完全平方公式 劉永峰總體說明:完全平方公式則是對多項式乘法中出現(xiàn)的較為特殊的算式的一種歸納、總結(jié)同時，完全平方公式的推導(dǎo)是初中數(shù)學(xué)中運用推理方法進(jìn)行代數(shù)式恒等變形的開端，通過完全平方公式的學(xué)習(xí)對簡化某些整式的運算、培養(yǎng)學(xué)生的求簡意識有較大好處而且完全平方公式是后繼學(xué)習(xí)的必備基礎(chǔ)，不僅對學(xué)生提高運算速度、準(zhǔn)確率有較大作用，更是以后學(xué)習(xí)分解因式、分式運算、解一元二次方程以及二次函數(shù)的恒等變形的重要基礎(chǔ)，同時也具有培養(yǎng)學(xué)生逐漸養(yǎng)成嚴(yán)密的邏輯推理能力的作用因此學(xué)好完全平方公式對于代數(shù)知識的后繼學(xué)習(xí)具有相當(dāng)重要的意義本節(jié)是北師大版七年級數(shù)學(xué)下冊第一章整式的運算的第8小節(jié)，占兩個課時，這是第一課時，它主要讓學(xué)生經(jīng)歷探索與推導(dǎo)完全平方公式的過程，培養(yǎng)學(xué)生的符號感與推理能力，讓學(xué)生進(jìn)一步體會數(shù)形結(jié)合的思想在數(shù)學(xué)中的作用一、學(xué)生學(xué)情分析學(xué)生的技能基礎(chǔ)：學(xué)生通過對本章前幾節(jié)課的學(xué)習(xí)，已經(jīng)學(xué)習(xí)了整式的概念、整式的加減、冪的運算、整式的乘法、平方差公式，這些基礎(chǔ)知識的學(xué)習(xí)為本節(jié)課的學(xué)習(xí)奠定了基礎(chǔ)學(xué)生活動經(jīng)驗基礎(chǔ)：在平方差公式一節(jié)的學(xué)習(xí)中，學(xué)生已經(jīng)經(jīng)歷了探索和應(yīng)用的過程，獲得了一些數(shù)學(xué)活動的經(jīng)驗，培養(yǎng)了一定的符號感和推理能力；同時在相關(guān)知識的學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生經(jīng)歷了很多探究學(xué)習(xí)的過程，具有了一定的獨立探究意識以及與同伴合作交流的能力二、教學(xué)目標(biāo)知識與技能：（1）讓學(xué)生會推導(dǎo)完全平方公式，并能進(jìn)行簡單的應(yīng)用（2）了解完全平方公式的幾何背景數(shù)學(xué)能力：（1）由學(xué)生經(jīng)歷探索完全平方公式的過程，進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的符號感與推理能力（2）發(fā)展學(xué)生的數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想情感與態(tài)度：將學(xué)生頭腦中的前概念暴露出來進(jìn)行分析，避免形成教學(xué)上的“相異構(gòu)想”三、教學(xué)重難點教學(xué)重點：1、完全平方公式的推導(dǎo)；2、完全平方公式的應(yīng)用；教學(xué)難點：1、消除學(xué)生頭腦中的前概念，避免形成“相異構(gòu)想”；2、完全平方公式結(jié)構(gòu)的認(rèn)知及正確應(yīng)用四、教學(xué)設(shè)計分析本節(jié)課設(shè)計了十一個教學(xué)環(huán)節(jié)：學(xué)生練習(xí)、暴露問題驗證推廣到一般情況，形成公式數(shù)形結(jié)合進(jìn)一步拓廣總結(jié)口訣公式應(yīng)用學(xué)生反饋學(xué)生PK學(xué)生反思鞏固練習(xí)第一環(huán)節(jié)：學(xué)生練習(xí)、暴露問題活動內(nèi)容：計算：（a+2）2設(shè)想學(xué)生的做法有以下幾種可能：（a+2）2=a2+22（a+2）2=a2+2a+22正確做法；針對這幾種結(jié)果都將a=1代入計算，得出都是錯誤的，但的做法是否一定正確呢？怎么驗證？活動目的：在很多學(xué)生的頭腦中，認(rèn)為兩數(shù)和的完全平方與兩數(shù)的平方和等同，即：（a+2）2=a2+22，如果不將這種定式思維推翻，就很難建立起一個正確的概念；這一環(huán)節(jié)的目的就是讓學(xué)生的這種錯誤或其它錯誤充分暴露出來，并讓學(xué)生充分認(rèn)識到自己原有的定式思維是錯誤的，為下一步構(gòu)建新的思維模式埋下伏筆第二環(huán)節(jié)：驗證（a+2）2=a24a+22活動內(nèi)容：（a+2）2=（a+2）（a+2）=a2+2a+2a+22活動目的：在前一環(huán)節(jié)已經(jīng)打破了學(xué)生的原有的思維定式的基礎(chǔ)上，給學(xué)生建立正確的思維方法，避免形成“相異構(gòu)想”第三環(huán)節(jié)：推廣到一般情況，形成公式活動內(nèi)容：（a+b）2=（a+b）（a+b）=a2+ab+ab+b2=a2+2ab +b2活動目的：讓學(xué)生經(jīng)歷從特殊到一般的探究過程，體驗到發(fā)現(xiàn)的快樂第四環(huán)節(jié)：數(shù)形結(jié)合活動內(nèi)容：設(shè)問：在多項式的乘法中，很多公式都都可以用幾何圖形進(jìn)行解釋，那么完全平方公式怎樣用幾何圖形解釋呢？