1 1 ABC 中 中 a b c分別是分別是CBA 的對邊 已知的對邊 已知10a 32b 23 c 則 則 sinsinbBcC 的值等于 的值等于 解析 注意到 222 52 652 610bca 所以A 為直角 所以sin b B a sin c C a 所以 22 2 sinsin1 bc bBcC a 2 若若045 且 且 3 sincos7 16 求 求sin 的值的值 解析 方法 1 解析 方法 1 由 由 22 363 sincos7sincos 16256 結合 結合 22 sincos1 可得 可得 222 6397 sin 1 sin sin 2561616 或 由由045 可知可知 22 1 sinsin 45 2 故 故 2 77 sinsin 164 方法方法 2 由 由 33 sincos72sincos7 168 結合 結合 22 sincos1 可得 可得 337 sincos17 84 337 cossin17 84 故 故 7 sin 4 3 3 利用頂角為利用頂角為36 的等腰三角形來求的等腰三角形來求sin18 的值 的值 解析 如圖 等腰ABC 中 ABAC 36BAC 作ABC 的平分線 交AC于點 E 取BC中點 D 連接 AD 則ADBC 設CDx 則2BCBEAEx 由角平分線定理可知 AEAB ECBC 即 2 2 xAC ECx 又2ACAECExCE 故 22 240CExCEx 從而 22 5 15 2 xx CEx 又0CE 故 51CEx 于是 151 sin18 415 251 CDx AC xx 另 解 通 過 證 明ABC BEC 也 可 得 出 上 述 關 系 式 22 240CExCEx ABC 222 240 BCAC BECBCAC CECExCEx CEBC 點評 以上兩個例題主要考察如何利用特殊角來求其它特殊角的三角函數值 例 10 介紹的是一種典型的題型和方 法 解題技巧一定要掌握 4 4 化簡計算 化簡計算 1 22 2sincos 2cossin 2 2 sin 701 2sin20 cos20sin201 3 1sin1sin1cos1cos 1sin1sin1cos1cos 090 4 化簡 4 化簡 222 tan1tan2 tan89 sin 1sin 2 sin 89 5 若銳角 5 若銳角 A 滿足滿足tancot2AA 求 求 22 tancotAA 的值 的值 6 化簡 化簡 22 tan 40cot 402 7 化簡 7 化簡 2 2 sincossin 1sincostg 解析 1 1 2222 2sincos 2cossin 5 sincos 5 2 2 sin 701 2sin20 cos20sin201sin70 cos20sin20 1 sin201 E D C B A 3 原式 2222 2222 1sin1sin1cos1cos 1sin1sin1cos1cos 由090 可知 0cos1 0sin1 故原式 1sin1sin1cos1cos coscossinsin 2sin2cos 4 cossin 4 tan1tan2 tan89tan451 22222222 sin 1sin 2 sin 89sin 1cos 1sin 2cos 2 sin 45 189 44 22 故原式 2 89 5 5 tancot2AA tancot1AA 22222 tancot tancot2tancottancot24AAAAAAAA 22 tancot426AA 6 6 tancot1 又 又tan40cot 9040 cot50cot40 22 tan 40cot 402 22 tan 40cot 402tan40 cot40 2 cot40tan40 cot40tan40 7 原式 2 2 22 cossincossin cossinsincos 22 cossin sincos cossin 5 5 已知已知tan 2 求下列各式的值 求下列各式的值 sincos sincos 22 2sinsincoscos 解析 sin 1 sincostan11 cos sin sincostan13 1 cos 另解 sin tan22sin2cos cos 代入原式即可 由 22 sincos1 可知 22 22 22 2sinsincoscos 2sinsincoscos sincos 2 2 2tantan1 tan1 2 22217 55 另解 sin tan22sin2cos cos 代入原式有 222 2sinsincoscos7cos 將sin2cos 代入 22 sincos1 可得 2 5cos1 故原式 7 5 6 如果如果sincosa sincosb 222 sincossinb 求 求a b的值 的值 解析 可得 22 sincosab 由 可知 2 sinabb 可得 1 2sinsin 2 abab 從而 1 cos 2 ab 從而有 2 1 210 2 abbabbab 若0ab 則sin0 1 cos 2 abb 故 2 11bb 此時1a 若 1 210 2 bb 則由 22 22 12 22 abab ab 故 7 2 a 綜上所述 1 1 a b 1 1 a b 7 2 1 2 a b 7 2 1 2 a b 7 7 若若 0 30 且 且 1 sin 3 km k為常數 且為常數 且k 0 則 則m的取值范是的取值范是 用 用 k 表示 表示 解析 解析 0 30 sin0 sin sin30 即 即0 sin 1 2 0 1 3 km 1 2 所以 所以 11 36 km 又因為 又因為0k 11 63 m kk 8 8 已知 已知 ABC 中 中 A B C 的對邊分別是的對邊分別是 a b c若若 a b是關于是關于x的一元二次方程的一元二次方程 2 4 480 xcxc 的兩個根 且的兩個根 且925 sin caA 1 求證求證 ABC是直角三角形是直角三角形 2 求求 ABC的三邊長的三邊長 解析 解析 1 a b是方程是方程 2 4 480 xcxc 的兩個根 的兩個根 4 48abc abc 222222 2 4 2 48 816816abababcccccc ABC是直角三角形是直角三角形 C 90 2 在在Rt ABC中 中 sin a A c 并代入 并代入925 sincaA 得得 22 925 ca 34 55 ac bc 由由 34 4 4 55 abcccc 得 10c 且此時 且此時0 從而從而6 8ab 9 9 在在 ABC 中 中 sin sin2 1AB 且 且 22 2cbbc 求 求 ABC 的度數 解析 分析 的度數 解析 分析 題目中涉及了角的正弦的關系 以及邊的關系 常規方法便是利用正弦定理 解 解 由正弦定理 得 sin 2 sin aA bB 2ab 又由余弦定理得 222 2cosabcbcA 把 代入 得 22 2cosbcbcA 再把已知條件 22 2cbbc 代入 得 22 22cosbbbcbcA 0bc 2 cos 2 A 45A 21 sinsin 22 BA 又 AB 30B 即30ABC 10 已知 已知 ABC 中 方程中 方程 2 sinsin sinsin sinsin 0BA xAC xCB 的兩根相等 求證的兩根相等 求證 60B 解析 分析 解析 分析 兩根相等則判別式為0 但是觀察系數的規律 是否有其他的好辦法呢 解 解 此方程系數之和為0 1x 必為此方程的根 又 此方程兩根相等 12 1xx 12 sinsin 1 sinsin CB x x BA 又由正弦定理 有cbba 2 ca b 再由余弦定理 有 222 22222 3 2621 2 cos 22882 ca ac cabaccacaca B cacacaca 60B 且等號不會成立 否則方程就不存在了 11 在在ABC 中 已知中 已知 3abc abcab 3 sinsin 4 AB 試判定此三角形的形狀 試判定此三角形的形狀 解析 分析 解析 分析 題目中涉及的仍然是角的正弦的關系以及邊的關系 解 解 3abc abcab 222 abcab 兩邊同除以2ab 得 222 1 22 abc ab 即 1 cos 2 C 60C 3 sinsin 4 AB 由正弦定理 有 3 224 ab RR 即 2 3abR 又由正弦定理有 2sin3 CC R C 22 3RC 把 代入 得 2 abc 由 有 22 ababab