,9.1加法原理和乘法原理,9.1加法原理和乘法原理,問題1.從甲地到乙地，可以乘火車，也可以乘汽車，還可以乘輪船。一天中，火車有4班,汽車有2班，輪船有3班。那么一天中乘坐這些交通工具從甲地到乙地共有多少種不同的走法?,分析:從甲地到乙地有3類方法,第一類方法,乘火車，有4種方法;第二類方法,乘汽車，有2種方法;第三類方法,乘輪船,有3種方法;所以從甲地到乙地共有4+2+3=9種方法。,9.1加法原理和乘法原理,2.如圖,由A村去B村的道路有3條，由B村去C村的道路有2條。從A村經B村去C村，共有多少種不同的走法?,A村,B村,C村,北,南,中,北,南,分析:從A村經B村去C村有2步,第一步,由A村去B村有3種方法,第二步,由B村去C村有3種方法,所以從A村經B村去C村共有32=6種不同的方法。,9.1加法原理和乘法原理,加法原理做一件事情，完成它可以有n類辦法,在第一類辦法中有m1種不同的方法,在第二類辦法中有m2種不同的方法，在第n類辦法中有mn種不同的方法。那么完成這件事共有N=m1+m2+mn種不同的方法。,乘法原理做一件事情，完成它需要分成n個步驟，做第一步有m1種不同的方法，做第二步有m2種不同的方法，做第n步有mn種不同的方法，那么完成這件事有N=m1m2mn種不同的方法。,9.1加法原理和乘法原理,例題1.某班級有男三好學生5人,女三好學生4人。(1)從中任選一人去領獎,有多少種不同的選法？(2)從中任選男、女三好學生各一人去參加座談會,有多少種不同的選法？,分析:(1)完成從三好學生中任選一人去領獎這件事,共有2類辦法,第一類辦法,從男三好學生中任選一人,共有m1=5種不同的方法;第二類辦法,從女三好學生中任選一人,共有m2=4種不同的方法;所以,根據加法原理,得到不同選法種數共有N=5+4=9種。,9.1加法原理和乘法原理,例題1.某班級有男三好學生5人,女三好學生4人。(1)從中任選一人去領獎,有多少種不同的選法？(2)從中任選男、女三好學生各一人去參加座談會,有多少種不同的選法？,分析:,(2)完成從三好學生中任選男、女各一人去參加座談會這件事,需分2步完成,第一步,選一名男三好學生,有m1=5種方法;第二步,選一名女三好學生,有m2=4種方法;所以,根據乘法原理,得到不同選法種數共有N=54=20種。,點評:解題的關鍵是從總體上看做這件事情是“分類完成”,還是“分步完成”。“分類完成”用“加法原理”;“分步完成”用“乘法原理”。,9.1加法原理和乘法原理,2.在所有的兩位數中,個位數字大于十位數字的兩位數共有多少個？,分析1:按個位數字是2,3,4,5,6,7,8,9分成8類,在每一類中滿足條件的兩位數分別是1個,2個,3個,4個,5個,6個,7個,8個.則根據加法原理共有1+2+3+4+5+6+7+8=36(個).,分析2:按十位數字是1,2,3,4,5,6,7,8分成8類,在每一類中滿足條件的兩位數分別是8個,7個,6個,5個,4個,3個,2個,1個.則根據加法原理共有8+7+6+5+4+3+2+1=36(個),9.1加法原理和乘法原理,3.一個三位密碼鎖,各位上數字由0,1,2,3,4,5,6,7,8,9十個數字組成,可以設置多少種三位數的密碼(各位上的數字允許重復)？首位數字不為0的密碼數是多少？首位數字是0的密碼數又是多少？,分析:按密碼位數,從左到右依次設置第一位、第二位、第三位,需分為三步完成;第一步,m1=10;第二步,m2=10;第三步,m2=10.根據乘法原理,共可以設置N=101010=103種三位數的密碼。,答:首位數字不為0的密碼數是N=91010=9102種,首位數字是0的密碼數是N=11010=102種。由此可以看出,首位數字不為0的密碼數與首位數字是0的密碼數之和等于密碼總數。,9.1加法原理和乘法原理,3.一個三位密碼鎖,各位上數字由0,1,2,3,4,5,6,7,8,9十個數字組成,可以設置多少種三位數的密碼(各位上的數字允許重復)？首位數字不為0的密碼數是多少？首位數字是0的密碼數又是多少？