第一章靜電場 SteadyElectricField 基本方程 分界面上的銜接條件 邊值問題 惟一性問題 鏡像法和電軸法 電容 靜電場的應用 環(huán)路定律 高斯定律 電場強度和電位 序 1 0序 靜電場是相對觀察者靜止且量值不隨時間變化的電荷所產(chǎn)生的電場 它是電磁理論最基本的內(nèi)容 由此建立的物理概念 分析方法在一定條件下可應用推廣到恒定電場 恒定磁場及時變場 本章要求深刻理解電場強度 電位移矢量 電位 極化等概念 掌握靜電場基本方程和分界面銜接條件 掌握電位的邊值問題及其解法 熟練掌握電場 電位 電容 能量 力的各種計算方法 Introduction 1 1電場強度和電位 基本概念 1 試體 電場用另一電荷的受力來描述其特性 另一電荷就稱為試體 試體應是一個電量很小的點電荷 電荷與體積都盡可能小 2 兩類點 均用坐標及矢量表示源點 引起電場的點場點 電場中需要確定場量的點 3 距離向量 原點到源點的距離向量原點到場點的距離向量源點到場點的距離向量 點電荷是電荷體分布的極限情況 可以把它看成是一個體積很小 總電量不變的帶電小球體 1 1 1庫侖定律 Coulomb sLow N 牛頓 適用條件 庫侖定律 圖1 1 1兩點電荷間的作用力 兩個可視為點電荷的帶電體之間的相互作用力 推論 多個點電荷對q0的作用力 連續(xù)分布電荷對q0的作用力 dq看作點電荷 庫侖定律說明 在電荷的周圍存在電場 1 1 2電場強度 ElectricIntensity V m N C 定義 電場強度E等于單位正電荷所受的電場力F a 單個點電荷產(chǎn)生的電場強度 V m 圖1 1 2點電荷的電場 一般表達式為 b n個點電荷產(chǎn)生的電場強度 矢量疊加原理 c 連續(xù)分布電荷產(chǎn)生的電場強度 根據(jù)物質結構理論 電荷的分布實際上是不連續(xù)的 但當考察電的宏觀現(xiàn)象時 可以把電荷的離散分布近似的用它的連續(xù)分布代替而得到令人滿意的結果 圖1 1 3矢量疊加原理 圖1 1 4體電荷的電場 元電荷產(chǎn)生的電場 線電荷分布 體電荷分布 面電荷分布 例1 1真空中有無限長均勻帶電直導線 電荷線密度為 試求P點的電場 例1 2求電荷面密度為 半徑為a的均勻帶電圓盤軸線上的電場強度 矢量恒等式 1 靜電場的旋度 1 1 3旋度和環(huán)路定律 CurlandCircuitalLaw 點電荷電場 取旋度 2 靜電場的環(huán)路定律 電場力作功與路徑無關 靜電場是保守場 是無旋場 由Stokes 定理 靜電場在任一閉合環(huán)路的環(huán)量 說明 即 1 1 4電位 無限大真空 一 電壓的定義 P Q兩點之間電壓為從P點到Q點移動單位正電荷電場力所作的功 注意 起點與終點的方向順序 也即 為積分順序 1 的計算 由電場力作功公式推出 電壓單位為 伏特 V 即 P Q兩點間的電壓只與P Q兩點的位置有關 與路徑無關 推論 可見功與能量守恒 即 靜電場為守恒場 2 電壓與路徑的關系 以點電荷q為例 而任意分布的電荷可看成點電荷dq的疊加 因而結果具有普遍性 二 電位 在整個電場選定唯一且固定的一個點Q作為參考點 空間任一點P與參考點之間的電壓定義為P點的電位 1 參考點選擇 理論上 無窮遠處為參考點 未注明以后參考點均指無窮遠 實際工程中 大地為為參考點 2 電位計算 單個點電荷q q放在坐標原點 q放在任意位置 多個點電荷 先求點電荷的電位再求和 