專題五 函數型綜合題【簡要分析】中考中的函數綜合題，聊了靈活考查相關的基礎知識外，還特別注重考查分析轉化能力、數形結合思想的運用能力以及探究能力此類綜合題，不僅綜合了函數及其圖象一章的基本知識，還涉及方程（組）、不等式（組）及幾何的許多知識點，是中考命題的熱點善于根據數形結合的特點，將函數問題、幾何問題轉化為方程（或不等式）問題，往往是解題的關鍵【典型考題例析】 例1：如圖2-4-20，二次函數的圖象與軸交于A、B兩點，與軸交于點C，點C、D是二次函數圖象上的一對對稱點，一次函數的圖象過點B、D（1）求D點的坐標（2）求一次函數的解析式（3）根據圖象寫出使一次函數值大于二次函數的值的的取值范圍（2005年貴州省貴陽市中考題）分析與解答 （1）由圖2-4-20可得C（0，3）拋物線是軸對稱圖形，且拋物線與軸的兩個交點為A（3，0）、B（1，0），拋物線的對稱軸為，D點的坐標為（2，3）（2）設一次函數的解析式為，將點D（2，3）、B（1，0）代入解析式，可得，解得一次函數的解析式為（3）當時，一次函數的值大于二次函數的值說明：本例是一道純函數知識的綜合題，主要考查了二次函的對稱性、對稱點坐標的求法、一次函數解析式的求法以及數形結合思想的運用等例2 如圖2-4-21，二次函數的圖象與軸交于A、B兩點，其中A點坐標為（1，0），點C（0，5）、D（1，8）在拋物線上，M為拋物線的頂點（1）求拋物線的解析式（2）求MCB的面積（2005年吉林省中考題）分析與解答 第（1）問，已知拋物線上三個點的坐標，利用待定系數法可求出其解析式第（20問，MCB不是一個特殊三角形，我們可利用面積分割的方法轉化成特殊的面積求解（1）設拋物線的解析式為，根據題意，得，解之，得所求拋物線的解析式為（2）C點的坐標為（0，5）OC=5令，則，解得B點坐標為（5，0）OB=5，頂點M坐標為（2，9）過點M用MNAB于點N，則ON=2，MN=9說明：以面積為紐帶，以函數圖象為背景，結合常見的平面幾何圖形而產生的函數圖象與圖形面積相結合型綜合題是中考命題的熱點解決這類問題的關鍵是把相關線段的長與恰當的點的坐標聯系起來，必要時要會靈活將待求圖形的面積進行分割，轉化為特殊幾何圖形的面積求解 例3 ：已知拋物線與軸交于、，與軸交于點C，且、滿足條件（1）求拋物線的角析式；（2）能否找到直線與拋物線交于P、Q兩點，使軸恰好平分CPQ的面積？求出、所滿足的條件 （2005年湖南省婁底市中考題）分析與解答 （1）=，對一切實數，拋物線與軸恒有兩個交點，由根與系數的關系得，由已知有，得由得化簡，得解得，滿足當時，不滿足，拋物線的解析式為（2）如圖2-4-22，設存在直線與拋物線交于點P、Q，使軸平分CPQ的面積，設點P的橫坐標為，直線與軸交于點E，由軸平分CPQ的面積得點P、Q在軸的兩側，即，由得又、是方程的兩根，又直線與拋物線有兩個交點，當時，直線與拋物線的交點P、Q，使軸能平分CPQ的面積故說明 本題是一道方程與函數、幾何相結合的綜合題，這類題主要是以函數為主線解題時要注意運用數形結合思想，將圖象信息與方程的代信息相互轉化例如：二次函數與軸有交點可轉化為一元二次旗號有實數根，并且其交點的橫坐標就是相應一元二次方程的解點在函數圖象上，點的坐標就滿足該函數解析式等例4 已知：如圖2-4-23，拋物線經過原點（0，0）和A（1，5）（1）求拋物線的解析式（2）設拋物線與軸的另一個交點為C以OC為直徑作M，如果過拋物線上一點P作M的切線PD，切點為D，且與軸的正半軸交于點為E，連結MD已知點E的坐標為（0，），求四邊形EOMD的面積（用含的代數式表示）（3）延長DM交M于點N，連結ON、OD，當點P在（2）的條件下運動到什么位置時，能使得？請求出此時點P的坐標（2005年廣西壯族自治區桂林市中考題）分析與解答 （1）拋物線過O(0，0)、A（1，3）、B（1，5）三點，解得，拋物線的解析式為（2）拋物線與軸的另一個交點坐標為C（4，0），連結EMM的半徑是2，即OM=DM=2ED、EO都是的切線，EO=EDEOMEDM（3）設D點的坐標為（，），則當時，即，故ED軸，又ED為切線，D點的坐標為（2，3），點P在直線ED上，故設點P的坐標為（，2），又P在拋物線上，或為所求. 【提高訓練】 1已知拋物線的解析式為，（1）求證：此拋物線與軸必有兩個不同的交點（2）若此拋物線與直線的一個交點在軸上，求的值（2005年江蘇省鹽城市中考題）2如圖2-4-24，已知反比例函數的圖象與一次函數的圖象相交于P、Q兩點，并且P點的縱坐標是6（1）求這個一次函數的解析式（2）求POQ的面積（2005年江海南省中考題）3在以O這原點的平面直角坐標系中，拋物線與軸交于點C（0，3）與軸正半軸交于A、B兩點（B點在A點的右側），拋物線的對稱軸是，且（1）求此拋物線的解析式（2）設拋物線的頂點為D，求四邊形ADBC的面積 （2005年湖北省仙桃市中考題）OABC是一張平放在直角坐標系中的矩形紙片，O為原點，點A在軸上，點C在軸上，OA=10，OC=6（1）如圖2-4-25，在AB上取一點M，使得CBM沿CM翻折后，點B落在軸上，記作B點，求所B點的坐標（2）求折痕CM所在直線的解析式（3）作BGAB交CM于點G，若拋物線過點G，求拋物線的解析式，交判斷以原點O為圓心，OG為半徑的圓與拋物線除交點G外，是否還有交點？若有，請直接寫出交點的坐標 （2005年廣西壯族自治區南寧市中考題）5如圖2-4-26，在RtABC中，ACB=900，以斜邊AB所在直線為軸，以斜邊AB上的高所在的直線為軸，建立直角坐標系，若，且線段OA、OB的長是關于的一元二次方程的兩根（1）求點C的坐標（2）以斜邊AB為直徑作圓與軸交于另一點E，求過A、B、E三點的拋物線的解析式，并畫出此拋物線的草圖（3）在拋物線的解析式上是否存在點P，使ABP和ABC全等？若相聚在，求出符合條件的P點的坐標；若不存在，請說明理由（2005年陜西省中考題）【答案】 1（1），拋物線與軸