2016年四川省宜賓市宜賓縣九年級（上）期中數學試卷 一、選擇題：（本大題共 8 小題，每小題 3 分，共 24 分） 1 若二次根式 有意義，則 x 的取值范圍是（ ） A x 1 B x 1 C x 1 D x 1 2 下列根式中，是最簡二次根式的是（ ） A B C D 3 已知 x=1 是關于 x 的一元二次方程 2x+a=0 的一個根，則 a 的值是（ ） A 2 B 2 C 1 D 1 4 一元二次方程 2x+m=0 總有實數根，則 m 應滿足的條件是（ ） A m 1 B m=1 C m 1 D m 1 5 設、是一元二次方程 x 1=0 的兩個根，則的值是（ ） A 2 B 1 C 2 D 1 6 在一幅長 80 50矩形風景畫的四周鑲上一條金色紙邊，制成一幅矩形掛圖，如果要使整個掛圖 的面積是 5000金色紙邊的寬為 么滿足的方程是（ ） A 30x 1400=0 B 130x 1400=0 C 5x 250=0 D 65x 250=0 7 已知，如圖，在 ， C，則下列等式成立的是（ ） A = B = C = D = 8 對于兩個不相等的實數 a、 b，我們規定符號 a， b表示 a、 b 中較大的數，如： ，4=4按照這個規定方程 x， x= 的解為（ ） A B C 或 D 或 1 二填空題（本大題共 8 小題，每小題 3 分，共 24 分） 9 化簡： = 10 計算：（ 2） 2014（ +2） 2015= 11若 m： n=5： 4，則 = 12三角形兩邊的長是 3 和 4，第三邊的長是方程 12x+35=0 的根，則該三角形的周長為 13 某超市一月份的營業額為 200 萬元，已知第一季度的總營業額共 1000 萬元如果平均每月增長率為 x，則由題意列方程應為 14 畢業之際，某 校九年級數學性趣小組的同學相約到同一家禮品店購買紀念品，每兩個同學都相互贈送一件禮品，禮品店共售出禮品 30 件，則該興趣小組的人數為 人 15 如圖所示，在四邊形 ， 果要使 么還要補充的一個條件是 （只要求寫出一個條件即可） 16 如圖， ， E， F， B= E D給出下列結論： C； F； 中正確的結論是 （填寫所有正確結論的序號） 三、解答題：本大題共 8 個題，共 72 分解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟 17（ 10 分）計算 （ 1） 2 +6 3 （ 2） （ ） 18（ 10 分）解方程： （ 1） 4x（ 1 x） =1 （ 2） x+1=0（公式法） 19（ 8 分）已知關于 x 的一元二次方程 m 2） x+ m 3=0 （ 1）求證：無論 m 取什么實數時，這個方程總有兩個不相等的實數根； （ 2）如果方程的兩個實數根為 2x1+x2=m+1，求 m 的值 20（ 8 分）如圖， E 是 邊 長線上一點，連 接 點 F在不添加輔助線的情況下，請你寫出圖中所有的相似三角形，并任選一對相似三角形給予證明 21（ 8 分）如圖，在 4 3 的正方形方格中， 頂點都在邊長為 1 的小正方形的頂點上 （ 1）填空： ， ； （ 2）判斷 否相似，并證明你的結論 22（ 8 分）已知： x=1 ， y=1+ ，求 x2+2x+2y 的值 23（ 10 分）某商場銷售一批名牌襯衫，平均每天可售出 20 件，每件盈利 50 元，為了擴大銷售，增加盈利，盡快減少庫存，商場決定采取適當的降價措施，經調查發現，如果每件襯衫每降價 10 元，商場平均每天可多售出 20 件 （ 1）若商場平均每天要盈利 1600 元，每件襯衫應降價多少元？ （ 2）怎樣定價能獲得最大利潤，最大利潤是多少？ 