現代控制理論基礎,1,3線性控制系統的能控性和能觀測性,3.1能控性和能觀測性的概念3.2連續時間線性定常系統的能控性3.3連續時間線性定常系統的能觀測性3.4離散時間線性定常系統的能控性和能觀測性3.5連續時間線性時變系統的能控性和能觀測性3.6線性系統能控性與能觀測性的對偶關系3.7能控標準形和能觀測性標準形3.8傳遞函數中零極點對消與狀態能控性和能觀測性的關系3.9線性系統結構按能控性和能觀測性的分解,現代控制理論基礎,2,3.1能控性和能觀測性的概念,能控性已知系統的當前時刻及其狀態，研究是否存在一個容許控制，使得系統在該控制的作用下在有限時間內到達希望的特定狀態。,能觀測性已知系統及其在某時間段上的輸出，研究可否依據這一時間段上的輸出確定系統這一時間段上的狀態。,能控性和能觀測性是現代控制理論中兩個基礎性概念，由卡爾曼（R.E.Kalman）于1960年首次提出。,u(t)能否引起x(t)的變化？,y(t)能否反映x(t)的變化？,現代控制理論基礎,3,3.1能控性和能觀測性的概念,一個RC網絡。圖中RC網絡的輸入端是電流源i，輸出端開路。取電容C1和C2上的電壓v1和v2為該系統的兩個狀態變量。,v1是能控的,v2是不能控的,V2是能觀測的,v1是不能觀測的,現代控制理論基礎,4,3.1能控性和能觀測性的概念,在最優控制問題中，其任務是尋求輸入u(t)使狀態軌跡達到最優，則要求狀態能控。,但狀態x(t)的值通常是難以直接測量的，往往需要從測得的輸出y(t)中估計出來。,現代控制理論基礎,5,3.1能控性和能觀測性的概念,例分析如下系統的能控性和能觀測性,解將其表示為標量方程組的形式,表明系統的狀態是不能控和不能觀測的。,輸入u不能控制狀態變量x1，故x1是不能控的,輸出y不能反映狀態變量x2，故x2是不能觀測的,現代控制理論基礎,6,3.1能控性和能觀測性的概念,例分析如下系統的能控性和能觀測性,解將其表示為標量方程組的形式,實際上，系統的狀態既不是完全能控的，也不是完全能觀測的。,所有狀態變量都是能控和能觀測的？,現代控制理論基礎,7,3.2連續時間線性定常系統的能控性,如果存在一個分段連續的輸入u(t)，能在有限時間區間t0,tf內使得系統的某一初始狀態x(t0)轉移到指定的任一終端狀態x(tf)，則稱初始狀態x(t0)是能控的。若系統的所有狀態都是能控的，則稱此系統是狀態完全能控的，或簡稱是能控的。,狀態平面中點P能在u(t)作用下被驅動到任一指定狀態P1,P2,Pn，則點P是能控的狀態。假如“能控狀態”充滿整個狀態空間,則該系統是狀態完全能控的。由此可看出，系統中某一狀態能控和系統狀態完全能控在含義上是不同的。,3.2.1狀態能控性定義,定義對于連續時間線性定常系統,現代控制理論基礎,8,3.2連續時間線性定常系統的能控性,能控性和能達性問題,(1)能控性定義：對于給定連續時間線性定常系統,若存在一個分段連續的輸入u(t)，能在有限時間區間t0,tf內，將系統從任一初始狀態x(t0)轉移到原點，即x(tf)0，則稱系統是狀態完全能控的。,(2)能達性定義：對于給定連續時間線性定常系統,若存在一個分段連續的輸入u(t)，能在有限時間區間t0,tf內，將狀態x(t)從原點轉移到任一指定的終端（目標）狀態x(tf)，則稱系統是能達的。,對線性定常系統，能控性和能達性是完全等價的。