二、導數與微分導數的概念在學習到數的概念之前，我們先來討論一下物理學中變速直線運動的瞬時速度的問題。例：設一質點沿x軸運動時，其位置x是時間t的函數，求質點在t0的瞬時速度？我們知道時間從t0有增量t時，質點的位置有增量 ，這就是質點在時間段t的位移。因此，在此段時間內質點的平均速度為：.若質點是勻速運動的則這就是在t0的瞬時速度，若質點是非勻速直線運動，則這還不是質點在t0時的瞬時速度。我們認為當時間段t無限地接近于0時，此平均速度會無限地接近于質點t0時的瞬時速度，即：質點在t0時的瞬時速度=為此就產生了導數的定義，如下：導數的定義：設函數在點x0的某一鄰域內有定義，當自變量x在x0處有增量x(x+x也在該鄰域內)時，相應地函數有增量，若y與x之比當x0時極限存在，則稱這個極限值為在x0處的導數。記為： 還可記為：，函數在點x0處存在導數簡稱函數在點x0處可導，否則不可導。若函數在區間(a,b)內每一點都可導，就稱函數在區間(a,b)內可導。這時函數對于區間(a,b)內的每一個確定的x值，都對應著一個確定的導數，這就構成一個新的函數，我們就稱這個函數為原來函數的導函數。 注：導數也就是差商的極限左、右導數前面我們有了左、右極限的概念，導數是差商的極限，因此我們可以給出左、右導數的概念。若極限存在，我們就稱它為函數在x=x0處的左導數。若極限存在，我們就稱它為函數在x=x0處的右導數。注：函數在x0處的左右導數存在且相等是函數在x0處的可導的充分必要條件函數的和、差求導法則函數的和差求導法則 法則：兩個可導函數的和(差)的導數等于這兩個函數的導數的和(差).用公式可寫為：。其中u、v為可導函數。例題：已知，求解答：例題：已知，求解答：函數的積商求導法則常數與函數的積的求導法則法則：在求一個常數與一個可導函數的乘積的導數時，常數因子可以提到求導記號外面去。用公式可寫成： 例題：已知，求解答：來源: 函數的積的求導法則法則：兩個可導函數乘積的導數等于第一個因子的導數乘第二個因子，加上第一個因子乘第二個因子的導數。用公式可寫成：例題：已知，求解答：注：若是三個函數相乘，則先把其中的兩個看成一項。函數的商的求導法則法則：兩個可導函數之商的導數等于分子的導數與分母導數乘積減去分母導數與分子導數的乘積，在除以分母導數的平方。用公式可寫成： 例題：已知，求解答：復合函數的求導法則在學習此法則之前我們先來看一個例子!來源:來源: 例題：求=?解答：由于，故 這個解答正確嗎?這個解答是錯誤的，正確的解答應該如下：我們發生錯誤的原因是是對自變量x求導，而不是對2x求導。下面我們給出復合函數的求導法則復合函數的求導規則規則：兩個可導函數復合而成的復合函數的導數等于函數對中間變量的導數乘上中間變量對自變量的導數。用公式表示為：，其中u為中間變量例題：已知，求解答：設,則可分解為,因此注：在以后解題中，我們可以中間步驟省去。例題：已知，求 解答：反函數求導法則來源: 根據反函數的定義，函數為單調連續函數，則它的反函數,它也是單調連續的.為此我們可給出反函數的求導法則，如下(我們以定理的形式給出)：定理：若是單調連續的，且，則它的反函數在點x可導，且有： 注：通過此定理我們可以發現：反函數的導數等于原函數導數的倒數。注：這里的反函數是以y為自變量的，我們沒有對它作記號變換。即： 是對y求導，是對x求導例題：求的導數.解答：此函數的反函數為，故則：來源: 例題：求的導數.解答：此函數的反函數為，故則：高階導數我們知道，在物理學上變速直線運動的速度v(t)是位置函數s(t)對時間t的導數，即： ，而加速度a又是速度v對時間t的變化率，即速度v對時間t的導數： ，或。這種導數的導數叫做s對t的二階導數。下面我們給出它的數學定義：定義：函數的導數仍然是x的函數.我們把的導數叫做函數的二階導數，記作或，即：或.相應地，把的導數叫做函數的一階導數.類似地，二階導數的導數，叫做三階導數，三階導數的導數，叫做四階導數，一般地(n-1)階導數的導數叫做n階導數.分別記作：，或，二階及二階以上的導數統稱高階導數。由此可見，求高階導數就是多次接連地求導，所以，在求高階導數時可運用前面所學的求導方法。例題：已知，求 解答：因為=a，故=0例題：求對數函數的n階導數。解答：，一般地，可得隱函數及其求導法則我們知道用解析法表示函數，可以有不同的形式.若函數y可以用含自變量x的算式表示，像y=sinx，y=1+3x等，這樣的函數叫顯函數.前面我們所遇到的函數大多都是顯函數.一般地，如果方程F(x,y)=0中，令x在某一區間內任取一值時，相應地總有滿足此方程的y值存在，則我們就說方程F(x