挖掘數學新教材中的美學因素及其教育功能 挖掘數學新教材中的美學因素及其教育功能 摘要 數學美是高中新課程教學中極具挖掘潛力的內容之一 本文通過對高中數學新教材中 教學內容的美學因素的挖掘 闡述了數學美在培養學生的審美能力 激發學生的學習興趣和 熱情 啟迪學生思維 開發學生智力和創造力 提高學生分析解決問題的能力和效率等方面 的作用 關鍵詞 數學美 簡潔性 對稱性 和諧性 奇異性 數學美源于人們的生產與生活中 是自然美的客觀反應 普通高中 數學課程標準 指出課 程目標之一是 開闊數學視野 認識數學的科學價值 應用價值和文化價值 體會數學的美 學意義 數學是人類文化的重要組成部分 數學素質是公民所備必的一種基本素質 對數 學的進一步認識和了解 可以使人獲得美的感受 數學的美不僅有生活中的美 更有思維領 域的美 它體現在數學的簡潔性 和諧性 稱性性 奇異性等方面 一 挖掘新教材中的美學因素 新教材中有豐富多彩的數學美學因素 下面主要從四個方面來挖掘教材中的美學內容 1 簡潔性 簡潔性是數學美的一個基本特征 它反映出自然的簡單性 是自然內在的屬性 而不是人為 的簡單規定 數學的簡潔性并不是指數學內容本身簡單而主要表現在數學的邏輯結構 方法 和表達式的簡單性 如 5 個 12 相乘 可以寫為 12 12 12 12 12 但是的表示方 法卻要簡單得多了 以同樣的簡潔表示了更復雜的內容 勾股定理 正弦正理 余弦 定理等這些定理形式簡潔 內容深刻 作用很大 平面的基本性質之一 不在同一條直線 上的三點確定一個平面 體現了 三點定面 的簡單特性 在證明與自然數有關的問題時 數學歸納法不失為一種簡潔的方法 等差 等比數列的通項 前項 n 和可以用公式來表示 曲線和點的軌跡可以用方程來表示等等都表現了數學的簡潔美 1 對稱性 對稱性是數學美的主要表現形式之一 數學中的中心對稱 軸對稱和鏡面對稱 都給人以美 感 這就是數學中的對稱美 例如 幾何中的許多圖形 圓 球 圓柱 圓錐 長方體 圓 錐曲線等都體現了對稱美 代數中 偶函數的圖像關于 y 軸對稱 奇函數圖像的關于原點對 稱 反函數與原函數的圖像關于直線 y x 對稱都給人以賞心悅目之感 二項展開式 等公式也顯示一種對稱美 2 和諧性 數學的和諧性是指數學中部分與部分 部分與整體之間的和諧平衡與一致 通常表現為數學 概念 規律 方法的統一 數學與其它學科的統一 例如 平面幾何中梯形 三角形 平行 四邊形 矩形的面積公式 可以統一為 立體幾何中柱體 錐體 臺體的體 積公式可以統一為 解析幾何中 橢圓 雙線 拋物線的定義可以簡 單地統一為圓錐曲線的第二定義 引入負數 有了相反數的概念后 有理數的加法和減法得 到了統一 它們可以統一為代數和的形式 數 形本是數學研究的兩個獨立的對象 通過坐 標系的建立 使點與數對建立了一一對應 從而把它們統一為解析幾何 1 3 奇異性 數學的奇異性是指數學結論或解決問題方法的新穎 奇巧 出乎意料 往往勾起思想上的震 動 引起人們的贊賞與嘆服 在這種意義上奇異也是一種美 奇異到極點更是一種美 例如 用數形結合法 反證法 轉化法思想方法解題 用極限思想將循環小數化為分數都給人以奇 特之美感 復數中 向量將復數運算與幾何統一起來 原函數與反函數之間的定義域與值域 的相互變換 平面圖像與空間圖形之間的內在聯系 三角形中三條高線 三條邊的中線 三 