連續(xù)分布 dq為點電荷 先求點電荷的電位再積分 也可看作求和 負號表示電場強度的方向從高電位指向低電位 在直角坐標系中 1 E與的微分關系 根據(jù)E與的微分關系 試問靜電場中的某一點 所以 二 電位與電場強度的關系 2 已知電荷求電位 點電荷群 連續(xù)分布電荷 以點電荷為例 3 與E的積分關系 圖1 1 6E與的積分關系 線積分 式中 設P0為電位參考點 即 則P點電位為 所以 4 電位參考點 例如 點電荷產(chǎn)生的電位 點電荷所在處不能作為參考點 場中任意兩點之間的電位差與參考點無關 選擇參考點盡可能使電位表達式比較簡單 電位參考點可任意選擇 但同一問題 一般只能選取一個參考點 電荷分布在有限區(qū)域時 選擇無窮遠處為參考點 電荷分布在無窮遠區(qū)時 選擇有限遠處為參考點 5 電力線與等位線 面 E線微分方程 直角坐標系 當取不同的C值時 可得到不同的等位線 面 等位線 面 方程 曲線上任一點的切線方向是該點電場強度E的方向 電位相等的點連成的曲面稱為等位面 1 1 7電力線方程 電力線與等位線 面 的性質 圖1 1 10點電荷與接地導體的電場 圖1 1 11點電荷與不接地導體的電場 E線不能相交 E線起始于正電荷 終止于負電荷 等位線愈密處 場強愈大 E線與等位線 面 正交 例1 3真空中xy平面上一半徑為a的圓形線電荷 線電荷密度為 試確定軸線上離圓心z處的P點的電位及場強 例1 4求面電荷密度為 半徑為a的均勻帶電圓盤軸線上的電位和電場強度 例1 5正六邊椎體底面六個定點各有點電荷q 底邊的邊長為a 棱長與底面正六邊形的對角線相等 求椎體頂點的電場強度 1 2高斯通量定理 前面討論了E的環(huán)路線積分 靜電場為守恒場 本節(jié)討論的閉合面積分 高斯通量定理 1 2 1真空中的高斯通量定理 1 點電荷 任意閉合面結果相同 2 多個點電荷 q為閉合面S內(nèi)所有電荷 3 連續(xù)分布 1 2 2 電介質中的高斯定律 一 靜電場中導體 導體內(nèi)電場強度E為零 靜電平衡 導體是等位體 導體表面為等位面 導體表面的電場強度垂直于導體表面 接地導體都不帶電 一導體的電位為零 則該導體不帶電 任何導體 只要它們帶電量不變 則其電位是不變的 導體 內(nèi)部有大量自由電子 靜電平衡條件下沒有自由電子的運動 導體如帶電 則電荷分布在導體表面 二 靜電場中的電介質 電介質 存在束縛電荷 束縛電荷形成電偶極子 1 特點 電介質對電場的影響可看成極化電荷在真空中所產(chǎn)生的效應 電介質不處在電場中 呈電中性 處于電場中 會呈現(xiàn) 極性 也即 極化效應 2 概念 電偶極子 電偶極子 相距近 符號反 電量等的兩個電荷 相對于觀察者 電偶極矩 注意 小寫 媒質術語 本書討論各向同性 線性煤質 均勻媒質 媒質的特性不因空間坐標而變化 各向同性媒質 媒質的特性不因場量的方向而變化 線性媒質 媒質的特性不因場量的量值而變化 電介質的分子類型 非極性分子 分子的正 負電荷的作用中心重合 極性分子 分子的正 負電荷的作用中心不重合 因而形成電偶極子 電介質在外電場作用下發(fā)生極化 形成有向排列 電介質內(nèi)部和表面產(chǎn)生極化電荷 極化電荷與自由電荷都是產(chǎn)生電場的源 極化強度P polarizationintensity 表示電介質的極化程度 即 實驗結果表明 在各向同性 線性 均勻介質中 電介質的極化率 各向同性媒質媒質特性不隨電場的方向改變 