關于曲線繪圖與運動控制問題的研究姓名：張碩 朱聰聰 禹雪珂學號：201722060220172106102017210609專業：研究生組題目：關于曲線繪圖與運動控制問題的研究摘要隨著計算機的廣泛應用，計算機輔助繪圖在當今社會已成為計算機輔助設計的基礎。本文的建模題目就是利用數學建模的方法來研究計算機繪圖以及運動控制的原理。針對問題一，首先根據題意建立了滿足條件的三階貝塞爾曲線模型，讓屏幕上的4點在一條光滑又簡單的曲線上。然后根據模型計算出由以下 4點構成的參數方程，運用 matlab編程，繪出了相應的曲線。2,3,1,DCBA針對問題二的第一步，先把所給的參數方程的參數作 4等分，即 ，1,432,0t然后用 matlab編程繪圖，驗證出了當參數作 4等分時，這些點對應的曲線弧長并不是4等分的。對于弧長 n等分的問題，隨后利用微積分的原理建立了求弧長的公式模型。在弧長公式的基礎上，進行弧長等分。利用這個模型，求出每段弧長對應的參數 t，結合所給的參數方程，最后利用編程繪制出了曲線的弧長 4等分和 10等分圖像。關鍵詞：貝塞爾曲線；微積分；MATLAB 繪圖1一 問題重述目前計算機輔助繪圖已成為計算機輔助設計的基礎，本文的問題就是利用數學建模的方法來研究計算機繪圖以及運動控制的基本原理。問題 1：繪圖 在計算機屏幕上隨機地畫出 和 ，321,yxCByxA4,yxD利用這 4個點的信息繪制出一條曲線，其中讓 為曲線的起點， 為曲線的終點，和 為控制點。曲線在起點 處，以 方向為切線方向，在終點 處，以 方向BCAB為切線方向。使用參數方程 來描述這條曲線，但滿足上述條件的曲線有無窮條，10,tyx請增加一些條件，使它表示一條曲線，并且具有形式簡單（如多項式） 、曲線光滑（如連續可微）和美觀等特點。根據建立的模型寫出由以下 4點 構成曲線的參數方程，2,3,1DCBA并繪出這條曲線（同時在圖上標注這 4個點，和相應的切線） 。問題 2：運動控制 計算機輔助設計在一些情況下，需要對沿著指定的運動途徑的空間位置進行精確的控制，而參數方程 給出的曲線一般是達不到這一10,tyx效果。也就是說，若將參數 作 等分，而對應的曲線弧長并不是 等分的。例如：需tnn要控制的曲線由下列參數方程表示(1-1) .10,7.29.035.143 ttttyx若將參數 作 4 等分，即 ，而這些點對應的曲線弧長并不是 4 等分,的，本題需要繪圖驗證這一點，并給出將弧長作 等分的數學模型或計算公式。n根據建立的數學模型，將參數方程(1-1)所繪出曲線的弧長 4 等分和 10 等分。繪出參數方程(1-1)的控制曲線，并標注出弧長 4 等分和 10 等分的等分點。二問題分析對于問題一，是讓我們對計算機屏幕上的隨機 4 點滿足的參數方程添加一些條件，使得繪出的曲線只有一條，且具有一定的特點。根據搜集的信息，首先我們建立了三2階貝塞爾曲線方程的模型，這個模型是多項式，繪出的曲線具有形式簡單，曲線光滑和美觀等特點。然后根據模型求出了 4 點滿足的曲線的參數2,3,1DCBA方程，并用 matlab 軟件繪制出了相應的曲線。對于問題二，要求我們在參數 等分的情況下，給出將弧長 等分的數學模型。根nn據題意我們已經知道了需要控制的曲線的參數方程，利用微積分的方法，給出了求曲線弧長的計算公式，在此基礎上對弧長進行 等分。根據建立的模型，利用 matlab 軟件繪制出將參數方程(1-1) 所繪出曲線的弧長 4 等分和 10 等分的圖像。三模型假設1.假設計算機屏幕上的隨機 4點沒有重合。2. 假設計算機正常運行。3. 假設用 matlab 運行的誤差忽略不計。四符號說明參數 t定點控制點幕上的任意四點參數方程的系數總弧長 s每段的弧長3五模型的建立與求解5.1 理論準備5.1.1貝塞爾曲線簡介貝塞爾曲線，又稱貝茲曲線或貝濟埃曲線，是應用于二維圖形應用程序的數學曲線。一般的矢量圖形軟件通過它來精確畫出曲線，貝茲曲線由線段與節點組成，節點是可拖動的支點，線段像可伸縮的皮筋，它是計算機圖形學中相當重要的參數曲線。貝塞爾曲線是根據 4個位置任意的點坐標繪制出的一條光滑曲線，我們把這 4個點設為和，貝塞爾曲線必定通過首尾兩個端點，中間的兩個點雖然未必要通過，但卻起著牽制曲線形狀路徑的作用，稱為控制點。通過調整控制點，貝塞爾曲線的形狀會發生變化 beisaier.gif。 