展示動畫，用幾何圖形詮釋完全平方公式的幾何意義學(xué)生思考：還有沒有其它的方法來詮釋完全平方公式？（課后思考）活動目的：讓學(xué)生進(jìn)一步認(rèn)識到數(shù)與形都不是孤立存在的，數(shù)與形是可以有機地結(jié)合在一起，從而發(fā)展學(xué)生的數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想第五環(huán)節(jié)：進(jìn)一步拓廣活動內(nèi)容：推導(dǎo)兩數(shù)差的完全平方公式：（ab）2=a22ab +b2方法1：（ab）2=（ab）（ab）=a2abab+b2=a22ab +b2方法2：（ab）2=a+(b)2=a2+2a(b) +(b)2=a22ab +b2活動目的：讓學(xué)生經(jīng)歷由兩數(shù)和的完全平方公式拓廣到兩數(shù)差的完全平方公式的過程，體會到符號差異帶來的結(jié)果差異，由第二種推導(dǎo)方法體會到兩數(shù)差的完全平方公式是兩數(shù)和的完全平方公式的應(yīng)用第六環(huán)節(jié)：總結(jié)口訣、認(rèn)識特征活動內(nèi)容：比較兩個公式的共同點與不同點：（a+b）2=a2+2ab +b2（ab）2=a22ab+b2特征：左邊都是一個二項式的完全平方，兩者僅有一個符號不同；右邊都是二次三項式，其中第一、三項是公式左邊二項式中每一項的平方，中間一項是左邊二項式中兩項乘積的兩倍，兩者也僅一個符號不同；公式中的a、b可以是任意一個代數(shù)式（數(shù)、字母、單項式、多項式）口訣：首平方，尾平方，首尾相乘的兩倍在中央活動目的：認(rèn)識完全平方公式的特征，總結(jié)出完全平方公式的口訣，便于學(xué)生理解與記憶，避免學(xué)生在應(yīng)用該公式中出現(xiàn)錯誤第七環(huán)節(jié)：公式應(yīng)用活動內(nèi)容：例：計算：（2x3）2；（4x+）2解：（2x3）2=（2x）22(2x)3+32=4x212x+9（4x+）2=(4x)2+2(4x)()+()2=16x2+2xy+活動目的：在前幾個環(huán)節(jié)中，學(xué)生對完全平方公式已經(jīng)有了感性認(rèn)識，通過本環(huán)節(jié)的講解以及下一環(huán)節(jié)的練習(xí)，使學(xué)生逐步經(jīng)歷認(rèn)識模仿再認(rèn)識從而上升到理性認(rèn)識的階段第八環(huán)節(jié)：隨堂練習(xí)活動內(nèi)容：計算：；（n+1）2n2活動目的：通過學(xué)生的反饋練習(xí)，使教師能全面了解學(xué)生對完全平方公式的理解是否到位，完全平方公式的應(yīng)用是否得當(dāng)，以便教師能及時地進(jìn)行查缺補漏第九環(huán)節(jié)：學(xué)生PK活動內(nèi)容：每個學(xué)生各出五道完全平方公式的計算題給自己的同桌解答，比一比誰的準(zhǔn)確性率高，速度快活動目的：活躍課堂氣氛，激起學(xué)生的好勝心，進(jìn)一步鞏固學(xué)生對完全平方公式的理解與應(yīng)用第十環(huán)節(jié)：學(xué)生反思活動內(nèi)容：通過今天這堂課的學(xué)習(xí)，你有哪些收獲？收獲1：認(rèn)識了完全平方公式，并能簡單應(yīng)用；收獲2：了解了兩數(shù)和與兩數(shù)差的完全平方公式之間的差異；收獲3：感受到數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想在數(shù)學(xué)中的作用活動目的：通過對一堂課的歸納與總結(jié)，鞏固學(xué)生對完全平方公式的認(rèn)識，體會數(shù)學(xué)思想的精妙第十一環(huán)節(jié)：布置作業(yè)：課本P43習(xí)題1.13五、教學(xué)設(shè)計反思1、在學(xué)習(xí)完全平方公式之前，總會有相當(dāng)一部分同學(xué)認(rèn)為（a+b）2=a2+b2，甚至有很多學(xué)生在學(xué)習(xí)了這個公式之后也依然有這種概念存在，這就形成了“相異構(gòu)想”，要將這種錯誤的前概念消滅在萌芽狀態(tài)，僅靠反復(fù)說教很難行得通，只有讓他的錯誤大暴露，然后“動手術(shù)”剔除才能徹底消滅，由此就產(chǎn)生這種結(jié)構(gòu)的教學(xué)設(shè)計；2、完全平方公式一定要在學(xué)生充分探究的基礎(chǔ)上得出，這是一個培養(yǎng)學(xué)生推理能力的好機會，切不可為搶進(jìn)度，冒然給出公式，然后記憶、再用大量的時間進(jìn)行反復(fù)練習(xí)，如果這樣做，可能學(xué)生會應(yīng)用得很好，但只是知其然，卻不知其所以然