反之 稱為各向異性媒質 線性媒質媒質參數(shù)不隨電場的值而變化 反之 稱為非線性媒質 均勻媒質媒質參數(shù)不隨空間坐標而變化 反之 稱為非均勻媒質 極化電荷面密度 三 極化強度與極化電荷的關系 記憶體密度和面密度公式 極化強度P是電偶極矩體密度 單個電偶極子產(chǎn)生的電位 體積V內(nèi)電偶極子產(chǎn)生的電位 圖1 2 4電偶極子產(chǎn)生的電位 矢量恒等式 圖1 2 5體積V內(nèi)電偶極矩產(chǎn)生的電位 極化電荷面密度 電介質的強度 或 擊穿場強 某種材料能承受最大場強而不至于擊穿的這個場強為其電介質的強度 電力產(chǎn)品的性能處決于其絕緣材料的電介質強度 常見絕緣材料的電介質強度 材料 空氣 云母 橡膠 玻璃 電介質強度 伏 米 思考 根據(jù)電荷守恒定律 極化電荷的總和為零 電介質均勻極化時 極化電荷體密度 有電介質時 場量為 四 電介質中的高斯定律 取體積分 在各向同性介質中 介電常數(shù)F m 其中 相對介電常數(shù) 無量綱量 構成方程 例1 2 1平板電容器中有一塊介質 畫出D E和P線分布 D線由正的自由電荷出發(fā) 終止于負的自由電荷 E線由正電荷出發(fā) 終止于負電荷 P線由負的極化電荷出發(fā) 終止于正的極化電荷 高斯定律的微分形式 高斯定律的積分形式 在靜電場中 不問在真空還是介質中 也不問介質均勻與否 由任意閉合面穿出的D通量的面積分等于該面內(nèi)自由電荷的代數(shù)和 這就是高斯通量定理的內(nèi)容 五 高斯定律的文字表述 計算技巧 a 分析場分布的對稱性 判斷能否用高斯定律求解 b 選擇適當?shù)拈]合面作為高斯面 使中的D可作為常數(shù)提出積分號外 高斯定律適用于任何情況 但僅具有一定對稱性的場才有解析解 六 高斯定律的應用 例1 6試求電荷線密度為的無限長均勻帶電體的電場 解 分析場分布 取圓柱坐標系 由 得 圖1 2 8無限長均勻帶電體 球殼內(nèi)的電場 球殼外的電場 例1 7哪些區(qū)域的電場能用高斯定律直接求解 圖1 2 10 q分別在金屬球內(nèi)外 圖1 2 9q在金屬球殼內(nèi) 例1 8真空中有兩個金屬球 外球殼帶電內(nèi)球殼帶電 求 1 內(nèi)球殼外表面 外球殼內(nèi) 外表面的帶電量 2 場中各處的電場強度及電位 比較場強疊加原理和高斯定律兩種解法 用高斯定律比較簡單 因此 能用高斯定律時 盡量不用其他方法 用高斯定律求場強分布 關鍵是對稱性分析 它只是在電場的對稱性已做出分析的基礎上可以求出場強的大小 而E的方向是在分析場分布的空間對稱時就已經(jīng)得出的 試求半徑為a 電荷面密度為的均勻帶電球面的電場 試求半徑為a 電荷體密度為的均勻帶電球體的電場 例1 9一長直圓柱電容器 其長度L遠大于截面半徑 已知內(nèi)外導體的半徑為 中間介質的介電常數(shù)為 求 介質中的電場強度與兩導體電壓之間的關系 例1 10三個半徑分別為 帶電量分別為 求 1 各球殼的電位 2 當外球殼接地 其他球殼不接地時 其他球殼的電位 3 當內(nèi)球殼接地 其他球殼不接地時 其他球殼的電位 試求半徑為a 電荷面密度為的均勻帶電球面的電場 試求半徑為a 電荷體密度為的均勻帶電球體的電場 1 3基本方程 分界面上的銜接條件 1 3 1基本方程 BasicEquation 靜電場是有源無旋場 靜止電荷是靜電場的源 