,簡記為,現代控制理論基礎,9,3.2連續時間線性定常系統的能控性,3.2.2狀態能控性的判別準則,定理3.1對于n階連續時間線性定常系統(A,B)，其狀態完全能控的充分條件時由A，B陣所構成的能控性判別矩陣,滿秩，即,證明,(1)能控性判別準則一,因為,根據能控性定義，在終態時刻t1，有x(t1)=0,所以,現代控制理論基礎,10,3.2連續時間線性定常系統的能控性,對于任意給定的x(0)，能夠唯一解出bi（或u）的條件是：,滿秩，即,現代控制理論基礎,11,3.2連續時間線性定常系統的能控性,例試判別如下連續時間線性定常系統的能控性。,解構造能控性判別矩陣,這是一個奇異陣，即,所以該系統不是狀態完全能控的，即系統狀態不能控。,解系統的能控性判別矩陣為,所以該系統是狀態完全能控的。,例試判別如下連續時間線性定常系統的能控性。,因為，所以,現代控制理論基礎,12,3.2連續時間線性定常系統的能控性,解該系統的能控性判別矩陣為,因為rankQc=1t0，使得根據t0,tf期間的輸出y(t)能唯一地確定系統的初態x(t0)，則稱狀態x(t0)是能觀測的。若系統的每一個狀態都是能觀測的，則稱系統是狀態完全能觀測的，或簡稱能觀測的。,簡記為,(A,C),如果mn，且C非奇異，則：，顯然這不需要觀測時間。但是一般mt0。,簡要說明,因為能觀測性表示y(t)反映x(t)的能力，不妨令u0。,3.3.1線性定常系統能觀測性的定義,現代控制理論基礎,24,3.3連續時間線性定常系統的能觀測性,定理3.5n階連續時間線性定常系統(A,C)狀態完全能觀測的充分必要條件是其能觀測判別矩陣,3.3.2能觀測性判別準則,同樣有秩判據和約當標準形判據,滿秩，即rankQo=n或,(1)能觀測性判別準則一,現代控制理論基礎,25,3.3連續時間線性定常系統的能觀測性,證明,對于任意給定的x(0)，有,由上式，根據得到的y(t)，可以唯一地確定x(0)的條件是,滿秩，即rankQo=n,現代控制理論基礎,26,3.3連續時間線性定常系統的能觀測性,例試判別連續時間線性定常系統的能觀測性。,解構造能觀測性判別矩陣,因為rankQo2=n，所以系統是能觀測的。,現代控制理論基礎,27,3.3連續時間線性定常系統的能觀測性,例試判別系統的能觀測性。,現代控制理論基礎,28,3.3連續時間線性定常系統的能觀測性,推論對單輸出系統，狀態能觀測的充分必要條件為,Qo是非奇異矩陣。換句話說|Qo|0是系統能觀測的充分必要條件。|Qo|0表示了矩陣Qo有且僅有n個行向量是線性獨立的，即rankQo=n。,對于多輸出系統，Qo是nmn陣不是方陣，但有如下關系：,因此，可把,作為多輸出系統的能觀測性判據。,rankQo=rankQToQo,|QToQo|0,現代控制理論基礎,29,3.3連續時間線性定常系統的能觀測性,例試判斷下列連續時間線性定常系統的能觀測性。,顯然，系統(I)是能觀測的，系統(II)是不能觀測的。,(2)能觀測判別準則二,定理3.6若n階連續時間線性定常系統(A,C)具有互異的特征值，則其狀態完全能觀測的充分必要條件是系統經線性非奇異變換后的對角線標準形陣中不含有元素全為零的列。,現代控制理論基礎,30,3.3連續時間線性定常系統的能觀測性,其中,與每個約當塊Ji對應的i的首列的元素不全為零。,例試判斷下面兩個連續時間線性定常系統的狀態能觀測性。,解根據上述定理，(I)是能觀測的，(II)是不能觀測的。,定理3.7若n階連續時間線性定常系統(A,C)具有互異的重特征值，則系統能觀測的充分必要條件是經線性非奇異變換后的約當標準型,現代控制理論基礎,31,定理3.7（附）若系統(A,B)具有相同的重特征值，則系統狀態完全能觀測的充要條件是經線性變換的約當標準形,例試判斷以下連續時間線性定常系統的能控性。