24（ 10 分）如圖 1 將矩形 疊，使得頂點 B 落在 上的 P 點處，已知折痕與邊 于點 O，連結 A （ 1）求證： （ 2）如圖 2，擦去折痕 段 結 點 M 在線段 （點 M 與點 P、 動點 N 在線段 延長線上，且 M，連結 點 F，作 P 于點 E探究：當點 M、 N 在移動過程中，線段 線段 何數量關系？并說明理由 2016年四川省宜賓市宜賓縣九年級（上）期中數學試卷 參考答案與試題解析 一、選擇題：（本大題共 8 小題，每小題 3 分，共 24 分） 1若二次根式 有意義，則 x 的取值范圍是（ ） A x 1 B x 1 C x 1 D x 1 【考點】 二次根式有意義的條件 【分析】 根據二次根式有意義的條件列出關于 x 的不等式，求出 x 的取值范圍即可 【解答】 解： 二次根式 有意義， x 1 0， x 1 故選 B 【點評】 本題考查的是二次根式有意義的條件，根據題意列出關于 x 的不等式是解答此題的關鍵 2 下列根式中，是最簡二次根式的是（ ） A B C D 【考點】 最簡二次根式 【分析】 根據最簡二次根式的定義，可得答案 【解答】 解： A、被開方數含開得盡的因數，故 A 錯誤； B、被開方數含開得盡的因數，故 B 錯誤； C、被開方數不含開的盡的因數或因式，被開方數不含分母，故 C 正確； D、被開方數不含分母，故 D 錯誤； 故選： C 【點評】 本題考查 了最簡二次根式，被開方數不含開的盡的因數或因式，被開方數不含分母 3已知 x=1 是關于 x 的一元二次方程 2x+a=0 的一個根，則 a 的值是（ ） A 2 B 2 C 1 D 1 【考點】 一元二次方程的解 【分析】 根據一元二次方程的解的定義，將 x=1 代入關于 x 的一元二次方程 2x+a=0，列出關于 a 的方程，通過解該方程求得 a 值即可 【解答】 解： x=1 是關于 x 的一元二次方程 2x+a=0 的一個根， x=1 滿足關于 x 的一元二次方程 2x+a=0， 2 12 1+a=0，即 1+a=0， 解得， a= 1； 故選 D 【點評】 本題考查了一元二次方程的解一元二次方程 bx+c=0（ a 0）的解均滿足該方程的解析式 4一元二次方程 2x+m=0 總有實數根，則 m 應滿足的條件是（ ） A m 1 B m=1 C m 1 D m 1 【考點】 根的判別式 【分析】 根據根的判別式，令 0，建立關于 m 的不等式，解答即可 【解答】 解： 方程 2x+m=0 總有實數根， 0， 即 4 4m 0， 4m 4， m 1 故選： D 【點評】 本題考查了根的判別式，一元 二次方程根的情況與判別式 的關系： （ 1） 0方程有兩個不相等的實數根； （ 2） =0方程有兩個相等的實數根； （ 3） 0方程沒有實數根 5設 、 是一元二次方程 x 1=0 的兩個根，則 的值是（ ） A 2 B 1 C 2 D 1 【考點】 根與系數的關系 【分析】 根據 、 是一元二次方程 x 1=0 的兩個根，由根與系數的關系可以求得 的值，本題得以解決 【解答】 解： 、 是一元二次方程 x 1=0 的兩個根， = = ， 故選 D 【點評】 本題考查根與系數的關系，解題的關鍵是明確兩根之積等于常數項與二次項系數的比值 6在一幅長 80 50矩形風景畫的四周鑲上一條金色紙邊，制成一幅矩形掛圖，如果要使整個掛圖的面積是 5000金色紙邊的寬為 么滿足的方程是（ ） A 30x 1400=0 B 130x 1400=0 C 5x 250=0 D 65x 250=0 【考點】 由實際問題抽象出一元二次方程 【分析】 掛圖長為（ 80+2x） 為（ 50+2x） 據整個掛圖的面積是 5000長 寬 =5000，列方程進行化簡即可 【解答】 解：掛圖長為（ 80+2x） 為（ 50+2x） 所以（ 