11、任意角的三角函數（1）一、教學內容分析三角函數是描述周期運動現象的重要的數學模型，有非常廣泛的應用.直角三角形簡單樸素的邊角關系，以直角坐標系為工具進行自然地推廣而得到簡明的任意角的三角函數定義，緊緊扣住三角函數定義這個寶貴的源泉，自然地導出三角函數線、定義域、符號判斷、同角三角函數關系、多組誘導公式、圖象和性質。三角函數定義必然是學好全章內容的關鍵，如果學生掌握不好，將直接影響到后續內容的學習，由三角函數定義的基礎性和應用的廣泛性決定了本節教材的重點就是定義本身.二、學生學習情況分析在初中學生學習過銳角三角函數。因此本課的內容對于學生來說，有比較厚實的基礎，新課的引入會比較容易和順暢。學生要面對的新的學習問題是，角的概念推廣了，原先學生所熟悉的銳角三角函數的定義是否也可以推廣到任意角呢？通過這個問題，讓學生體會到新知識的發生是可能的，自然的。三、設計思想教學中注意用新課程理念處理教材，采用學生自主探索、動手實踐、合作交流、閱讀自學，師生互動，教師發揮組織者、引導者、合作者的作用，引導學生主體參與、揭示本質、經歷過程. 根據本節課內容、高一學生認知特點，本節課采用“啟發探索、講練結合”的方法組織教學.四、教學目標1掌握任意角的正弦、余弦、正切的定義（包括這三種三角函數的定義域和函數值在各象限的符號）；2、理解任意角的三角函數不同的定義方法；掌握并能初步運用公式一；樹立映射觀點，正確理解三角函數是以實數為自變量的函數.3、通過單位圓和角的終邊,探討任意角的三角函數值的求法,最終得到任意角三角函數的定義.根據角終邊所在位置不同,分別探討各三角函數的定義域以及這三種函數的值在各象限的符號.借助有向線段進一步認識三角函數. 4、通過任意三角函數的定義，認識銳角三角函數是任意三角函數的一種特例，加深特殊與一般關系的理解。5、通過三角函數的幾何表示，使學生進一步加深對數形結合思想的理解，拓展思維空間。通過學生積極參與知識的“發現”與“形成”的過程，培養合情猜測的能力，從中感悟數學概念的嚴謹性與科學性。五、教學重點和難點重點: 任意角的正弦、余弦、正切的定義（包括這三種三角函數的定義域和函數值在各象限的符號）；終邊相同的角的同一三角函數值相等（公式一）.難點: 任意角的正弦、余弦、正切的定義（包括這三種三角函數的定義域和函數值在各象限的符號）；六、教學過程設計教學過程一、復習引入、回想再認（情景1）我們在初中通過銳角三角形的邊角關系，學習了銳角的正弦、余弦、正切等三個三角函數. 請回想：這三個三角函數分別是怎樣規定的？學生口述后再投影展示，教師再根據投影進行強調： 對邊鄰邊sin=，con=，tan=（圖1） 二、 引伸鋪墊、創設情景（情景2）我們已經把銳角推廣到了任意角，銳角的三角函數概念也能推廣到任意角嗎？試試看，可以獨立思考和探索，也可以互相討論！留時間讓學生獨立思考或自由討論，教師參與討論或巡回對學困生作啟發引導. 能推廣嗎？怎樣推廣？針對剛才的問題點名讓學生回答. 用角的對邊、臨邊、斜邊比值的說法顯然是受到阻礙了，由于1.1節已經以直角坐標系為工具來研究任意角了，學生一般會想到（否則教師進行提示）繼續用直角坐標系來研究任意角的三角函數. 教師對學生回答情況進行點評后布置任務情景：請同學們用直角坐標系重新研究銳角三角函數定義！師生共做（學生口述，教師板書圖形和比值）：把銳角安裝（如何安裝？角的頂點與原點重合，角的始邊與x軸非負半軸重合）在直角坐標系中，在角終邊上任取一點P，作PMx軸于M，構造一個RtOMP，則 MOP=（銳角），設P（x,y）（x0、y0），的臨邊OM =x、對邊MP=y，斜邊長|OP=r.根據銳角三角函數定義用x、y、r列出銳角的正弦、余弦、正切三個比值，并補充對應列出三個倒數比值：xOMP(x,y)ysin=，con=，tan= ?= ?= ?=（圖2）（情景3）思考：對于確定的角，這三個比值是否會隨點在的終邊上的位置的改變而改變呢？a的終邊P(x,y)Oxy顯然，我們可以將點取在使線段的長的特殊位置上，這樣就可以得到用直角坐標系內的點的坐標表示銳角三角函數：; ; .