,J1,J2,C2,C1,C1和C2的首列成比例，不是線性無關的，所以不能觀測。,3.3連續時間線性定常系統的能觀測性,相同特征值下的約當塊Ji對應的的首列線性無關。,現代控制理論基礎,32,3.4離散時間線性定常系統的能控性和能觀測性,3.4.1能控性定義與判據,現代控制理論基礎,33,3.4離散時間線性定常系統的能控性和能觀測性,解利用遞推方法,為檢驗系統能否在第一步使x(0)轉移到零，對上式令x(1)=0，倘若能夠解出u(0)，則表示在第一步就可以把給定初始狀態轉移到零，且控制作用即為u(0)。為此令x(1)=0，則有,計算表明對該系統若取u(0)=-3，則能將x0=211T在第一步轉移到零。,現代控制理論基礎,34,3.4離散時間線性定常系統的能控性和能觀測性,例若上例系統初始狀態為,解由遞推公式，有,顯然，對于上式若令x(1)=0，解不出u(0)，這說明對于本例初始狀態是不能在第一步轉移到零，再遞推一步。,能否找到控制序列，將其轉移到零狀態。,現代控制理論基礎,35,3.4離散時間線性定常系統的能控性和能觀測性,若令x(2)=0，仍無法解出u(0)、u(1)，再遞推一步。,若令x(3)=0，上式是一個含有三個未知量的線性齊次方程,，有唯一解：,現代控制理論基礎,36,(2)能控性判別準則,3.4離散時間線性定常系統的能控性和能觀測性,狀態完全能控的充分必要條件是能控性判別矩陣,滿秩。即,解構造能控性判別矩陣,顯然rankQc1t0和定義在時間區間t0,tf上容許控制u，使得系統在這個控制作用下，從x0出發的軌線在tf時刻達到零狀態即x(tf)=0，則稱x0在t0時刻是系統的一個能控狀態。如果狀態空間上的所有狀態在t0時刻都是能控的，則稱系統在t0時刻是狀態完全能控的。,(1)能控性定義,定義若連續時間線性時變系統,可以看出，時變系統的能控性定義和定常系統的能控性定義基本相同，但考慮到A(t)、B(t)是時變矩陣，其狀態向量的轉移與起始時刻t0的選取有關，所以時變系統的能控性與所選擇的初始時刻t0有關。,現代控制理論基礎,44,3.5連續時間線性時變系統的能控性與能觀測性,則系統在時刻完全能控的充分條件為，存在一個有限時刻，使,定理3.10對n階連續時間線性時變系統,設A(t)和B(t)對t為(n-1)階連續可微，定義如下一組矩陣：,(2)能控性判別準則,現代控制理論基礎,45,對于初始時刻t0，存在另一時刻tft0,使得根據時間區間t0,tf上輸出y(t)的測量值，能夠唯一地確定系統在t0時刻的初始狀態x(t0)=x0，則稱x0為在t0時刻能觀測狀態。若系統在t0時刻的所有狀態都是能觀測的，則稱系統是狀態完全能觀測的，簡稱系統是能觀測的。,3.5連續時間線性時變系統的能控性與能觀測性,則稱x0為t0時刻不能觀測的狀態，系統在t0時刻是不能觀測的。,(1)能觀測性定義定義對于連續時間線性時變系統,3.5.2能觀測性定義與判據,反之，如果在t0時刻的初始狀態x(t0)=x0，所引起的系統輸出y(t)恒等于零，即,現代控制理論基礎,46,3.5連續時間線性時變系統的能控性與能觀測性,則系統在時刻完全能觀測的充分條件為，存在一個有限時刻，使,定理3.11對于n階連續時間線性時變系統,設A(t)和C(t)對t(n-1)階連續可微，定義如下一組矩陣,(2)能觀測性判別準則,現代控制理論基礎,47,3.6線性系統能控性與能觀測性的對偶關系,一個系統的能觀測性等價于其對偶系統的能控性,一個系統的能控性等價于其對偶系統的能觀測性,定義對于定常系統1和2其狀態空間描述分別為,則稱系統1和2是互為對偶的。