定積分不等式證明方法一 柯西不等式方法 利用柯西不等式證明的問題經常含有特殊的形態，比如涉及兩個積分項相乘，或者含有函數平方、平方根的積分。柯西不等式 設在上連續，則有等號成立的充分必要條件是存在常數使得或者。注意有些問題（不一定在不等式證明中）會涉及到等號成立的條件。例1 設在上連續，證明。證明 在柯西不等式中設，即證。例2 設在上連續，且恒正，證明證明 在柯西不等式中設，取函數，可證。例3 設在上具有連續導數，如果，求證其中為在上最小值，。證明 在柯西不等式中，分別設函數為，有等式中，這是由推廣積分中值定理得到：設是上恒大于等于零的連續函數，如果在上連續，則存在使得。例4 在上具有連續導數，如果，求證證明 因為，所以由積分可加性，有兩邊取定積分，得 。例5 設在上連續，且，證明。證明 左邊不等式由柯西不等式得。 由條件，有，所以得。例6 設為上連續周期函數，周期為1，如果滿足：，且，求證。以及取等號的條件。證明 由條件，有利用離散柯西不等式，有。且取等式充分必要條件是：，即。所以。特別當時，有根據周期性，以及，有，所以取等號充分必要條件是。注 本題并不是利用連續型柯西不等式方法證明結論，而是利用離散型柯西不等式方法證明結論，但問題是在利用柯西不等式時采用了“一般人”想不到的“技巧”，這種技巧并不明顯。確實柯西不等式形式上是簡潔的，但對于什么樣不等式，我們會想到采用柯西不等式來證明呢？這才是問題的所在，回答它并不容易。當然這地方可以避免使用離散型柯西不等式證明：，而是利用導數方法證明。二 常數變異法 將區間某端點看成變量（或者轉換為變量），然后利用上限函數求導。此類定積分不等式問題中，通常含有某些函數滿足連續、單調條件，此時可以通過將上限或下限涉及到的常數符號，在整個不等式中換成與變量積分變量無關的變量，然后作輔助函數，再通過求導對輔助函數的單調性進行研究。例1設在上連續，且單調增加，證明分析 將定積分不等式視為數值不等式，可利用相應的函數不等式的證明方法證明，將要證的不等式兩端做差，并將上限換成，作輔助函數如下如果證明，即證得原命題。證明 對求導，得由于在上單調增加，且因為，所以有，再根據定積分性質，有。由此知在上單調增加，則，得，得證。例2 設在上連續，且單調增加，證明 存在使得分析 假設結論成立，則有，而由上例知道，此不等式成立。再由，且單調增加，知在上滿足，則由推廣積分中值定理有使得，如此得即可證明結論。例3 設在上有連續導數，且求證證明 設輔助函數則。設，則因為，所以嚴格單調遞增，且，所以。又因為，所以得，由此得：所以有，得，即得。注 當時，此題為94北方交通大學數學競賽試題，美國數學競賽試題。例 4 設在上連續，如果對于任意在上有一階連續導數，且在點取值為零的函數，都滿足，求證 可導，且。證明 設，則有由條件得下證，在上與恒等。采用反證法，如果存在，使得（同理可證情況），則由連續性有，存在，使得在(或者，或者，下面僅對第一種情況說明)且在此區間上。構造函數滿足：在取常值，在上取零，在內單調遞增，則在上有。由此由定積分性質得矛盾。所以得在上與恒等，即證得題中命題。三 微分中值定理方法 當題目條件含有一階以上連續導數時，可考慮微分中值定理證明方法。例1（前蘇聯競賽題）設在上有一階連續導數，求證其中為在上的最大值。證明 利用拉格朗日中值定理得：所以有則由定積分性質得 。習題 1. 設在上有一階連續導數，求證其中為在上的最大值。2.（1985陜西省高校數學競賽試題）設在上有一階連續導數，滿足，。求證。解 由已知條件有所以有與由此.與，得證。3.（前蘇聯競賽試題） 在區間是否存在函數使其有一階連續導數，且滿足：， ，。解 利用題2，有 如果存在，使得，則，矛盾，所以，；同理，。但此時在處不可導，矛盾。由此不存在這樣函數。4. 在區間是否存在函數使其有一階連續導數，且滿足：， ，。5. 設在上存在連續的階導數，且有，則存在使得。是否存在函數使其有一階連續導數，且滿足：， ，。四 凹凸性利用 當題目條件給出二階導數符號時，可考慮函數凹凸性方法例1 設在上有二階連續導數，且在上有，求證證明 因為在上有，所以函數為凹函數，即對于任意有所以有 。五 重積分法對含有形式的不等式可考慮將轉化為形式。然后再利用相關性質進行證明。例1 設為上的單調增加的連續函數，如果，證明 證明 將不等式通分變形為轉化為分次積分同理有將所得兩式相加有由已知條件，得，即得，所以原不等式成立。例2 （柯西不等式） 設在上連續，則有證明 因為所以有。例3（98