BasicEquationandBoundaryCondition 靜電場的基本方程為 微分形式 積分形式 構成方程 矢量A可以表示一個靜電場 例1 3 1已知試判斷它能否表示靜電場 解 根據(jù)靜電場的旋度恒等于零的性質 包圍點P作高斯面 1 3 2分界面上的銜接條件 BoundaryCondition 1 D的銜接條件 則有 根據(jù) 圖1 3 1介質分界面 D的法向分量不連續(xù) 當時 D的法向分量連續(xù) 是分界面上的自由電荷面密度 2 E的銜接條件 圍繞點P作一矩形回路 E的切向分量連續(xù) 根據(jù) 則有 3 折射定理 當交界面上時 折射定律 圖1 3 2介質分界面 3 的銜接條件 設P1與P2位于分界面兩側 由 其中 圖1 3 3電位的銜接條件 用表示邊界條件 電位連續(xù) 電位的法向分量約束 分界面電位連續(xù) 能量連續(xù) 電位法向分量約束 金屬與介質分界面 即 導體 第一種介質 與電介質 第二種介質 分界面的邊界條件 小結 分界面的邊界條件 沒有特別說明情況下 認為介質分界面無面電荷 1 邊界條件 由積分形式基本方程推導出 切線分量 法線分量 折射定律 折射定律適應于無自由電荷分布的兩種電介質分界面 說明 1 導體表面是等位面 E線與導體表面垂直 圖1 3 4導體與電介質分界面 例1 3 2試寫出導體與電介質分界面上的銜接條件 解 分界面銜接條件 導體中E 0 分界面介質側 2 導體表面上任一點的D等于該點的 解 忽略邊緣效應 圖 a 圖 b 例1 3 3試求兩個平行板電容器的電場強度 圖1 3 5平行板電容器 1 4邊值問題 惟一性定理 1 4 1泊松方程與拉普拉斯方程 Poisson sEquationandLaplace sEquation 泊松方程 拉普拉斯算子 BoundaryValueProblemandUniquenessTheorem 1 4 2邊值問題 BoundaryProblem 邊值問題 微分方程 邊界條件 初始條件 場域邊界條件 待講 分界面銜接條件 強制邊界條件有限值 自然邊界條件有限值 泊松方程 拉普拉斯方程 場域邊界條件 1 第一類邊界條件 狄里赫利條件 Dirichlet 2 第二類邊界條件 諾依曼條件Neumann 3 第三類邊界條件 已知邊界上電位及電位法向導數(shù)的線性組合 已知邊界上導體的電位 已知邊界上電位的法向導數(shù) 即電荷面密度或電力線 求導體電位及場中電位的分布 下頁 上頁 返回 求電場中電位的分布 混合邊值問題 已知一些導體的電位和另一些導體的表面電荷分布密度 求整個電場分布 2 泊松方程與拉普拉斯方程的應用條件 各向同性 線性 均勻介質 3 泊松方程或拉普拉斯方程的邊值問題 第一類邊值問題 又名 第里赫列問題已知導體電位 求電場中電位的分布 第二類邊值問題 又名 聶以曼問題已知導體表面電荷分布密度 求導體電位及場中電位的分布 混合邊值問題 已知一些導體的電位和另一些導體的表面電荷分布密度 求整個電場分布 二 唯一性定理 只要滿足給定的邊值 則泊松方程或拉普拉斯方程的解是唯一的 證明從略 有興趣的同學自己看 參考 矢量分析與場論 計算法 實驗法 解析法 數(shù)值法 實測法 模擬法 邊值問題 例1 4 2試寫出長直同軸電纜中靜電場的邊值問題 解 根據(jù)場分布的對稱性確定計算場域 邊值問題 陰影區(qū)域 圖1 4 1纜心為正方形的同軸電纜 通解 例1 4 3試求體電荷產(chǎn)生的電位及電場 解 采用球坐標系 