南京市2014屆高三年級第二次模擬考試 數 學 2014.03注意事項：1本試卷共4頁，包括填空題（第1題第14題）、解答題（第15題第20題）兩部分本試卷滿分為160分，考試時間為120分鐘2答題前，請務必將自己的姓名、學校、班級、學號寫在答題紙的密封線內試題的答案寫在答題紙上對應題目的答案空格內考試結束后，交回答題紙參考公式：柱體的體積公式：VSh，其中S為柱體的底面積，h為柱體的高圓柱的側面積公式：S側2Rh，其中R為圓柱的底面半徑，h為圓柱的高一、填空題（本大題共14小題，每小題5分，計70分. 不需寫出解答過程，請把答案寫在答題紙的指定位置上）1函數f(x)lnx的定義域為 2已知復數z12i，z2a2i(i為虛數單位，aR)若z1z2為實數，則a的值為 150 200 250 300 350 400 4500.005a0.0010.0040.003O成績/分(第3題圖)3某地區教育主管部門為了對該地區模擬考試成績進行分析，隨機抽取了150分到450分之間的1000名學生的成績，并根據這1000名學生的成績畫出樣本的頻率分布直方圖(如圖)，則成績在300，350)內的學生人數共有 k1開始輸出k結束S6 S1YN SS(k1)2 kk1(第6題圖)4盒中有3張分別標有1，2，3的卡片從盒中隨機抽取一張記下號碼后放回，再隨機抽取一張記下號碼，則兩次抽取的卡片號碼中至少有一個為偶數的概率為 5已知等差數列an的公差d不為0，且a1，a3，a7成等比數列，則的值為 6執行如圖所示的流程圖，則輸出的k的值為 xxyO22(第7題圖)7函數f(x)Asin(x)(A，為常數，A0，0，0)的圖象如下圖所示，則f()的值為 8在平面直角坐標系xOy中，雙曲線1(a0，b0)的兩條漸近線與拋物線y24x的準線相交于A，B兩點若AOB的面積為2，則雙曲線的離心率為 9表面積為12的圓柱，當其體積最大時，該圓柱的底面半徑與高的比為 10已知|1，|2，AOB，則與的夾角大小為 11在平面直角坐標系xOy中，過點P(5，3)作直線l與圓x2y24相交于A，B兩點，若OAOB，則直線l的斜率為 12已知f(x)是定義在R上的奇函數，當0x1時，f(x)x2，當x0時，f(x1)f(x)f(1)，且 若直線ykx與函數yf(x)的圖象恰有5個不同的公共點，則實數k的值為 13在ABC中，點D在邊BC上，且DC2BD，ABADAC3k1，則實數k的取值范圍為 14設函數f(x)axsinxcosx若函數f(x)的圖象上存在不同的兩點A，B，使得曲線yf(x)在點A，B處的切線互相垂直，則實數a的取值范圍為 一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，計70分.1(0，1 24 3300 4 52 64 71 8 9 1060 111或 1222 13(，) 141，1二、解答題（本大題共6小題，計90分.解答應寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟，請把答案寫在答題紙的指定區域內）15(本小題滿分14分)如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD為矩形，平面PAB平面ABCD，PAPB，PBCDEA(第15題圖) BPBC，E為PC的中點 （1）求證：AP平面BDE； （2）求證：BE平面PAC15證：（1）設ACBDO，連結OE因為ABCD為矩形，所以O是AC的中點因為E是PC中點，所以OEAP 4分因為AP平面BDE，OE平面BDE，所以AP平面BDE 6分（2）因為平面PAB平面ABCD，BCAB，平面PAB平面ABCDAB，所以BC平面PAB 8分因為AP平面PAB，所以BCPA因為PBPA，BCPBB，BC，PB平面PBC，所以PA平面PBC 12分因為BE平面PBC，所以PABE因為BPPC，且E為PC中點，所以BEPC因為PAPCP，PA，PC平面PAC，所以BE平面PAC 