個角的平分線交一點等都體現了奇異美 此外 高中數學中有很多平滑曲線 如橢圓 雙曲線 拋物線 指數函數 對數函數 冪函 數的圖象 這些曲線畫起來流暢自然 無一不給人以美感的享受 正 余玄曲線 象波浪一 樣滾滾前進 給我們運動的感覺 體驗到動感的美 二 挖掘數學美在教學中的作用 高中數學新教材中 簡潔美 對稱美 和諧美 奇異美比比皆是 數學教學過程中 挖掘教 材中的美學因素 引導學生發現數學美 體驗數學美 培養學生的審美觀 充分發揮數學美 在教學中的作用 將是非常有意義的工作 1 利用數學美激發學生的學習興趣和熱情 正確的學習目的對學生學好數學固然重要 但所學材料的情趣和審美價值卻是學習的最佳剌 激 數學教師應當充分挖掘教材的美學因素 把數學教學組織成為發現 鑒賞 創造數學的 過程 例 1 在 橢圓的定義和標準方程 一節的教學中 應始終抓住橢圓具有和諧美 對稱美的 基本特征 從定義到建系設點 從列式到布列方程 從化簡到得出標準方程 無一不可以組 織成為具有美學結構 使學生在積極思考狀態中完成學習的一堂優質課 我認為這節課的教 學應該這樣處理 由 MF1 MF2 2a 得 教師 方程 能不能作為橢圓的方程 稍后 完全可以 但是你滿意嗎 稍后 不滿意 它不符合數學美的簡潔特征 有繼續化簡的必要 學生 此時 求簡的意識油然而生 經兩次平方 根式化簡的常規方法 整理得 教師 此方程比方程 簡單多了 但它不完全符合數學美的要求 我們從橢圓的對稱性 期 望它的方程也應具有對稱性 設得 橢圓的標準方程 教師最后指出 引進的字母 b 純粹是由對美的追求人為制造出來的 通過后面的學習 我們 將會發現有著鮮明的幾何意義 并且果真符合對稱美的要求 教師通過精心設計 生動語言 精辟的分析 嚴密的推理 有機的聯系 定能使學生在美的 熏陶中 體會到數學美的力量 從 學習數學枯燥無味 中解脫出來 進入其樂無窮的境地 這種心理上得到滿足 能不使學生喜愛數學嗎 2 利用數學美培養學生的審美能力 2 首先教師要引導學生感知數學美 體驗數學美 通過具體數學知識的學習和問題的解決 點 拔蘊含其中美的因素和美的方法 加深學生對美的認識與理解 這就要求教師在平時的教學 中不斷地挖掘教材中的數學美的內容 例 2 對六組誘導公式的記憶 可以利用它們之間的和諧關系 把它們統一于式子 得到記憶法則只要用兩句簡潔的話 奇變偶不變 符號看象限 就可以 了 這創造性的語言 體現了數學的統一美 三角恒等變換中需要記憶的公式很多 我們可 以 從 這 些 公 式 的 內 在 聯 系 入 手 首 先 推 導 公 式 然 后 從 得到兩角和與差的三角函數公 式 令 又可得到兩倍角公式 作角與式的變換 又可得到降冪公 式 半角公式以及積化和差 和差化積公式 其次 教師要引導學生評判數學美 數學教育應使學生獲得對數學美的分辨能力 在數學活 動中 善于了解和掌握各種數學信息 指導學生能快速 敏捷地找出數學信息的不同之處 辯出真偽 使數學信息有序化 統一化 例 3 一元二次方程的求根公式 這一解無 論從哪方面看都不對稱 不和諧 不美觀 但是 當我們了解它 運用它 就會感到它的價值 它的 內秀 這一公式會告訴我們許多信息 表示它的 2 個根 會顯示根 的數目及方程的性質 所以當你和它熟悉了 就會覺得它形式上不很漂亮 本質卻是美好的 通過數學美對學生審美能力的培養 學生能在數學美享受中啟迪心靈 