,其中，x與x*為n維狀態向量，u為r維，y為m維，u*為m維，y*為r維。若系統1和2滿足以下關系,3.6.1對偶系統,現代控制理論基礎,48,系統1的傳遞函數陣為mr矩陣：,3.6線性系統能控性與能觀測性的對偶關系,對偶系統的示意圖,對偶系統的特征方程相同：,系統2的傳遞函數陣為：,對偶系統的傳遞函數陣互為轉置,現代控制理論基礎,49,定理3.12設1(A,B,C)和2(A*,B*,C*)是互為對偶的兩個系統，則1的能控性等價于2的能觀測性；1的能觀測性等價于2的能控性。,3.6線性系統能控性與能觀測性的對偶關系,而系統2的能觀測性判別矩陣為,是完全相同的。同理1的能觀測性判別矩陣為,而系統2的能控性判別矩陣為,也是完全相同的。,3.6.2對偶定理,證明系統1的能控性判別矩陣為,現代控制理論基礎,50,3.7能控標準形和能觀測標準形,若n階連續時間線性定常系統(A,B)是完全能控的，則,對多輸入多輸出系統，把(A,B)和(A,C)化為標準形，可以有多種不同的方法。,對于單輸入單輸出系統，其能控性判別矩陣和能觀測性判別矩陣只有唯一的一組線性無關的向量。因此，當(A,B)表為能控標準形和(A,C)表為能觀測標準形時，其表示方法是唯一的。所以僅討論單輸入單輸出系統。,這表明，能控性矩陣中有且僅有n個列向量是線性無關的。如果取這些線性無關的列向量以某種線性組合，便可導出狀態空間描述的能控標準形。能觀測問題同樣。,3.7.1問題的提法,現代控制理論基礎,51,3.7能控標準形和能觀測標準形,3.7.2能控標準形,定理3.13若連續時間線性定常單輸入單輸出系統(A,b,c)是狀態完全能控的，則使系統為能控標準形的變換陣為,其中，ai為特征多項式的系數。,通過線性變換得能控標準形(Ac,bc,cc)：,現代控制理論基礎,52,3.7能控標準形和能觀測標準形,利用和，可得,據凱萊-哈密頓定理有,據此，可導出,證明（1）推證Ac,現代控制理論基礎,53,3.7能控標準形和能觀測標準形,于是，有,現代控制理論基礎,54,3.7能控標準形和能觀測標準形,(2)推證bc由，有，即,將上式左乘，就可證得bc。,(3)推證cc由，有,展開即可。,現代控制理論基礎,55,3.7能控標準形和能觀測標準形,由能控標準形可以求得系統的傳遞函數,現代控制理論基礎,56,3.7能控標準形和能觀測標準形,例試將如下狀態空間描述變換為能控標準形。,解先判別其能控性,rankQc=3，所以系統是能控的。再計算系統的特征多項式,則a1=0，a2=9，a3=2,現代控制理論基礎,57,3.7能控標準形和能觀測標準形,變換為能觀測標準形(Ao,bo,co)：,定理3.14若n階線性定常單輸入單輸出系統(A,b,c)是能觀測的，則存在線性變換,其中是特征多項式的各項系數。,3.7.3能觀測標準形,現代控制理論基礎,58,3.7能控標準形和能觀測標準形,則a1=0，a2=9，a3=2,解首先構造能觀測性判別矩陣,因rankQo=3，所以系統是能觀測的。系統的特征式為,例試將如下狀態空間描述變換為能觀測標準形。,=,現代控制理論基礎,59,顯然，在這種狀態變量選擇下系統是不能控但是能觀測的。從傳遞函數會發現該系統的傳遞函數具有零極點對消現象。,3.8傳函中零極點對消與狀態能控和能觀測之間關系,例3-26試判別系統的狀態能控性和能觀測性。,解定義,于是系統能控性判別矩陣Qc和能觀測性判別矩陣Qo分別為,以下只討論單輸入-單輸出系統的傳遞函數中零極點對消與狀態能控和能觀測之間的關系。