14分16(本小題滿分14分)在平面直角坐標系xOy中，角的頂點是坐標原點，始邊為x軸的正半軸，終邊與單位圓O交于點A(x1 ，y1 )，(，)將角終邊繞原點按逆時針方向旋轉，交單位圓于點B(x2，y2)ABDOCxy(第16題圖)（1）若x1，求x2；（2）過A，B作x軸的垂線，垂足分別為C，D，記AOC及 BOD的面積分別為S1，S2，且S1S2，求tan的值16解：（1）解法一：因為x1，y10，所以y1 所以sin，cos 2分所以x2cos()coscossinsin 6分 解法二：因為x1，y10，所以y1A(，)，則(，)，2分 (x2，y2)， 因為|cosAOB，所以x2y2 4分 又x22y221，聯立消去y2得50 x2230x270 解得x2或，又x20，所以x2 6分 解法三：因為x1，y10，所以y1 因此A(，)，所以tan2分 所以tan()7，所以直線OB的方程為y7x 4分 由得x，又x20，所以x2 6分（2）S1sincossin2 8分因為(，)，所以(，) 所以S2sin()cos()sin(2)cos210分 因為S1S2，所以sin2cos2，即tan2 12分 所以，解得tan2或tan 因為(，)，所以tan214分17(本小題滿分14分)APMNBC(第17題圖)如圖，經過村莊A有兩條夾角為60的公路AB，AC，根據規劃擬在兩條公路之間的區域內建一工廠P，分別在兩條公路邊上建兩個倉庫M、N (異于村莊A)，要求PMPNMN2(單位：千米)如何設計，使得工廠產生的噪聲對居民的影響最小(即工廠與村莊的距離最遠)解法一：設AMN，在AMN中，因為MN2，所以AMsin(120) 2分在APM中，cosAMPcos(60) 6分AP2AM2MP22 AMMPcosAMPsin2(120)422 sin(120) cos(60) 8分sin2(60) sin(60) cos(60)41cos (2120) sin(2120)4sin(2120)cos (2120)sin(2150)，(0，120) 12分 當且僅當2150270，即60時，AP2取得最大值12，即AP取得最大值2答：設計AMN為60時，工廠產生的噪聲對居民的影響最小14分APMNBC第17題圖D解法二(構造直角三角形)：設PMD，在PMD中，PM2，PD2sin，MD2cos 2分在AMN中，ANMPMD，AMsin，ADsin2cos，(時，結論也正確)6分AP2AD2PD2(sin2cos)2(2sin)2sin2sincos4cos24sin2 8分sin24sin2cos2sin(2)，(0，) 12分當且僅當2，即時，AP2取得最大值12，即AP取得最大值2 此時AMAN2，PAB30 14分解法三：設AMx，ANy，AMN在AMN中，因為MN2，MAN60，所以MN2AM2AN22 AMANcosMAN，即x2y22xycos60x2y2xy4 2分因為，即，所以siny，cos 6分cosAMPcos(60)cossiny8分在AMP中，AP2AM2PM22 AMPMcosAMP，即AP2x2422xx24x(x2y)42xy12分因為x2y2xy4，4xyx2y22xy，即xy4所以AP212，即AP2當且僅當xy2時，AP取得最大值2 答：設計AMAN2 km時，工廠產生的噪聲對居民的影響最小14分 解法四(坐標法)：以AB所在的直線為x軸，A為坐標原點，建立直角坐標系設M(x1，0)，N(x2，x2)，P(x0，y0)MN2，(x1x2)23x4 2分MN的中點K(，x2) MNP為正三角形，且MN2PK，PKMNPK2(x0)2(y0x2)23， kMNkPK1，即1， 6分 y0x2(x0)，(y0x2)2(x0)2(1)(x0)23，即(x0)23，(x0)2xx00 x0x2，x0x12x2，y0x1 