引起精神升華 陶冶 情操 提高思想品德修養 潛移默化地培養科學世界觀 形成高尚的情操和對真理的執著追 求 3 利用數學美啟迪學生思維 開發學生智力和創造力 簡單性可尋求問題的最優解答或簡縮思維過程 統一性可對命題作出類比 推廣和引伸 從 而發現新問題 對稱性可培養學生對立統一的思維方式 提供集中思維和發散思維的思路 奇異性可激發學生探索 發現 創新等精神 例 4 正方體 等邊圓柱 球的表面積相同 其體積分別為 則大小關系為 推證 設正方體的棱長為 a 等邊圓柱底面半徑為 r 球半徑為 R 則所以 而 所以 3 因為 所以 這個例題 基礎好的同學可以推導出結論 但感覺很繁 基礎較差的同學基本上就放棄了推 證 若我就此只教會學生推證過程 所有同學都會感到數學枯燥無味 會失去對數學的積極 情感 以致失去信心 于是我從問題與自然相互聯系的統一美 和諧美思考 提出兩個問題 1 氣球為什么呈球形 而不是呈正方形 圓柱形 2 人從瘦變胖 臉形怎樣變化 這時同學們活躍起來 先是不明白這與例題有何關系 再經過討論又覺得真實可信 漸漸得 以明白 表面積 表皮 一定時 以呈球形的容積最大 再推廣 表面積 表皮 一定時 表面越光滑的幾何體體積越大 這時 我再讓學生做如下例題 例題 正四面體和等邊圓錐表面積相等 體積哪個大 學生很快答出 等邊圓錐的體積較大 至此學生已經在不自覺中接受了這種思維 但我沒有結束問題 而又提出上述問題伴隨的問 題 使學生領略到思維中的奇異美 例 5 正方體 等邊圓柱 球的體積相等 其表面積分別為 S1 S2 S3 則 S1 S2 S3 的 大小關系為 這次 學生很快就得出結論 S1S2S3 并總結 體積一定的幾何體 以球的表面積最小 這樣 學生對這個數學問題的掌握 理解就比較透 也有利增強學生的學習興趣 培養其創 新意識 也正是在這樣的教與學中 蘊含著數學思維的對稱美 奇異美 和諧美 讓人有返 璞歸真的感覺 4 利用數學美提高學生分析解決問題的能力和效率 出于數學美的考慮而導致解題思路的設計與發現 叫做以美啟真 這種解題策略將數學的簡 潔美 對稱美 和諧美 奇異美與問題的條件或結論相結合 再憑借知識 經驗與審美直覺 從而確定解題總體思路或入手方向 于是 美的啟示就幫助學生提高分析解決問題的能力 從而形成了數學中的美學方法 例 6 設 x y z 0 分析 由已知可看出 條件具有對稱性 字母 x y z 分別作輪換 作為 整體在輪換下保持不變 為追求欲求式中三項的和諧統一 審美直覺心理傾向于每個括號里 各添一項 美化成關于的統一式 解 原式 x y z x y z 3 3 通過數學美的指引 獲得了解題的突破口 問題得到了完美的解決 使學生體會到數學美的 作用 當學生真正領悟數學中的美學因素 所帶來的快感莫過問題的解適合心靈的需要 我 們在解題教學中若能充分注意到這一點 將會大大促進學生邏輯思維的發展 如此的問題要 4 5 靠我們教師在教學中挖掘并總結 我們應充分利用數學的美學因素進行教學分析和解題研 究 以便提高學生分析問題的能力和效率 以上觀點及論證 足以說明數學美學因素所起的作用 它在不知不覺中充當了目標取舍 方 向確定 方式選擇的重要決策因素 這是審美能力的體現 我們數學的教與學 若能更多 地挖掘數學新教材中的美學因素 就會使學生靈活運用數學知識 活躍數學思維 進而增強 學生對數學的積