80+2x）（ 50+2x） =5000， 即 460x+4000+100x=5000， 所以 460x 1000=0 即 5x 250=0 故選 C 【點評】 本題考查了一元二次方程的運用，運用面積列方程，展開時 注意符號易出錯 7 已知，如圖，在 ， C，則下列等式成立的是（ ） A = B = C = D = 【考點】 相似三角形的判定與性質 【分析】 先根據相似三角形的判定定理求出 根據其對應邊成比例解答即可 【解答】 解： 在 ， C， A= A， = 故選 C 【點評】 本題主要考查了相似三角形的判定與性質， 熟知有兩個角對應相等的三角形相似，相似三角形的對應邊的比相等是解答此題的關鍵 8對于兩個不相等的實數 a、 b，我們規定符號 a， b表示 a、 b 中較大的數，如： ，4=4按照這個規定方程 x， x= 的解為（ ） A B C 或 D 或 1 【考點】 分式方程的解 【分析】 分 x x 和 x x 兩種情況將所求方程變形，求出解即可 【解答】 解：當 x x，即 x 0 時，所求方程變形為 x= ， 去分母得： x+1=0，即（ x+1） 2=0， 解得： x1= 1， 經檢驗 x= 1 是分式方程的解； 當 x x，即 x 0 時，所求方程變形為 x= ， 去分母得： 2x 1=0， 代入公式得： x= =1 ， 解得： + ， （舍去）， 經檢驗 x=1+ 是分式方程的解， 綜上，所求方程的解為 1+ 或 1 故選 D 【點評】 此題考查了分式方程的解，弄清題中的新定義是解本題的關鍵 二填空題（本大題共 8 小題，每小題 3 分，共 24 分） 化簡： = 3 【考點】 算術平方根 【分析】 根據算術平方根的定義求出 即可 【解答】 解： =3 故答案為： 3 【點評】 此題主要考查了算術平方根的定義，是基礎題型，比較簡單 10 計算：（ 2） 2014（ +2） 2015= +2 【考點】 二次根式的混合運算 【分析】 先根據同底數冪的乘法進行變形，再由平方差公式進行計算即可 【解答】 解：原式 =（ 2） 2014（ +2） 2014（ +2） =（ 2）（ +2） 2014（ +2） = +2， 故答案為 +2 【點評】 本題考查了二次根式的混合運算以及同底數冪乘法的逆運算，掌握運算法則是解題的關鍵 11若 m： n=5： 4，則 = 【考點】 比例的性質 【分析】 由于 m： n=5： 4，于是可設 m=5k， n=4k，利用把 m=5k， n=4k 代入 中進行分式的混合運算即可 【解答】 解： m： n=5： 4， 可設 m=5k， n=4k， = = 故答案為 【點評】 本題考查了比例的性質：內項之積等于外項之積；合比性質；分比性質；合分比性質；等比性質 12 三角形兩邊的長是 3 和 4，第三邊的長是方程 12x+35=0 的根，則該三角形的周長為 12 【考點】 解一元二次方程 角形三邊關系 【分析】 先解一元二次方程，由于未說明兩根哪個是腰哪個是底，故需分情況討論，從而得到其周長 【解答】 解：解方程 12x+35=0， 得 ， ， 1 第三邊 7， 第三邊長為 5， 周長為 3+4+5=12 【點評】 此題是一元二次方程的解結合幾何圖形的性質的應用，注意分類討論 13 某超市一月份的營業額為 200 萬元，已知第一季度的總營業額共 1000 萬元如果平均每月增長率為 x，則由題意列方程應為 2001+（ 1+x） +（ 1+x） 2=1000 【考點】 由實際問題抽象出一元二次方程 【分析】 先得到二月份的營業額，三月份的營業額，等量關系為：一月份的營業額 +二月份的營業額 +三月份的營業額 =1000 萬元，把相關數值代入即可 【解答】 解： 一月份的營業額為 200 萬元，平均每月增長率為 x， 