思考：上述銳角的三角函數值可以用終邊上一點的坐標表示.那么,角的概念推廣以后，我們應該如何對初中的三角函數的定義進行修改，以利推廣到任意角呢？本節課就研究這個問題任意角的三角函數.先讓學生想象思考，作出主觀判斷，再用幾何畫板動畫演示，同時作好解釋說明：引導學生觀察圖3，聯系相似三角形知識，探索發現：對于銳角的每一個確定值，三個比值都是xOMPy（圖3）PM確定的，不會隨P在終邊上的移動而變化. 三、探究新知1.探究:結合上述銳角的三角函數值的求法,我們應如何求解任意角的三角函數值呢? 顯然,我們只需在角的終邊上找到一個點,使這個點到原點的距離為1,然后就可以類似銳角求得該角的三角函數值了.所以,我們在此引入單位圓的定義:在直角坐標系中,我們稱以原點為圓心,以單位長度為半徑的圓.2.思考:如何利用單位圓定義任意角的三角函數的定義?如圖,設是一個任意角,它的終邊與單位圓交于點,那么:(1)叫做的正弦(sine),記做,即；（2）叫做的余弦(cossine),記做,即；（3）叫做的正切(tangent),記做,即.注意:當是銳角時，此定義與初中定義相同（指出對邊，鄰邊，斜邊所在）；當不是銳角時，也能夠找出三角函數，因為，既然有角，就必然有終邊，終邊就必然與單位圓有交點，從而就必然能夠最終算出三角函數值.四、 探索定義域（情景4）1、函數概念的三要素是什么？函數三要素：對應法則、定義域、值域. 正弦函數sin的對應法則是什么？正弦函數sin的對應法則，實質上就是sin的定義：對的每一個確定的值，有唯一確定的比值y/r與之對應，即 y/r= sin.2、布置任務情景：什么是三角函數的定義域？請求出三個三角函數的定義域，填寫下表：三角函數sincostan定義域引導學生自主探索：如果沒有特別說明，那么使解析式有意義的自變量的取值范圍叫做函數的定義域，三角函數的定義域自然是指：使比值有意義的角的取值范圍. 關于sin=y/r、cos=x/r，對于任意角（弧度數），r0，y/r、x/r恒有意義，定義域都是實數集R. 對于tan=y/x，= k+/2 時x=0，y/x無意義，tan的定義域是：|R，且k+/2 . 教師指出: sin、cos、tan的定義域必須緊扣三角函數定義在理解的基礎上記熟。 五、符號判斷、形象識記（情景5）能判斷三角函數值的正、負嗎？試試看！引導學生緊緊抓住三角函數定義來分析，r0,三角函數值的符號決定于x、y值的正負，根據終邊所在位置總結出形象的識記口訣：yxyxyxsin= y/r：上正下負橫為0 cos=x/r：左負右正縱為0 tan=y/x：交叉正負六、 練習鞏固、理解記憶1、 自學 例1：求的正弦、余弦和正切值。2、 角的終邊經過點P（3，-4），求的正弦，余弦及正切值. 課堂練習：p17題1、2、3處理：要求取點用定義求解，針對計算過程提問、點評，理解鞏固定義. 強調：終邊在坐標軸上的角叫軸線角，如0、/2 、3/2 等，今后經常用到軸線角的三角函數值，要結合三角函數定義記熟這些值. 七、 回顧小結、建構網絡要求全體學生根據教師所提問題進行總結識記，提問檢查并強調：1你是怎樣把銳角三角函數定義推廣到任意角的？或者說任意角三角函數具體是怎樣定義的？（建立直角坐標系，使角的頂點與坐標原點重合，-，在終邊上任意取定一點P，-）2你如何判斷和記憶正弦、余弦、正切函數的定義域？（根據定義，-）3你如何記憶正弦、余弦、正切函數值的符號？（根據定義，想象坐標位置， -）設計意圖：遺忘的規律是先快后慢，回顧再現是記憶的重要途徑，在課堂內及時總結識記主要內容是上策. 此處以問題形式讓學生自己歸納識記本節課的主體內容，抓住要害，人人參與，及時建構知識網絡，優化知識結構，培養認知能力. 八、布置課外作業1書面作業：習題1.2第1、2題.2認真閱讀p20“閱讀與思考：三角學與天文學”，了解三角學在天文學中的重要作用。 12、任意角的三角函數（1）一、教學內容分析：本節課是三角函數這一章里最重要的一節課，它是本章的基礎，主要是從通過問題引導學生自主探究任意角的三角函數的生成過程，從而很好理解任意角的三角函數的定義。