8分AP2xy(2x2x1)2xx4x2x1x244x1x244212， 12分即AP2 答：設計AMAN2 km時，工廠產生的噪聲對居民的影響最小14分解法五(變換法)：以AB所在的直線為x軸，A為坐標原點，建立直角坐標系APMNBCxy設M(x1，0)，N(x2，x2)，P(x0，y0)MN2，(x1x2)23x4即x4x42x1x242x1x24x1x2，即x1x22 4分MNP為正三角形，且MN2PK，PKMN順時針方向旋轉60后得到(x0x1，y0)，(x2x1，x2) ，即x0x1(x2x1)x2，y0(x2x1)x2x02x2x1，y0x1 8分AP2xy(2x2x1)2xx4x2x1x2 44x1x244212， 12分即AP2 答：設計AMAN2 km時，工廠產生的噪聲對居民的影響最小14分APMNBCFE解法六(幾何法)：由運動的相對性，可使PMN不動，點A在運動由于MAN60，點A在以MN為弦的一段圓弧(優弧)上，4分設圓弧所在的圓的圓心為F，半徑為R，由圖形的幾何性質知：AP的最大值為PFR 8分在AMN中，由正弦定理知：2R，R， 10分FMFNR，又PMPN，PF是線段MN的垂直平分線設PF與MN交于E，則FE2FM2ME2R212即FE，又PE 12PF，AP的最大值為PFR2 答：設計AMAN2 km時，工廠產生的噪聲對居民的影響最小14分18 (本小題滿分16分)在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓C1(ab0)的左、右焦點分別為F1，F2，焦距為2，一條準線方程為x2P為橢圓C上一點，直線PF1交橢圓C于另一點Q（1）求橢圓C的方程；（2）若點P的坐標為(0，b)，求過P，Q，F2三點的圓的方程；（3）若，且，2，求的最大值（1）解：由題意得 解得c1，a22，所以b2a2c21 所以橢圓的方程為y21 2分 （2）因為P(0，1)，F1(1，0)，所以PF1的方程為xy10由 解得或所以點Q的坐標為(，) 4分解法一：因為kPFkPF1，所以PQF2為直角三角形 6分因為QF2的中點為(，)，QF2，所以圓的方程為(x)2(y)2 8分解法二：設過P，Q，F2三點的圓為x2y2DxEyF0，則 解得 所以圓的方程為x2y2xy0 8分（3）解法一：設P(x1，y1)，Q(x2，y2)，則(x11，y1)，(1x2，y2)因為，所以即所以解得x2 12分所以x1x2y1y2x2(1x2)yx22(1)x2()2(1)() 14分因為，2，所以22，當且僅當，即1時，取等號所以，即最大值為 16分解法二：當PQ斜率不存在時， 在y21中，令x1得y 所以，此時 2 當PQ斜率存在時，設為k，則PQ的方程是yk(x1)， 由得(12k2)x24k2x2k220， 韋達定理 4設P(x1，y1)，Q(x2，y2) ， 則 的最大值為，此時 819(本小題滿分16分)已知函數f(x)ex，a，bR，且a0（1）若a2，b1，求函數f(x)的極值；（2）設g(x)a(x1)exf(x) 當a1時，對任意x(0，)，都有g(x)1成立，求b的最大值； 設g(x)為g(x)的導函數若存在x1，使g(x)g(x)0成立，求的取值范圍解：（1）當a2，b1時，f (x)(2)ex，定義域為(，0)(0，)所以f (x)ex 2分令f (x)0，得x11，x2，列表x(，1)1(1，0)(0，)(，)f (x)f (x)極大值極小值由表知f (x)的極大值是f (1)e1，f (x)的極小值是f ()44分（2） 因為g (x)(axa)exf (x)(ax2a)ex，當a1時，g (x)(x2)ex因為g (x)1在x（0，）上恒成立，所以bx22x在x（0，）上恒成立 8分記h(x)x22x（x0），則h(x)當0x1時，h(x)0，h(x)在（0，1）上是減函數；當x1時，h(x)0，h(x)在（1，）上是增函數所以h(x)minh(1)1e1 