩事件，且，若a，b相互獨立，則定理二 若事件a和b相互獨立，則下列各對事件也相互獨立：a與第二章 隨機變量及其分布1隨機變量定義 設隨機試驗的樣本空間為是定義在樣本空間s上的實

4、值單值函數，稱為隨機變量2離散性隨機變量及其分布律1 離散隨機變量：有些隨機變量，它全部可能取到的值是有限個或可列無限多個，這種隨機變量稱為離散型隨機變量滿足如下兩個條件（1），（2）=12 三種重要的離散型隨機變量（1）0-1分布 設隨機變量x只能取0與1兩個值，它的分布律是，則稱x服從以p為參數的0-1分布或兩點分布。（2）伯努利實驗、二項分布 設實驗e只有兩個可能結果：a與，則稱e為伯努利實驗.設，此時.將e獨立重復的進行n次，則稱這一串重復的獨立實驗為n重伯努利實驗。 滿足條件（1），（2）=1注意到精品.是二項式的展開式中出現的那一項，我們稱隨機變量x服從參數為n，p的二項分布。（3

5、）泊松分布 設隨機變量x所有可能取的值為0,1,2，而取各個值的概率為 其中是常數，則稱x服從參數為的泊松分布記為3隨機變量的分布函數定義 設x是一個隨機變量，x是任意實數，函數 稱為x的分布函數分布函數，具有以下性質(1) 是一個不減函數 （2） （3）4連續性隨機變量及其概率密度 連續隨機變量：如果對于隨機變量x的分布函數f（x），存在非負可積函數，使對于任意函數x有則稱x 為連續性隨機變量，其中函數f(x)稱為x的概率密度函數，簡稱概率密度1 概率密度具有以下性質，滿足（1）；（3）；（4）若在點x處連續，則有2,三種重要的連續型隨機變量 (1)均勻分布若連續性隨機變量x具有概率密度，則

6、成x在區間(a,b)上服從均勻分布.記為 (2)指數分布若連續性隨機變量x的概率密度為 其中為常數，則稱x服從參數為精品.的指數分布。（3）正態分布若連續型隨機變量x的概率密度為的正態分布或高斯分布，記為特別，當時稱隨機變量x服從標準正態分布5隨機變量的函數的分布定理 設隨機變量x具有概率密度又設函數處處可導且恒有，則y=是連續型隨機變量，其概率密度為第三章 多維隨機變量1二維隨機變量定義 設e是一個隨機試驗，它的樣本空間是和是定義在s上的隨機變量，稱為隨機變量，由它們構成的一個向量（x，y）叫做二維隨機變量設（x，y）是二維隨機變量，對于任意實數x，y，二元函數稱為二維隨機變量（x，y）的分

7、布函數如果二維隨機變量（x，y）全部可能取到的值是有限對或可列無限多對，則稱（x，y）是離散型的隨機變量。我們稱為二維離散型隨機變量（x，y）的分布律。對于二維隨機變量（x，y）的分布函數，如果存在非負可積函數f（x，y），使對于任意x，y有則稱（x，y）是連續性的隨機變量，函數f（x，y）稱為隨機變量（x，y）的概率密度，或稱為隨機變量x和y的聯合概率密度。2邊緣分布二維隨機變量（x，y）作為一個整體，具有分布函數.而x和y都是隨機變量，各自也有分布函數，將他們分別記為精品.，依次稱為二維隨機變量（x，y）關于x和關于y的邊緣分布函數。 分別稱為（x，y）關于x和關于y的邊緣分布律。 分別稱

8、，為x，y關于x和關于y的邊緣概率密度。3條件分布定義 設（x，y）是二維離散型隨機變量，對于固定的j，若則稱為在條件下隨機變量x的條件分布律，同樣為在條件下隨機變量x的條件分布律。設二維離散型隨機變量（x，y）的概率密度為，（x，y）關于y的邊緣概率密度為，若對于固定的y，0，則稱為在y=y的條件下x的條件概率密度，記為=4相互獨立的隨機變量 定義 設及，分別是二維離散型隨機變量（x，y）的分布函數及邊緣分布函數.若對于所有x,y有，即，則稱隨機變量x和y是相互獨立的。對于二維正態隨機變量（x，y），x和y相互獨立的充要條件是參數5兩個隨機變量的函數的分布1，z=x+y的分布 設(x,y)是

9、二維連續型隨機變量，它具有概率密度.則z=x+y仍為連續性隨機變量，其概率密度為精品.或又若x和y相互獨立，設（x，y）關于x，y的邊緣密度分別為則 和這兩個公式稱為的卷積公式有限個相互獨立的正態隨機變量的線性組合仍然服從正態分布2，設(x,y)是二維連續型隨機變量，它具有概率密度，則仍為連續性隨機變量其概率密度分別為又若x和y相互獨立，設（x，y）關于x，y的邊緣密度分別為則可化為 3設x，y是兩個相互獨立的隨機變量，它們的分布函數分別為由于不大于z等價于x和y都不大于z故有又由于x和y相互獨立，得到的分布函數為的分布函數為第四章 隨機變量的數字特征1數學期望定義 設離散型隨機變量x的分布律

10、為，k=1,2，若級數絕對收斂，則稱級數的和為隨機變量x的數學期望，記為，即精品. 設連續型隨機變量x的概率密度為，若積分絕對收斂，則稱積分的值為隨機變量x的數學期望，記為，即定理 設y是隨機變量x的函數y=(g是連續函數)（i）如果x是離散型隨機變量，它的分布律為，k=1,2，若絕對收斂則有（ii）如果x是連續型隨機變量，它的分概率密度為，若絕對收斂則有數學期望的幾個重要性質1設c是常數，則有2設x是隨機變量，c是常數，則有3設x,y是兩個隨機變量，則有；4設x，y是相互獨立的隨機變量，則有2方差定義 設x是一個隨機變量，若存在，則稱為x的方差，記為d（x）即d（x）=，在應用上還引入量，記

11、為，稱為標準差或均方差。方差的幾個重要性質1設c是常數，則有2設x是隨機變量，c是常數，則有，3設x,y是兩個隨機變量，則有特別，若x,y相互獨立，則有4的充要條件是x以概率1取常數，即切比雪夫不等式：設隨機變量x具有數學期望，則對于任意正數，不等式精品.成立3協方差及相關系數定義 量稱為隨機變量x與y的協方差為，即而稱為隨機變量x和y的相關系數對于任意兩個隨機變量x 和y，協方差具有下述性質12定理 1 2 的充要條件是，存在常數a,b使當0時，稱x和y不相關附：幾種常用的概率分布表分布參數分布律或概率密度數學期望方差兩點分布， 二項式分布，泊松分布幾何分布均勻分布，精品.指數分布正態分布第五章 大數定律與中心極限定理1 大數定律弱大數定理（辛欣大數定理） 設x1，x2是相互獨立，服從統一分布的隨機變量序列，并具有數學期望.作前n個變量的算術平均，則對于任意，有定義 設是一個隨機變量序列，a是一個常數，若對于任意正數，有，則稱序列依概率收斂于a，記為伯努利大數定理 設是n次獨立重復試驗中事件a發生的次數，p是事件a在每次試驗中發