,問:若設置四位、五位、六位、十位等密碼,密碼數分別有多少種？,答:它們的密碼種數依次是104,105,106,種。,9.1加法原理和乘法原理,點評:加法原理中的“分類”要全面,不能遺漏;但也不能重復、交叉;“類”與“類之間是并列的、互斥的、獨立的,也就是說,完成一件事情,每次只能選擇其中的一類辦法中的某一種方法。若完成某件事情有n類辦法,即它們兩兩的交為空集,n類的并為全集。,乘法原理中的“分步”程序要正確。“步”與“步”之間是連續的,不間斷的,缺一不可;但也不能重復、交叉;若完成某件事情需n步,則必須且只需依次完成這n個步驟后,這件事情才算完成。,在運用“加法原理、乘法原理”處理具體應用題時,除要弄清是“分類”還是“分步”外,還要搞清楚“分類”或“分步”的具體標準。在“分類”或“分步”過程中,標準必須一致,才能保證不重復、不遺漏。,9.1加法原理和乘法原理,課堂練習1.如圖,要給地圖A、B、C、D四個區域分別涂上3種不同顏色中的某一種,允許同一種顏色使用多次,但相鄰區域必須涂不同的顏色,不同的涂色方案有多少種？,9.1加法原理和乘法原理,課堂練習1.如圖,要給地圖A、B、C、D四個區域分別涂上3種不同顏色中的某一種,允許同一種顏色使用多次,但相鄰區域必須涂不同的顏色,不同的涂色方案有多少種？,解:按地圖A、B、C、D四個區域依次分四步完成,第一步,m1=3種,第二步,m2=2種,第三步,m3=1種,第四步,m4=1種,所以根據乘法原理,得到不同的涂色方案種數共有N=3211=6種。,9.1加法原理和乘法原理,課堂練習1.如圖,要給地圖A、B、C、D四個區域分別涂上3種不同顏色中的某一種,允許同一種顏色使用多次,但相鄰區域必須涂不同的顏色,不同的涂色方案有多少種？,問:若用2色、3色、4色、5色等,結果又怎樣呢？,答:它們的涂色方案種數分別是0,4322=48,5433=180種等。,2.如圖,該電路,從A到B共有多少條不同的線路可通電？,A,B,9.1加法原理和乘法原理,解:從總體上看由A到B的通電線路可分三類,第一類,m1=3條第二類,m2=1條第三類,m3=22=4,條所以,根據加法原理,從A到B共有N=3+1+4=8條不同的線路可通電。,當然,也可以把并聯的4個看成一類,這樣也可分2類求解。,.,A,B,A,B,m1,m1,m2,m2,mn,mn,點評:我們可以把加法原理看成“并聯電路”;乘法原理看成“串聯電路”。如圖:,9.1加法原理和乘法原理,3.如圖,一螞蟻沿著長方體的棱,從的一個頂點爬到相對的另一個頂點的最近路線共有多少條？點擊請看動畫,9.1加法原理和乘法原理,解:如圖,從總體上看,如,螞蟻從頂點A爬到頂點C1有三類方法,從局部上看每類又需兩步完成,所以,第一類,m1=12=2條第二類,m2=12=2條第三類,m3=12=2條所以,根據加法原理,從頂點A到頂點C1最近路線共有N=2+2+2=6條。,9.1加法原理和乘法原理,4.如圖,從甲地到乙地有2條路可通,從乙地到丙地有3條路可通;從甲地到丁地有4條路可通,從丁地到丙地有2條路可通。從甲地到丙地共有多少種不同的走法？,甲地,乙地,丙地,丁地,解:從總體上看,由甲到丙有兩類不同的走法,第一類,由甲經乙去丙,又需分兩步,所以m1=23=6種不同的走法;第二類,由甲經丁去丙,也需分兩步,所以m2=42=8種不同的走法;所以從甲地到丙地共有N=6+8=14種不同的走法。,9.1加法原理和乘法原理,請同學們回答下面的問題:,1.本節課學習了那些主要內容？,答:加法原理和乘法原理。,2.加法原理和乘法原理的共同點是什么？不同點什么？,答:共同點是,它們都是研究完成一件事情,共有多少種不同的方法。不同點是,它們研究完成一件事情的方式不同,加法原理是“分類完成”,即任何一類辦法中的任何一個方法都能完成這件事。乘法原理是“分步完成”,即這些方法需要分步,各個步驟順次相依,且每一步都完成了,才能完成這件事情。這也是本節課的重點。,9.1加法原理和乘法原理,請同學們回答下面的問題:,3.何時用加法原理、乘法原理里呢?,答:完成一件事情有n類方法,