所以b的最大值為1e1 10分解法二：因為g (x)(axa)exf (x)(ax2a)ex，當a1時，g (x)(x2)ex因為g (x)1在x（0，）上恒成立，所以g(2)e20，因此b0 6分g(x)(1)ex(x2)ex因為b0，所以：當0x1時，g(x)0，g(x)在（0，1）上是減函數；當x1時，g(x)0，g(x)在（1，）上是增函數所以g(x)ming(1)(1b)e1 8分因為g (x)1在x（0，）上恒成立，所以(1b)e11，解得b1e1因此b的最大值為1e1 10分解法一：因為g (x)(ax2a)ex，所以g (x)(axa)ex由g (x)g (x)0，得(ax2a)ex(axa)ex0，整理得2ax33ax22bxb0存在x1，使g (x)g (x)0成立，等價于存在x1，2ax33ax22bxb0成立 12分因為a0，所以設u(x)（x1），則u(x)因為x1，u(x)0恒成立，所以u(x)在（1，）是增函數，所以u(x)u(1)1，所以1，即的取值范圍為（1，） 16分解法二：因為g (x)(ax2a)ex，所以g (x)(axa)ex由g (x)g (x)0，得(ax2a)ex(axa)ex0，整理得2ax33ax22bxb0存在x1，使g (x)g (x)0成立，等價于存在x1，2ax33ax22bxb0成立 12分設u(x)2ax33ax22bxb(x1)u(x)6ax26ax2b6ax(x1)2b-2b 當b0時，u(x) 0此時u(x)在1，)上單調遞增，因此u(x)u(1)ab因為存在x1，2ax33ax22bxb0成立所以只要ab0即可，此時10 13分當b0時，令x01，得u(x0)b0，又u(1)ab0于是u(x)0，在(1，x0)上必有零點即存在x1，2ax33ax22bxb0成立，此時0 15分綜上有的取值范圍為（1，） 16分20(本小題滿分16分)已知數列an的各項都為正數，且對任意nN*，a2n1，a2n，a2n1成等差數列，a2n，a2n1，a2n2成等比數列（1）若a21，a53，求a1的值；（2）設a1a2，求證：對任意nN*，且n2，都有解：（1）解法一：因為a3，a4，a5成等差數列，設公差為d，則a332d，a43d因為a2，a3，a4成等比數列，所以a2 3分因為a21，所以1，解得d2，或d因為an0，所以d 因為a1，a2，a3成等差數列，所以a12a2a32(32d)5分解法二：因為a1，a2，a3成等差數列，a2，a3，a4成等比數列，a3，a4，a5成等差數列，則，3分則，解得或（舍），所以。5分解法三：因為a1，a2，a3成等差數列，則，因為a2，a3，a4成等比數列，則3分因為a3，a4，a5成等差數列，則，則解得：或；當時，（與矛盾，故舍去），所以5分（注：沒有舍去一解，扣1分）（2）證法一：因為a2n1，a2n，a2n1成等差數列，a2n，a2n1，a2n2成等比數列，所以2a2na2n1a2n1， aa2na2n2；所以aa2n2a2n，n2所以2a2n因為an0，所以2 7分即數列是等差數列 所以(n1)()由a1，a2及a2n1，a2n，a2n1是等差數列，a2n，a2n1，a2n2是等比數列，可得a48分 所以(n1)()所以a2n10分所以a2n2 從而a2n1所以a2n112分 當n2m，mN*時， 0 14分當n2m1，mN*，m2時， 0 綜上，對一切nN*，n2，有 16分證法二：若n為奇數且n3時，則an，an1，an2成等差數列因為0，所以9分若n為偶數且n2時，則an，an1，an2成等比數列，所以11分由可知，對任意n2，nN*， 13分又因為，因為a1a2，所以0，即15分綜上，16分南京市2014屆高三年級第二次模擬考試 數學附加題 