學習資料收集于網絡，僅供參考平面向量基本定理與三角形四心已知是內的一點，的面積分別為，求證：如圖2延長與邊相交于點則圖1 圖2 推論是內的一點，且，則有此定理可得三角形四心向量式是的重心是的內心是的外心是的垂心 證明：如圖為三角形的垂心，同理得，奔馳定理是三角形四心向量式的完美統一4.2三角形“四心”的相關向量問題一知識梳理：四心的概念介紹：(1) 重心：中線的交點，重心將中線長度分成2：1；(2) 垂心：高線的交點，高線與對應邊垂直；(3) 內心：角平分線的交點（內切圓的圓心），角平分線上的任意點到角兩邊的距離相等；(4) 外心：中垂線的交點（外接圓的圓心），外心到三角形各頂點的距離相等。l 與“重心”有關的向量問題1 已知是所在平面上的一點，若，則是的( )A重點B外心C內心D垂心如圖.M 圖圖 2已知是平面上一定點，是平面上不共線的三個點，動點滿足，則的軌跡一定通過的( ).A重點B外心C內心D垂心【解析】由題意，當時，由于表示邊上的中線所在直線的向量，所以動點的軌跡一定通過的重心，如圖.3 .O是ABC所在平面內一點，動點P滿足（0，+），則動點P的軌跡一定通過ABC的（）A內心B重心C外心D垂心解：作出如圖的圖形ADBC，由于sinB=sinC=AD，=由加法法則知，P在三角形的中線上故動點P的軌跡一定通過ABC的重心故選：Bl 與“垂心”有關的向量問題3 是所在平面上一點，若，則是的( )A重點B外心C內心D垂心【解析】由，得，即，所以同理可證，是的垂心如圖. 圖圖4已知是平面上一定點，是平面上不共線的三個點，動點滿足，則動點的軌跡一定通過的( )A重點B外心C內心D垂心【解析】由題意，由于，即,所以表示垂直于的向量，即點在過點且垂直于的直線上，所以動點的軌跡一定通過的垂心，如圖.5若為所在平面內一點，且則點是的( )A重點B外心C內心D垂心BCHA圖6證明: 得即 同理， 故H是ABC的垂心l 與“內心”有關的向量問題6已知為所在平面上的一點，且， 若，則是的( )A重點B外心C內心D垂心圖圖【解析】，則由題意得，與分別為和方向上的單位向量，與平分線共線，即平分同理可證：平分，平分從而是的內心，如圖.7已知是平面上一定點，是平面上不共線的三個點，動點滿足 ，則動點的軌跡一定通過的( )A重點B外心C內心D垂心【解析】由題意得，當時，表示的平分線所在直線方向的向量，故動點的軌跡一定通過的內心，如圖.8若O在ABC所在的平面內：=，則O是ABC的（）A垂心B重心C內心D外心解：向量的模等于1，因而向量是單位向量向量、和等都是單位向量由向量、為鄰邊構成的四邊形是菱形，可得AO在BAC的平分線上同理可得OB平分ABC，OA平分ACB，O是ABC的內心故選：Cl 與“外心”有關的向量問題8已知是所在平面上一點，若，則是的( )A重點B外心C內心D垂心圖圖【解析】若，則，則是的外心，如圖。9 已知是平面上的一定點，是平面上不共線的三個點，動點滿足，則動點的軌跡一定通過的( )。A重點B外心C內心D垂心【解析】由于過的中點，當時，表示垂直于的向量（注意：理由見二、4條解釋。），所以在垂直平分線上，動點的軌跡一定通過的外心，如圖l 四心的相互關系1.三角形外心與垂心的向量關系及應用設的外心為，則點為的垂心的充要條件是。2.三角形外心與重心的向量關系及應用設的外心為，則點為的重心的充要條件是3.三角形的外心、重心、垂心的向量關系及應用設的外心、重心、垂心分別為、，則、三點共線（、三點連線稱為歐拉線），且。相關題目10設ABC外心為O，重心為G取點H，使求證：（1）H是ABC的垂心；（2）O，G，H三點共線，且OG：GH=1：2【解答】證明：（1）ABC外心為O，又則=0即AHBC同理