二月份的營業額為 200 （ 1+x）， 三月份的營業額為 200 （ 1+x） （ 1+x） =200 （ 1+x） 2， 可列方程為 200+200 （ 1+x） +200 （ 1+x） 2=1000， 即 2001+（ 1+x） +（ 1+x） 2=1000 故答案為： 2001+（ 1+x） +（ 1+x） 2=1000 【點評】 考查由實際問題抽象出一元二次方程中求平均變化率的方法若設變化前的量為 a，變化后的量為 b，平均變化率為 x，則經過兩次變化后的數量關系為 a（ 1 x） 2=b得到第一季度的營業額的等量關系是解決本題的關鍵 14 畢業之際，某校九年級數學性趣小組的同學相約到同一家禮品店購買紀念品，每兩個同學都相互贈送一件禮品，禮品店共售出禮品 30 件，則該興趣小組的人數為 6 人 【考點】 一元二次方程的應用 【分析】 易得每個同學都要送給其他同學，等量關系為：小組的人數 （小組人數 1） =30，把相關數值代入計算即可 【解答】 解：設該興趣小組的人數為 x 人 x（ x 1） =30， 解得 ， 5（不合題意，舍去）， 故答案是： 6 【點評】 此題考查一元二次方 程的應用；得到禮物總件數的等量關系是解決本題的關鍵 15 如圖所示，在四邊形 ， 果要使 么還要補充的一個條件是 B= D 或 （只要求寫出一個條件即可） 【考點】 相似三角形的判定 【分析】 本題主要根據平行推出角的等量關系，再根據對應邊的關系，利用兩三角形相似的判定定理，做題即可 【解答】 解： 當 B= D 或 C： 都可得相似 答案不唯一，如 B= D 或 C： 【點評】 此題考查了相似三角形的判定： 如果兩個三角形的三組對應邊的比相等，那么這兩個三角形相似； 如果兩個三角形的兩條對應邊的比相等，且夾角相等，那么這兩個三角形相似； 如果兩個三角形的兩個對應角相等，那么這兩個三角形相似平行于三角形一邊的直線截另兩邊或另兩邊的延長線所組成的三角形與原三角形相似 16如圖， ， E， F， B= E D給出下列結論： C； F； 中正確的結論是 （填寫所有正確結論的序號） 【考點】 相似三角形的判定；全等三角形的判定與性質 【分析】 根據 以證明 據兩角對應相等兩三角形相似可以證明 此不難得出結論 【解答】 解：在 ， ， 正確， F， C= 正確， E= B， 正確， 無法證明 F，故 錯誤 故答案為 【點評】 本題考查相似三角形的判定和性質、全等三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是熟練掌握相似三角形的判定和性質，全等三角形的判定和性質，屬于中考常考題型 三、解答題：本大題共 8 個題，共 72 分解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟 17（ 10 分）計算 （ 1） 2 +6 3 （ 2） （ ） 【考點】 二次根式的混合運算 【分析】 （ 1）先依次化簡為最簡二次根式，再合并； （ 2）把被開方數相乘除，得 ，再化成 ，得結果 【解答】 解：（ 1） 2 +6 3 ， =2 +6 3 4 ， =4 +3 12 ， = 5 ； （ 2） （ ） ， = ， = ， = 4 【點評】 本題是二次根式的混合運算，與有理數的混合運算一致，運算順序先乘方再乘除，最后加減，有括號的先算括號里面的；對于二次根式的乘除法，要先確定其符號，再相乘除；注意二次根式的運算結果要化為最簡二次根式 18（ 10 分）解方程： （ 1） 4x（ 1 x） =1 （ 2） x+1=0（公式法） 【考點】 解一元二次方程 【分析】 （ 1）先把方程化為一般式，然后利用公式法解方程； （ 2）先計算判別式的值，然后利用公式法 解方程 