5.1.2 貝塞爾曲線的參數表示當控制點不同時，貝塞爾曲線的方程就不同。在這里，可以簡單的分為一階、二階、三階、和高階貝塞爾曲線。下面對其參數方程進行簡單的介紹。A.一階貝塞爾曲線給定點 P0、P1，線性貝茲曲線只是一條兩點之間的直線。這條線由下式給出：且其等同于線性插值。B.二階貝塞爾曲線二次方貝茲曲線的路徑由給定點 P0、P1、P2 的函數 B（ t）追蹤：TrueType 字型就運用了以貝茲樣條組成的二次貝茲曲線。C.三階貝塞爾曲線P0、P1、P2、P3 四個點在平面或在三維空間中定義了三次方貝茲曲線。曲線起始于 P0走向 P1，并從 P2的方向來到 P3。一般不會經過 P1或 P2；這兩個點只是在那里提供方向資訊。P0 和 P1之間的間距，決定了曲線在轉而趨進 P3之前，走向 P2方向的“長度有多長” 。曲線的參數形式為：4現代的成象系統，如 PostScript、Asymptote 和 Metafont，運用了以貝茲樣條組成的三次貝茲曲線，用來描繪曲線輪廓。D.一般參數公式給定點 P0、P1、Pn，其貝茲曲線即：如上公式可如下遞歸表達： 用表示由點 P0、P 1、 、Pn 所決定的貝茲曲線。5.1.3 貝塞爾曲線的性質貝塞爾曲線把組合參數曲線構造成在連接處具有直到 n階連續，即 n階連續可微，這類光滑度稱之為 nC或 n階參數連續性。并且組合曲線在連接處滿足不同于 nC的某一組約束條件，具有 n階幾何連續性，5.2 問題一模型的建立根據題目所給，要使參數方程并且具有形式簡單（如多項式） 、曲線光滑（如連續可微）和美觀等特點，我們建立了三階貝塞爾曲線方程的模型：如果已知一條曲線的參數方程，系數都已知，兩個方程的參數為 ，且它的值位于0，1 之間，表現形式如下所示：()=*3+2+1()=*3+2+1由于這條曲線的起點為 ，我們可以用以下公式求出剩余三個點的坐標(1， 1)2=1+/33=2+（ +/3）4=1+2=1+/33=2+(+)/34=1+經過觀察，不管方程的已知和所求是什么，一共有 6 個未知數，并且總能找到 6個等式，其中 是已知的。也就是說，上面的方法是完全可逆的，因此可以根據(1， 1)54 個已知點坐標來反求曲線參數方程的系數，經過變換，可得到下列式子： =3（ 21）=3（ 32） =41=3（ 21）=3（ 32） =41所以，對于坐標任意的 4 個已知點，總能構建一條貝塞爾曲線，并可通過以上算法求出其參數方程。5.3問題一的求解根據建立的模型，將 代入三階貝塞爾曲線模型中，得到2,3,1DCBA=3（ 21） =0=3（ 32） =6=41=5=3（ 21） =6=3（ 32） =6=41=1所以得到的參數方程為 ()=5*3+62+0+1（-6） .()=1*3+ 2+6+1根據計算結果，利用 MATLAB寫出程序見（附錄 1） ，繪出這條曲線同時在圖上標注出四點點，和相應的切線，其中 為曲線的起點， 為曲線的終點， 和 為控制點.ADBC曲線在起點 處，以 方向為切線方向，在終點 處，以 方向為切線方向.AB如下圖：61 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 311.21.41.61.822.22.42.62.835.3 問題二模型的建立問題 2中，需要控制的曲線的參數方程已知，當參數 作 等分時，要使曲線弧長tn是 等分，這時我們應利用微積分的方法，給出求曲線弧長的計算公式，在此基礎上n建立對弧長進行 等分的數學模型。n若曲線弧的參數方程如下：（ ）=（ ）=（ ） 則弧長元素（弧微分）為：=（ ） 2+（ ） 2= 2（ ） +2()所求弧長為=2（ ） +2()因此得到將弧長進行 n 等分的公式模型：7=2（ ） +2()ndtts)(221tt)(322. nttsn)()1(22計算出 n 等分點的到起始點的弧長，利用 Matlab 可以求出每個等分點對應的參數t，從而可繪出 n 等分的對應圖像。5.4 問題二的求解首先對于參數方程 若將參數 作 4 等分， .10,7.29.035.143 ttttyx t即 時，經過 matlab 軟件編程繪制圖像，發現并驗證了這些點對應的曲線1,432,0t弧長并不是 4 等分的。繪制的圖形如下：8從圖 5.4-1 中可以看出當參數 作 4 等分時，對應的弧長并不是 4 等分的。