分區(qū)域建立方程 邊界條件 參考電位 圖1 4 2體電荷分布的球體 電場強度 球坐標梯度公式 得到 圖1 4 3隨r變化曲線 1 4 3惟一性定理 UniquenessTheorem 也即 只要滿足給定的邊值 則泊松方程或拉普拉斯方程的解是唯一的 證明從略 有興趣的同學自己看 參考 矢量分析與場論 惟一性定理 在靜電場中 滿足給定邊界條件的電位微分方程的解是惟一的 答案 C 例1 4 4圖示平板電容器的電位 哪一個解答正確 圖1 4 4平板電容器外加電源U0 1 7鏡像法與電軸法 鏡像法和電軸法的理論依據(jù)都是靜電場的唯一性定理 因此熟練地確定點電荷與接地導體 電介質 平面問題的鏡像電荷的大小和位置 點電荷與接地導體球問題的鏡像電荷的大小和位置 兩平行圓柱導體問題的電軸的位置和電量的大小都是本章的重點 掌握鏡像電荷的求法及鏡像法的有效區(qū)域是本節(jié)的難點 鏡像法處理問題的特點在于不直接去求解電位所滿足的泊松方程 而是在不改變求解區(qū)域電荷分布及邊界條件的前提下 用假象的簡單電荷分布 鏡像電荷 來等效地取代導體面 或電介質分界面 上復雜的感應 極化 電荷對電位的貢獻 從而使問題的求解過程大為簡化 1 7 1鏡像法 鏡象法 分區(qū)均勻媒質看作均勻媒質 用簡單的虛設電荷代替實際復雜的邊界分布電荷 只要邊界條件相同 就可用虛擬電荷計算待研究區(qū)域的電場 一 無限大導電平板的鏡象法 第一類邊值問題 圖1 7 1平面導體的鏡像 方程相同 邊界條件相同 解惟一 空氣中除點電荷外 a 平板撤去 q的鏡象位置放一個 q的點電荷 整個空間充滿的介質 上半空間也可滿足上述方程和上述邊界條件 地面上感應電荷的總量為 方向指向地面 例試求空氣中點電荷q在地面引起的感應電荷分布 解 設點電荷q鏡像后 圖1 7 2地面電荷分布 一般了解 推廣 改為60的夾角 如下圖 則有 個鏡象電荷 思考題 n為整數(shù) 鏡象電荷的個數(shù)為多少個 答案為 2n 1個 二 兩種介質中的鏡象法 1 方程 介質中 除點電荷所在點外 介質中 2 邊界條件 3 處理方法 中的電場計算 空間充滿的介質 利用及計算 中的電場計算 空間充滿的介質 利用計算 代入邊界條件則有 4 推廣 圖1 7 10電場分布圖 中的電場由q與q 共同產(chǎn)生 q 等效替代極化電荷的影響 中的電場由q 決定 q 等效替代自由電荷與極化電荷的作用 圖1 7 11點電荷q1與q2分別置于與區(qū)域中 思考 二 球面導體的鏡像 1 點電荷位于接地導體球外的邊值問題 除q點外的空間 設鏡像電荷如圖 球面電位 圖1 7 3點電荷對接地導體球的鏡像 將r1 r2代入方程 得 聯(lián)立求解 得到 球外任一點P的電位與電場為 圖1 7 5球外的電場分布 鏡像電荷放在當前求解的場域外 鏡像電荷等于負的感應電荷總量 圖1 7 4球外的電場計算 2 不接地金屬球附近放置點電荷q的電場分布 則 任一點場強 解 邊值問題 除q點外的空間 通量為零 大小相等 球面等位 位于球心 思路 圖1 7 6不接地金屬球的鏡像 用鏡像法求解下列問題 試確定鏡像電荷的個數(shù) 大小與位置 圖1 7 7點電荷位于不接地導體球附近的場圖 任一點電位 球面電位 思考 圖1 7 8點電荷對導體球面的鏡像 例1 11參閱附圖 求 1 點電荷所受之力 2 區(qū)域2中 鏡像電荷所在處的電場強度及電位 3 點電荷與邊界距離一半處的電位 例1 12兩種理想介質的交界面為極大的平面 