2009 年高考數學試卷中的 問題解決型應用題問題 李光輝 天津師范大學數學科學學院 300387 近幾年 在新課改理念的指導下 我國數學教 育改革以 數學素質教育 為目標 不斷深入 反映 到高考中 就是更加注重數學知識的應用 問題解 決型的數學應用題逐步增多 縱觀今年全國各地 的數學試卷 發現其中有許多問題解決型應用題 然而 考生在這一塊的得分率卻不高 這說明問題 解決型的問題還是值得我們探討的 下面我想結 合今年各地高考試卷中的問題解決型應用題用數 學建模的方法來探討 1 問題解決型 應用題的解答思路 解這類應用題 首先要在閱讀材料 理解題意 的基礎上 應用化歸原則 把實際問題抽象成數學 問題 就是從實際出發 經過去粗取精 抽象概括 利用學過的數學知識建立相應的數學模型 一般 地說 數學模型可以描述為 對于現實世界的一個 特定對象 為了一個特定的目的 根據特有的內在 規律 做出一些必要的假設 運用適當的數學工 具 得到的一個數學結果 再利用數學知識對數 學模型進行分析 研究 得到數學結論后返回到實 際問題中去驗證 思路如下圖 2 解 問題解決型 應用題的一般步驟 2 1 解 問題解決型 應用題的一般步驟 解答這類問題 我們可以類比波利亞的問題 解決策略 3 分為四個步驟 我們把這四個階段簡 單概括為 弄清問題 建立模型 求解模型和還原 結論 1 弄清問題 閱讀理解文字表達的題意 分 清條件和結論 理順數量關系 這一關是基礎 2 建立模型 根據建立數學模型的目的和問 題的背景作出必要的簡化假設 用字母表示待求 的未知量 將文字語言轉化為數學語言 利用數學 知識 建立相應的數學模型 熟悉基本數學模型 正確進行建 模 是關鍵的一關 3 求解模型 求解數學模型 得到數學結論 一要充分注意數學模型中元素的實際意義 更要 注意巧思妙作 優化過程 4 還原結論 將數學結論還原成實際問題的 結果 并用實際現象來驗證結果 2 2 高考中常見應用問題與數學模型 高考中的應用型問題通常有以下幾種 1 優化問題 實際問題中的 優選 控制 等問題 常需通過建立 不等式模型 和 線性規 劃 問題解決 如 2009 年四川卷 理 第 10 題 某企業生產 甲 乙兩種產品 已知生產每噸甲產品要用 A 原 料 3噸 B 原料2 噸 生產每噸乙產品要用A 原料 1 噸 B 原料 3 噸 銷售每噸甲產品可獲得利潤 5 萬元 每噸乙產品可獲得利潤 3萬元 該企業在一 個生產周期內消耗 A 原料不超過 13 噸 B 原料 不超過 18 噸 那么該企業可獲得最大利潤是 A 12萬元 B 20 萬元 C 25 萬元D 27萬元 第一步 弄清問題 閱讀題目 理解文字表達 的題意 分清條件和結論 理順數量關系 532010 年 第 49 卷 第 4 期 數學通報 這道題是讓我們求企業的最大利潤 由已知 條件我們可以列成下表 表 1 產品 原料 原料 A原料 B 利潤 萬 元 每噸 甲 3 噸 每噸 2噸 每噸 5 乙 1 噸 每噸 3噸 每噸 3 第二步 建立數學模型 將上面的已知條件轉 化成數學語言 利用學過的知識 建立數學模型 這道題我們可以用學過的線性規劃來解 解析 設甲 乙種兩種產品各需生產 x y 噸 可使利潤 z 最大 利用 一個周期內消耗 A 原 料不超過 13 噸 可以得到約束條件 3x y 13 利用已知條件 一個周期內消耗 B 原料不超過 18 噸 可以得到約束條件 2x 3y 18 又因為甲乙 兩種都是產品 要么生產 要么不生產 所以它們 都應該是非負數 由此得到約束條件 x 0 和 y 0 而我們的目標是要利潤最大 所以我們的目標 函數應該是 z 5x 3y 所建立的規劃模型如下 3x y 13 2x 3y 18 x 0 y 0 目標函數 Maxz 5x 3y 第三步 求解模型 根據我們學過的線性規劃 的知識 畫出圖像 圖 1 求得最大值 可求出最優解為 x 3 y 4 故 z max 15 12 27 第四步 還原結論 將數學結論還原成實際問 題的結果 由前面的解題過程 可得該企業可獲得 