兩角差的余弦公式教學設計沁源一中 竇紅霞一、 學情分析本課時面對的學生是高一年級的學生，數學表達能力和邏輯推理能力正處于高度發展的時期，學生對探索未知世界有主動意識，對新知識充滿探求的渴望。 在學習本節課之前，學生已經學習了任意角三角函數的概念、平面向量的坐標表示以及向量數量積的坐標表示，這為他們探究兩角差的余弦公式建立了良好的知識基礎。二、 教學內容分析本節內容是教材必修4第三章三角恒等變換第一節，推導得到兩角差的余弦公式是本章所涉及的所有公式的源頭。過去教材曾用余弦定理證明兩角和的余弦公式，雖能對學生進行思維訓練，但過程繁瑣，不易被學生接受。由于向量工具的引入，新教材選擇了兩角差的余弦公式作為基礎，這樣處理使得公式的得出成為一個純粹的代數運算，大大地降低了思考的難度，也更易于學生接受。從知識產生的角度來看，在學習了三角函數及平面向量后再學習由這些知識推導出的新知識也更符合知識產生的規律，符合人們認知的規律。從知識的應用價值來看，重視數學知識的應用，是新教材的顯著特點，課本中豐富的生活實例為學生用數學的眼光看待生活、體驗生活即數學理念，體驗用數學知識解決實際問題，有助于增強學生的數學應用意識。基于上述分析，本節課的教學重點是引導學生通過合作、交流，探索兩角差的余弦公式，為后續簡單的恒等變換的學習打好基礎。三、 教學目標1、知識目標通過兩角差的余弦公式的探究，讓學生在初步理解公式的結構及其功能的基礎上記憶公式，并用之解決簡單的數學問題，為后面推導其他和（差）角公式打好基礎。2、能力目標通過利用同角三角函數變換及向量推導兩角差的余弦公式，讓學生體會利用聯系的觀點來分析問題，解決問題，提高學生邏輯推理能力和合作學習能力3、情感目標使學生經歷數學知識的發現、創造的過程，體驗成功探索新知的樂趣，獲得對數學應用價值的認識，激發學生提出問題的意識以及努力分析問題、解決問題的激情。四、 教學重點、難點重點：通過探索得到兩角差的余弦公式。難點：探索過程的組織和適當引導。五、 教學基本流程 引入問題，提出探究明確途徑，組織和引導學生自主探索 例題、練習講解，深化公式的理解與運用小 結 作 業 六、 教學過程(一) 問題引入我們在初中時就知道一些特殊角的三角函數值，例如，而，那么大家猜想一下，等于多少呢？是不是等于呢？根據我們在第一章所學的知識可知我們的猜想是錯誤的！也就是一般不等于，下面我們就一起探究兩角差的余弦公式。（設計意圖：教科書以一個實際問題（求電視發射塔的高度）作為引子，目的在于提出問題，引入研究課題。同時幫助學生認識到數學與實際生活有關，體會數學的應用價值。解決這個實際應用問題需要用方程的思想分析問題，考慮到我班學生的實際情況，這樣做一定程度會搶去這節課主要研究內容的風頭。而且，在這個問題中要解決的與這節課要研究的的聯系不夠直接。用來引入，一來可以節省時間，二來引出課題更加直接，更加自然。）(二) 公式探究第一步，明確探究途徑與目的yOxAB提示學生聯系與角的余弦相關的知識點，明確以向量運算中的數量積與三角函數線作為研究途徑。如右圖，在單位圓中作出角，它們的終邊與單位圓分別交于A、B兩點，先假設，且，提出以下問題：（1） 此時的取值范圍是多少？（2） 圖中哪個角可以表示？（3） 可以看作是哪兩個向量的夾角？（問題設計目的：在探究公式的過程中，教材不要求學生做到一步到位。首先對角選擇較為特殊的范圍來進行探究，能讓學生從整體上感知本節課所要探究的途徑與目的，讓大部分學生都參與到探究中來，避免部分學生一開始就感覺到困難，提不起向下探究的興趣。）第二步，復習相關知識（1）向量的數量積運算（強調向量夾角的范圍）（2）三角函數線（結合圖形，特別要強調方向問題）第三步，推導公式在證明公式之前先引導學生結合三角函數知識寫出點A、點B的坐標。證明：在平面直角坐標系xOy內作單位圓O，以Ox為 始邊作角，其中，且，它們的終邊與單位圓O的交點分別為A，B，則 由向量數量積的坐標表示，有： 由，且知，那么向量的夾角就是，由數量積的定義，有于是 （1） 由于我們前面的推導均是在，且的條件下進行的，因此（1）式還不具備一般性。事實上，只要，所表示的就是向量的夾角。（這一點可以結合圖形作出說明。） 但是，若，（1）式是否依然成立呢？當時，設與的夾角為，則另一方面，于是所以也有 綜上所述，得出公式：對任意的，（說明：公式的推導遵循由淺入深，由特殊到一般，逐層深入的規律，這樣安排，能讓更多學生參與到探究當中。教材當中對公式給出了兩種證明方法，一是幾何方法，一是向量方法。幾何方法的推導過程較為繁難，教材僅僅對特殊情況作了分析，而向量方法則顯得更加直觀和簡潔。為了讓學生體驗向量工具的優點，可以布置學生在預習時按照教材的思路采取幾何方法進行證明。）第四步，公式的記憶讓學生自己總結公式的特點，便于記憶。注： 1.公式中兩邊的符號正好相反（一正一負）；2.式子右邊同名三角函數相乘再加減，且余弦在前正弦在后；3.式子中、是任意的。(三) 例題講解例1 利用差角余弦公式求。解：方法一：方法二：（設計意圖：此題是對公式的直接應用，體現了角的拆分的思想。拆分的多樣性，體現了變換的多樣性。求解的過程可以完全由學生獨立完成。）思考：如何求？（設計意圖：由的值求的值，為后面變換函數種類的思考作出鋪墊。）解題思路： 解：由，得又由是第三象限角，得所以 =（設計意圖：此題是應用、理解公式的基礎練習，解此題需要思考使用公式前應作出的必要準備，要作出這些必要的準備，需要運用到同角三角函數的知識。解題時必須強調解決三角變換問題的基本要求：思維的有序性和表述的條理性。）思考：如果去掉條件中的，對題目和結果有沒有影響？（設計意圖：讓學生學習分類討論的思想，提高表達能力。）例3 化簡求值（設計意圖：此題是對公式的逆用，目的是加強學生對公式的理解與應用。）例4已知都是銳角，求 的值。（設計意圖：此題是對公式的活用，由學生討論解決。此題一般有兩種方法可以求解。一種方法是把分解，此公式還沒推導，但部分學生可能會把看作，然后用兩角差的余弦公式分解，再結合同角三角函數的基本關系求解。這種方法雖然較繁，但卻讓學生在無意當中發現了兩角和的余弦公式。另一種方法是把看做兩角差，即，這種方法顯然計算要簡單得多。通過不同方法的講解，鼓勵學生從不同的角度思考問題，并指引學生在考試中選擇較為簡便的方法解題。