【解答】 解：（ 1） 44x+1=0， =（ 4） 2 4 4 1=0， x= ， 所以 x1=； （ 3） =32 4 1 1=5， x= ， 所以 ， 【點評】 本題考查了解一元二次方程公式法：用求根公式解 一元二次方程的方法是公式法 19（ 8 分）已知關于 x 的一元二次方程 m 2） x+ m 3=0 （ 1）求證：無論 m 取什么實數時，這個方程總有兩個不相等的實數根； （ 2）如果方程的兩個實數根為 2x1+x2=m+1，求 m 的值 【考點】 根與系數的關系；根的判別式 【分析】 （ 1）根據判別式 =（ m 3） 2+3 0，即可得到結果； （ 2）根據根與系數的關系，把兩根之和代入滿足的等式，得到 把 入方程可以求出 m 的值 【解答】 解 ：（ 1） =（ m 2） 2 4 （ m 3） =（ m 3） 2+3 0， 無論 m 取什么實數值，這個方程總有兩個不相等的實數根； （ 2）解： x1+x2=m 2， 2x1+x2= x1+=m+1， x1=m+1+2 m=3， 把 入方程有： 9 3（ m 2） + m 3=0 解得 m= 【點評】 本題考查了一元二次方程 bx+c=0（ a 0）的根的判別式 =4 0，方程有兩個不相等的實數根；當 =0，方程有兩個相等的實數根；當 0，方程沒有實數根也考查了一元二次方程的根與系數的關系 20（ 8 分）如圖， E 是 邊 長線上一點，連接 點 F在不添加輔助線的情況下，請你寫出圖中所有的相似三角形，并任選一對相似三角形給予證明 【考點】 相似三角形的判定；平行四邊形的性質 【分析】 根據平行線的性質和兩角對應相等的兩個三角形相似這一判定 定理可證明圖中相似三角形有： 【解答】 解：相似三角形有 3 分） 如： 在 ， 1= B， 2= 3（ 6 分） 7 分） 【點評】 考查了平行線的性質及相似三角形的判定定理 21（ 8 分） 如圖，在 4 3 的正方形方格中， 頂點都在邊長為 1 的小正方形 的頂點上 （ 1）填空： 135 ， 2 ； （ 2）判斷 否相似，并證明你的結論 【考點】 相似三角形的判定；勾股定理 【分析】 （ 1）先在 根據等腰直角三角形的性質求出 度數，再根據 可得出 度數；在 利用勾股定理即可求出 （ 2）利用格點三角形的知識求出 長度 ，繼而可作出判斷 【解答】 解：（ 1） 等腰直角三角形， 5， 0， 0+45=135； 在 ， ， ， = =2 故答案為： 135； 2 ； （ 2）相似理由如下： ， ， = = ， = = ， = ， 又 35， 【點評】 此題主要考查學生對勾股定理和相似三角形的判定的理解和掌握，解答此題的關鍵是認真觀察圖形，得出兩個三角形角和角，邊和邊的關系 22（ 8 分）已知： x=1 ， y=1+ ，求 x2+2x+2y 的值 【考點】 二次根式的化簡求值；因式分解的應用 【分析】 根據 x、 y 的值，先求出 x y 和 化簡原式，代入求值即可 【解答】 解： x=1 ， y=1+ ， x y=（ 1 ）（ 1+ ） = 2 ， 1 ）（ 1+ ） = 1， x2+2x+2y=（ x y） 2 2（ x y） +（ 2 ） 2 2 （ 2 ） +（ 1） =7+4 【點評】 本題考查了二次根式的化簡以及因式分解的應用，要熟練掌握平方差公式和完全平方公式 23（ 10 分）某商場銷售一批名牌襯衫，平均每天可售出 20 件，每件盈利 50 元，為了擴大銷售，增加盈利，盡快減少庫存，商場決定采取適當的降價措施，經調查發現，如果每件襯衫每降價 10 元，商場平均每天可多售出 20 件 （ 1）若商場平均每天要盈利 1600 元，每件襯衫應降價多少元？ （ 2）怎樣定價能獲得最大利潤，最大利潤是多少？ 【考點】 二次函數的應用