介質1中有點電荷 q 試求介質2中P 0 h 0 點的電位 例1 13有半徑為a的接地導體球 在球的附近有一點電荷q 若電荷到球心的距離為d 1 計算球到任意點P處的電位 2 計算球上感應電荷面密度 3 計算球上感應電荷的總量 4 計算球受到的庫侖力 5 如果導體不接地 則P的電位應如何計算 數(shù)值是多少 例1 14如圖所示 放入介質中 求所受力的作用 例1 15一個半徑為R的導體球上帶有電量為Q的電荷 在距球心d 處有一點電荷 求 1 空間電位分布 2 導體球對點電荷q的力 如何求解 很長的平行帶電圓柱導體的電場 1 7 2電軸法 ElectricAxisMethod 電軸法是用兩根假想的帶等量異號電荷的無限長直線 電軸 來代替兩個帶電柱形導體 這樣就把求解電荷分布不均勻的帶電圓柱產(chǎn)生的電場問題 變成了求解兩電軸在所考慮區(qū)域內(nèi)產(chǎn)生的電場問題 如果代替以后 仍然保持圓柱體上的邊界條件不變 根據(jù)唯一性定理 用線電荷算出的周圍空間的電位就是兩圓柱體周圍空間的電位 這個方法的關鍵是尋找兩根線電荷 即電軸 的位置 導線以外的空間 邊值問題 1 7 12長直平行雙傳輸線 圖1 7 13兩根帶電細導線 一 兩根平行的無限長的線電荷的電場 在P點產(chǎn)生的電位 在P點產(chǎn)生的電位 在P點的總電位 以y軸為參考電位 可令C 0 則P點的電位 令 C 等位線方程 圖1 7 13兩根帶電細導線 K取不同值時 得到一族偏心圓 a h b滿足關系 整理后 等位線方程 圓心坐標 圓半徑 圖1 7 14兩根細導線的等位線 根據(jù) 得到Ex和Ey分量 圖1 7 15兩細導線的場圖 E線方程 思考 若在任一等位面上放一無厚度的金屬圓柱殼 是否會影響電場分布 二 電軸法 平行帶電長圓柱形導體的電場 1 等效電軸 帶電細導線理解為圓柱形導體的作用中心線 故稱為等效電軸 2 電軸法 求解兩帶電的平行圓柱形導體的電場 只需確定它們的等效電軸的位置即可 這種求解方法稱為電軸法 以y軸為參考電位 例1 7 3試求兩帶電長直平行傳輸線的電場及電位分布 b 圓柱導線間的電場與電位 電軸位置 圖1 7 16平行傳輸線電場的計算 例1 7 4試決定圖示不同半徑平行長直導線的電軸位置 圖1 7 17不同半徑傳輸線的電軸位置 解 1 參考電位的位置 2 有效區(qū)域 例1 7 5試確定圖示偏心電纜的電軸位置 注意 圖1 7 18偏心電纜電軸位置 例1 7 6已知平行傳輸線之間電壓為U0 試求電位分布 解 確定電軸的位置 所以 設電軸線電荷 任一點電位 圖1 7 19電壓為U0的傳輸線 鏡像法 電軸法 小結 鏡像法 電軸法 的理論基礎是 鏡像法 電軸法 的實質是 鏡像法 電軸法 的關鍵是 鏡像電荷 電軸 只能放在待求場域以外的區(qū)域 疊加時 要注意場的適用區(qū)域 用虛設的鏡像電荷 電軸 替代未知電荷的分布 使計算場域為無限大均勻媒質 靜電場惟一性定理 確定鏡像電荷 電軸 的個數(shù) 大小及位置 應用鏡像法 電軸法 解題時 注意 1 8電容 電容只與兩導體的幾何尺寸 相互位置及周圍的介質有關 工程上的電容器 電力電容器 電子線路用的各種小電容器 電容的計算思路 設 一 單個導體的電容 孤立導體與無限遠處另一導體間的電容 例1 半徑為R的球形導體的電容計算 二 兩導體之間的電容 例2 兩無限長 半徑為a的圓柱形導線 單位長度的電容的計算 解 設內(nèi)導體的電荷為q 則 同心球