t對于參數方程 將其代入建立的模型之中， .10,7.29.035.13 ttttyx運用 matlab 編程求出弧長 S 為 2.4952，若將弧長進行 4 等分，每段的弧長 s 為0.6238。再次運用 Matlab 編程，用已知的四等分點的弧長 s 反過來求出對應的參數 t，數據如表格所示：弧長 s 參數 t=0.00000 =0.0000=0.62381s =0.5501t=1.24762 =0.8002=2.33483s =0.9183t=2.49524 =1.0004進而繪制出將弧長進行 4 等分的圖像，并將 4 等分的等分點用紅色圓圈在圖上進行了標注，如圖：9同理，運用模型可將曲線 10 等分。可求出 10 等分之后每段的弧長為 0.2495，運用 Matlab 求出了所有等分點參數 t 的取值。弧長 s 參數 t=0.0000 =0.00000=0.2491s =0.24021t=0.4992 =0.43242=0.7483s =0.63103t=0.9984 =0.73324=1.2485s =0.80075t=1.4976 =0.85326=1.7477s =0.89727t=1.9968 =0.93538=2.2459s =0.96919t10=2.49510s =1.000010t并繪制出了將弧長進行 10 等分的圖像，并對弧長 10 等分的等分點進行了標注。六模型評價6.1模型一的評價6.1.1優點（1）模型簡單，通過一個貝塞爾曲線模型給出了屏幕上任意 4點需要滿足的條件，利用限制條件繪制出了美觀的圖像，便于觀察。（2）該模型的原理淺顯易懂，計算過程不復雜，適用性比較強。6.1.2缺點由于所給的數據較少，繪制出的圖像不是特別準確，存在一定的誤差。6.2模型二的評價6.2.1優點（1）模型簡單，原理淺顯易懂，思路明確，直奔主題。（2）利用了微積分求弧長，化曲為直，簡化了計算過程。6.2.2缺點在計算 n等分點時，過程較為繁瑣，復雜。11參考文獻1劉衛國，MATLAB 程序設計與應用（第二版）M. 北京：高等教育出版社，2006.2龔純,王正林編 .MATLAB 語言常用算法程序集 .北京：電子工業出版社,2008.3王正林等編.MATLAB/Simulink 與控制系統仿真（第 2 版）.北京：電子工業出版社,20084夏瑋等編.MATLAB 控制系統仿真與實例詳解 .北京：人民郵電出版社 .2008.5張靜等編. MATLAB 在控制系統中的應用 .北京：電子工業出版社 ,2007 6 方康玲編 ,過程控制及其 MATLAB 實現(第 2 版).北京：電子工業出版社,2013附錄問題 1t=0:0.01:1;x=-5*t.3+6*t.2+1;y=t.3-6*t.2+6*t+1;plot(x,y,-b);hold onx0=1;1;3;2y0=1;3;3;2;plot(x0,y0,r)x1=1;1;y1=1;3;plot(x1,y1,-g)t=0:0.01:1;12x=-5*t.3+6*t.2+1;y=t.3-6*t.2+6*t+1;plot(x,y,-b);hold onx0=1;1;3;2;y0=1;3;3;2;plot(x0,y0,r)x2=3;2;y2=3;2;plot(x2,y2,-g)問題二（1）驗證當參數作 4等分，即時，這些點對應的弧長不是 4等分的程序：t=0:0.01:0.25x=0.5+0.3.*t+3.9.*t.*t-4.7.*t.3;y=1.5+0.3.*t+0.9.*t.*t-2.7.*t.3;plot(x,y,*:b);hold ont=0.25:0.01:0.5x=0.5+0.3.*t+3.9.*t.*t-4.7.*t.3;y=1.5+0.3.*t+0.9.*t.*t-2.7.*t.3;plot(x,y,*:r);hold ont=0.5:0.01:0.75x2=0.5+0.3.*t+3.9.*t.*t-4.7.*t.3;y2=1.5+0.3.*t+0.9.*t.*t-2.7.*t.3;plot(x2,y2,*:g);hold ont=0.75:0.01:1x3=0.5+0.3.*t+3.9.*t.*t-4.7.*t.3;y3=1.5+0.3.*t+0.9.*t.*t-2.7.*t.3;13plot(x3,y3,*:k);（2）由已知的參數方程求出的總弧