最大利潤是 27 萬元 故選擇 D 2 最 極 值問題 工農業生產 建設及實際 生活中的極限問題常設計成 函數模型 轉化為 求函數的最值 如 2009 湖南卷 理 第 19 題 某地建一座橋 兩端的橋墩已建好 這兩墩相 距 m 米 余下工程只需要建兩端橋墩之間的橋面 和橋墩 經預測 一個橋墩的工程費用為 256 萬 元 距離為 x 米的相鄰兩墩之間的橋面工程費用 為 2 x x 萬元 假設橋墩等距離分布 所有橋 墩都視為點 且不考慮其他因素 記余下工程的費 用為 y 萬元 試寫出 y 關于x 的函數關系式 當 m 640 米時 需新建多少個橋墩才 能使 y 最小 第一步 我們首先要讀懂題目 分清已知條件 和要求的結論 已知 兩墩相距 m 米 當 m 640 米時 需 新建多少個橋墩才能使工程費用 y 最小 第二步 建立模型 根據已知條件 設需要新建 n 個橋墩 n 1 x m 即 n m x 1 所以 y f x 256n n 1 2 x x 256 m x 1 m x 2 x x 256m x mx 2m 256 第三步 模型求解 要求工程費用的最小值 可以考慮通過 導數來解 由 知 f x 256m x 2 1 2 mx 3 2 m 2x 2 x 3 2 512 令 54數學通報 2010 年 第 49 卷 第 4 期 f x 0 得 x 3 2 512 所以 x 64 當 0 x 64 時 f x 0 f x 在區間 0 64 內為減函數 當 64 x 0 f x 在區間 64 640 內為增函數 所以 f x 在 x 64 處取得最小值 此時 n m x 1 640 64 1 9 第四步 還原結論 根據以上求解過程 得到 需新建 9 個橋墩才能使 y 最小 3 測量問題 可設計成 圖形模型 利用幾 何知識解決 如 2009 遼寧卷 文 第 18 題 如圖 A B C D 都在同一個與水平面垂直 的平面內 B D 為兩島上的兩座燈塔的塔頂 測 量船于水面 A 處測得B 點和 D 點的仰角分別為 75 30 于水面 C 處測得 B 點和 D 點的仰角均 為 60 A C 0 1km 試探究圖中 B D 間距離與 另外哪兩點距離相等 然后求 B D 的距離 計算 結果精確到 0 01km 2 1 414 6 2 449 圖 2 應用我們以上所說的四個步驟 弄清問題 建立模型 求解模型和還原結論 我們也可以很快 的解決這道應用題 第一步 弄清問題 已知 如圖 B D 為兩 島上的兩座燈塔的塔頂 測量船于水面 A 處測 得B 點和D 點的仰角分別為 75 30 于水面 C 處測得 B 點和 D 點的仰角均為 60 A C 0 1km 求圖中 B D 間距離與另外哪兩點距離相 等 然后求 B D 的距離 第二步 建立模型 本題實際上已經轉化成了 一個幾何圖形 要求與 B D 間距離相等的線段 可以考慮找全等三角形或者用中垂線定理 要求 B D 距離 可以用解三角形來求 第三步 求解模型 過程如下 在 A CD 中 DA C 30 ADC 60 DAC 30 所以 CD A C 0 1 又 BCD 180 60 60 60 故 CB 是 CAD 底邊 A D 的中垂線 所以 BD BA 在 A BC 中 AB sin BCA A C sin A BC 即 A B A Csin60 sin15 3 2 6 20 因此 BD 3 2 6 20 0 33km 第四步 還原 結論 故 B D 的距離 約為 0 33km 3 小結 數學建模問題存在于我們生活中的許多方 面 應用數學方法解決實際中的應用問題是數學 新課標的重要目標之一 數學教師應該在教學中 滲透數學建模思想 不斷的引導學生用數學的眼 光去觀察 分析和表示各種事物關系和數學信息 從而激發學生學習數學的興趣和養成學生應用數 學建模的方法去解決問題的習慣 參考文獻 1 姜啟源 數學模型 北京 高等教育出版社 1993 2 波利亞 怎樣解題 閻育蘇譯 北京 科學出版社 1982 3 中華人民共和國教育部 普通高中數學課程標準 北京 人民