第2課時平面向量數量積的坐標運算 第2章 2 4向量的數量積 學習目標1 理解兩個向量數量積坐標表示的推導過程 能運用數量積的坐標表示進行向量數量積的運算 2 能根據向量的坐標計算向量的模 并推導平面內兩點間的距離公式 3 能根據向量的坐標求向量的夾角及判定兩個向量垂直 題型探究 問題導學 內容索引 當堂訓練 問題導學 知識點一平面向量數量積的坐標表示 思考1 i i j j i j分別是多少 答案i i 1 1 cos0 1 j j 1 1 cos0 1 i j 0 答案 設i j是兩個互相垂直且分別與x軸 y軸的正半軸同向的單位向量 思考2 取i j為坐標平面內的一組基底 設a x1 y1 b x2 y2 試將a b用i j表示 并計算a b 答案 a x1i y1j b x2i y2j a b x1i y1j x2i y2j x1x2i2 x1y2 x2y1 i j y1y2j2 x1x2 y1y2 答案 思考3 若a b 則a b坐標間有何關系 答案a b a b 0 x1x2 y1y2 0 若向量a x1 y1 b x2 y2 梳理 x1x2 y1y2 a b x1x2 y1y2 0 知識點二平面向量的模 思考1 若a x y 試將向量的模 a 用坐標表示 答案 a xi yj x y r a2 xi yj 2 xi 2 2xyi j yj 2 x2i2 2xyi j y2j2 又 i2 1 j2 1 i j 0 a2 x2 y2 a 2 x2 y2 a 答案 思考2 若a x1 y1 b x2 y2 如何計算向量的模 答案 向量的模及兩點間的距離 梳理 知識點三向量的夾角 題型探究 類型一平面向量數量積的坐標運算 例1已知a與b同向 b 1 2 a b 10 1 求a的坐標 解設a b 2 0 則有a b 4 10 2 a 2 4 解答 2 若c 2 1 求a b c 及 a b c 解 b c 1 2 2 1 0 a b 10 a b c 0a 0 a b c 10 2 1 20 10 反思與感悟 此類題目是有關向量數量積的坐標運算 靈活應用基本公式是前提 設向量一般有兩種方法 一是直接設坐標 二是利用共線或垂直的關系設向量 還可以驗證一般情況下 a b c a b c 即向量運算結合律一般不成立 跟蹤訓練1向量a 1 1 b 1 2 則 2a b a 解析因為a 1 1 b 1 2 所以2a b 2 1 1 1 2 1 0 則 2a b a 1 0 1 1 1 1 答案 解析 類型二向量的模 夾角問題 解答 例2在平面直角坐標系xoy中 o是原點 如圖 已知點a 16 12 b 5 15 解答 2 求 oab oab 45 反思與感悟 利用向量的數量積求兩向量夾角的一般步驟 1 利用向量的坐標求出這兩個向量的數量積 2 利用 a 求兩向量的模 3 代入夾角公式求cos 并根據 的范圍確定 的值 跟蹤訓練2已知a 1 1 b 1 若a與b的夾角 為鈍角 求 的取值范圍 解 a 1 1 b 1 解答 又 a b的夾角 為鈍角 1且 1 的取值范圍是 1 1 1 類型三向量垂直的坐標形式 例3 1 已知a 3 2 b 1 0 若向量 a b與a 2b垂直 則實數 的值為 解析由向量 a b與a 2b垂直 得 a b a 2b 0 因為a 3 2 b 1 0 所以 3 1 2 1 2 0 答案 解析 解答 反思與感悟 利用向量數量積的坐標表示解決垂直問題的實質是把垂直條件代數化 若在關于三角形的問題中 未明確哪個角是直角時 要分類討論 1 解析 答案 3 2t 2 1 t 1 0 t 1 當堂訓練 1 已知a 3 1 b 1 2 則a與b的夾角為 1 2 3 4 5 又 a b的夾角范圍為 0 答案 解析 1 2 3 4 5 abc 30 30 答案 解析 1 2 3 4 5 3 已知向量m 1 1 n 2 2 若 m n m n 則 解析因為m n 2 3 3 m n 1 1 由 m n m n 可得 m n m n 2 3 3 1 1 2 6 0 解得 3 3 答案 解析 4 已知平面向量a b 若a 4 3 b 1 且a b 5 則向量b 1 2 3 4 5 a b方向相同 答案 解析 5 已知a 4 3 b 1 2 1 求a與b的夾角的余弦值 1 2 3 4 5 解答 解 a b 4 1 3 2 2 2 若 a b 2a b 求實數 的值 1 2 3 4 5 解答 解 a b 4 3 2 2a b 7 8 a b 2a b a b 2a b 7 4 8 3 2 0 1 平面向量數量積的定義及其坐標表示 提供了數量積運算的兩種不同的途徑 準確地把握這兩種途徑 根據不同的條件選擇不同的途徑 可以優化解題過程 同時 平面向量數量積的兩種形式溝通了 數 與 形 轉化的橋梁 成為解決距離 角度 垂直等有關問題的有力工具 2 應用數量積運算可以解決兩向量的垂直 平行 夾角以及長度等幾何問題 在學習中要不斷地提高利用向量工具解決數學問題的能力 規律與方法 3 注意區分兩向量平行與垂直的坐標形式 二者不能混淆 可以對比學習 記憶 若a x1 y1 b x2 y2 則a b x1y2 x2y1 0