,現代控制理論基礎,60,證明假定系統是具有相異特征值的n階單輸入-單輸出系統，其狀態空間描述為(A,b,c)，利用線性變換可將矩陣A對角化，得到等價系統為,3.8傳函中零極點對消與狀態能控和能觀測之間關系,定理3.15若線性定常單輸入-單輸出系統傳遞函數中有零極點對消，則系統將是狀態不能控或狀態不能觀測的，其結果與狀態變量選擇有關，反之，若系統中沒有零極點對消，則該系統是完全能控且完全能觀測的。,兩邊取Laplace變換，得,現代控制理論基礎,61,3.8傳函中零極點對消與狀態能控和能觀測之間關系,將代入，則,對特征值相異的n階系統，假定傳遞函數形式是,狀態能控要求0，能觀測要求0,一個即能控又能觀測的系統要求si0,現代控制理論基礎,62,3.8傳函中零極點對消與狀態能控和能觀測之間關系,解組合系統的傳遞函數G(s)為,由G(s)可以看出，當b=l2時，系統的傳遞函數發生零極點對消現象，系統不是即能控又能觀測的。,為了分析這個不確定性，建立該系統的狀態變量圖：,現代控制理論基礎,63,3.8傳函中零極點對消與狀態能控和能觀測之間關系,當b=l2時（即G(s)出現零極點對消）,則該串聯系統是不能控但能觀測的。,系統的狀態空間描述為,其能控性和能觀測性判別矩陣為,現代控制理論基礎,64,3.8傳函中零極點對消與狀態能控和能觀測之間關系,例如果將上例系統中兩個子系統的位置互換一下，如圖。試判斷該系統的能控性和能觀測性。,顯見，當b=l2時rankQo=12，系統是能控但不能觀測的。,其能控性和能觀測性判別矩陣為,解系統的狀態空間描述為,現代控制理論基礎,65,3.8傳函中零極點對消與狀態能控和能觀測之間關系,從上面討論可知，由傳遞函數討論系統的能控性和能觀測性時，若有零極點對消，系統是能控不能觀測，還是能觀測而不能控，與系統的結構有關。若被消去的零點與u發生聯系則系統為不能控的；若被消去的零點與輸出y發生聯系則系統是不能觀測的。進一步，若該零點既與輸入u發生聯系，又與輸出y發生聯系，則該系統是既不能控也不能觀測的。,狀態變量圖,串聯系統傳遞函數,系統穩定,現代控制理論基礎,66,3.8傳函中零極點對消與狀態能控和能觀測之間關系,因此（不能控），（能觀測）,該系統的能控性和能觀測性判別矩陣為,建立狀態空間描述,說明系統有一極點在右半平面，故該系統也是不穩定的。,考察該系統的特征多項式,現代控制理論基礎,67,3.9線性系統結構按能控性能觀測性的分解,能控且能觀測子系統,不完全能控和不完全能觀測系統,能控但不能觀測子系統,不能控但能觀測子系統,不能控且不能觀測子系統,則存在線性變換，可將(A,B,C)變換為,定理3.16若n階連續時間線性定常系統(A,B,C)是狀態不完全能控的，其能控性判別矩陣的秩為,3.9.1系統按能控性分解,現代控制理論基礎,68,3.9線性系統結構按能控性能觀測性的分解,非奇異變換陣中n個列向量構成方法：前nc個列向量為能控性判別矩陣Qc中nc個線性無關的列，另外(n-nc)個列在確保Rc為非奇異的條件下是任意的。,現代控制理論基礎,69,3.9線性系統結構按能控性能觀測性的分解,例試將該系統按能控性進行分解。,解系統的能控性判別矩陣為,因為，所以系統是不完全能控的。構造Rc：,（任選的）,得：,現代控制理論基礎,70,3.9線性系統結構按能控性能觀測性的分解,考察R3為任意的情況：現假設R3=101T，即,于是得,由于前兩個列向量沒有改變，所以能控子系統空間的表達式相同，所不同的僅是改變列向量后的不能控部分。,比較,現代控制理論基礎,71,3.9線性系統結構按能控性能觀測性的分解,3.9.2系統按能