2014.03注意事項：1附加題供選修物理的考生使用2本試卷共40分，考試時間30分鐘3答題前，考生務必將自己的姓名、學校、班級、學號寫在答題紙的密封線內試題的答案寫在答題紙上對應題目的答案空格內考試結束后，交回答題紙21【選做題】在A、B、C、D四小題中只能選做2題，每小題10分，共計20分請在答卷卡指定區域內作答解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟A選修41：幾何證明選講如圖，ABC為圓的內接三角形，ABAC，BD為圓的弦，且BDAC過點A作圓的切線與AEBCFD第21題A圖DB的延長線交于點E，AD與BC交于點F （1）求證：四邊形ACBE為平行四邊形； （2）若AE6，BD5，求線段CF的長.A選修41：幾何證明選講解：（1）因為AE與圓相切于點A，所以BAEACB因為ABAC，所以ABCACB所以ABCBAE所以AEBC因為BDAC，所以四邊形ACBE為平行四邊形4分（2）因為AE與圓相切于點A，所以AE2EB(EBBD)，即62EB(EB5)，解得BE4根據（1）有ACBE4，BCAE6設CFx，由BDAC，得，即，解得x，即CF10分B選修42：矩陣與變換 已知矩陣A的一個特征值為2，其對應的一個特征向量為 （1）求矩陣A； （2）若A，求x，y的值解：（1）由題意，得 2，即 解得a2，b4所以A 5分 （2）解法一：A，即 ， 所以 8分解得 10分解法二：因為A，所以A1 7分 因為A，所以A1 所以 10分C選修44：坐標系與參數方程在極坐標系中，求曲線r2cos關于直線(rR)對稱的曲線的極坐標方程解法一：以極點為坐標原點，極軸為x軸建立直角坐標系，則曲線r2cos的直角坐標方程為 (x1)2y21，且圓心C為(1，0)4分直線的直角坐標方程為yx，因為圓心C(1，0)關于yx的對稱點為(0，1)，所以圓心C關于yx的對稱曲線為x2(y1)21 8分所以曲線r2cos關于直線(rR)對稱的曲線的極坐標方程為r2sin10分解法二：設曲線r2cos上任意一點為(r，)，其關于直線對稱點為(r，)，則 6分將(r，)代入r2cos，得r2cos()，即r2sin所以曲線r2cos關于直線(rR)對稱的曲線的極坐標方程為r2sin10分D選修45：不等式選講已知x，yR，且|xy|，|xy|，求證：|x5y|1證： 因為|x5y|3(xy)2(xy)| 5分由絕對值不等式性質，得|x5y|3(xy)2(xy)|3(xy)|2(xy)|3|xy|2|xy|321即|x5y|1 10分【必做題】第22題、第23題，每題10分，共計20分請在答卷卡指定區域內作答解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟22（本小題滿分10分）某中學有4位學生申請A，B，C三所大學的自主招生若每位學生只能申請其中一所大學，且申請其中任何一所大學是等可能的（1）求恰有2人申請A大學的概率；（2）求被申請大學的個數X的概率分布列與數學期望E(X)22（本小題滿分10分）解（1）記“恰有2人申請A大學”為事件A， P(A) 答：恰有2人申請A大學的概率為 4分（2）X的所有可能值為1，2，3P(X1)，P(X2)，P(X3)X的概率分布列為：X123P所以X的數學期望E(X)123 10分23（本小題滿分10分） 設f(n)是定義在N*上的增函數，f(4)5，且滿足：任意nN*，f(n)Z；任意m，nN*，有f(m)f(n)f(mn)f(mn1)（1）求f(1)，f(2)，f(3)的值；（2）求f(n)的表達式23解：（1）因為f(1)f(4)f(4)f(4)，所以5 f(1)10，則f(1)21分 因為f(n)是單調增函數， 所以2f(1)f(2)f(3)f(4)5 因為f(n)Z，所以f(2)3，f(3)4 3分（2）解：由（1）可猜想f (n)n+1 證明：因為f (n)單調遞增，所以f (n+1)f (n)，又f(n)Z， 所以f (n+1)f (n)+1 首先證明：f (n)n+1 因為f (1)2，所以n1時，命題成立 假設n=k(