在課程標準中：三角函數是基本初等函數，它是描述周期現象的重要數學模型，在數學和其他領域中具有重要的作用。課程標準還要求我們借助單位圓去理解任意角的三角函數（正弦、余弦、正切）的定義。在本模塊中，學生將通過實例學習三角函數及其基本性質，體會三角函數在解決具有變化規律的問題中的作用。二、學生學習情況分析我們的課堂教學常用“高起點、大容量、快推進”的做法，忽略了知識的發生發展過程，以騰出更多的時間對學生加以反復的訓練，無形增加了學生的負擔，泯滅了學生學習的興趣。我們雖然刻意地去改變教學的方式，但仍太多舊時的痕跡，若為了新課程而新課程又會使得美景變成了幻影，失去新課程自然與清純之味。如何讓學生把對初中銳角三角函數的定義及解直角三角形的知識遷移到學習任意角的三角函數的定義中？普通高中數學課程標準(實驗)解讀中在三角函數的教學中，教師應該關注以下兩點：第一、根據學生的生活經驗，創設豐富的情境，例如單調彈簧振子，圓上一點的運動，以及音樂、波浪、潮汐、四季變化等實例，使學生感受周期現象的廣泛存在，認識周期現象的變化規律，體會三角函數是刻畫周期現象的重要模型以及三角函數模型的意義。第二、注重三角函數模型的運用即運用三角函數模型刻畫和描述周期變化的現象（周期振蕩現象），解決一些實際問題，這也是課程標準在三角函內容處理上的一個突出特點。根據課程標準的指導思想，任意角的三角函數的教學應該幫助學生解決好兩個問題：其一：能從實際問題中識別并建立起三角函數的模型；其二：借助單位圓理解任意角三角函數的定義并認識其定義域、函數值的符號。三、設計理念：本節課通過多媒體信息技術展示摩天輪旋轉及生成的圖像，讓學生感受到數學來源于生活，數學應用于生活，激發同學們學習的樂趣。并通過問題的探究，體驗“數學是過程的思想”，改變課程實施過程于強調接受學習，死記硬背，機械訓練的現狀，倡導學生主動參與，樂于探究，勤于動手，培養學生學生收集和處理信息的能力，獲得新知識的能力，分析與解決問題的能力以及交流合作的能力。四、教學目標：1.借助摩天輪的情景問題很好地融合初中對三角函數的定義，也能很好入在直角坐標系中，很好將銳角三角函數的定義向任意角的三角函數過渡，從通過問題引導學生自主探究任意角的三角函數的生成過程，從而很好理解任意角的三角函數的定義；2.從任意角的三角函數的定義認識其定義域、函數值的符號；3.能初步應用定義分析和解決與三角函數值有關的一些簡單問題。五、教學重點和難點：1.教學重點：任意角三角函數的定義.2.教學難點：正弦、余弦、正切函數的定義域.具體設計如下：六、教學過程第一部分情景引入問題1:如圖是一個摩天輪，假設它的中心離地面的高度為，它的直徑為2R，逆時針方向勻速轉動，轉動一周需要360秒，若現在你坐在座艙中，從初始位置OA出發（如圖1所示），過了30秒后，你離地面的高度為多少？過了45秒呢？過了秒呢？【設計意圖】：高中學生已經具有豐富的生活經驗和一定的科學知識，因此選擇感興趣的、與其生活實際密切相關的素材，此情景設計應該有助于學生對知識的發生發展的理解。這個數學模型很好融合初中對三角函數的定交，也能放在直角坐標系中，很好地將銳角三角函數的定義向任意角三角函數過渡，揭示函數的本質。第二部分復習回顧銳角三角函數讓學生自主思考如何解決問題：“過了30秒后，你離地面的高度為多少？”【分析】：作圖如圖2很容易知道：從起始位置OA運動30秒后到達P點位置，由題意知，作PH垂直地面交OA于M，又知MH，所以本問題轉變成求PH再次轉變為求PM。要求PM就是回到初中所學的解直角三角形的問題即銳角的三角函數。問題2：銳角的正弦函數如何定義？【學生自主探究】：學生很容易得到所以學生很自然得到“過了30秒后，過了45秒,你離地面的高度為多少？”【教師總結】：在銳角的范圍中，第三部分引入新課問題3：請問的范圍呢？隨著時間的推移，你離地面的高度為多少？能不能猜想？【分析】：若想做到這一點，就得把銳角的正弦推廣到任意角的正弦。今天我們就要來學習任意角的三函數角函數。問題4：如圖建立直角坐標系，設點，能你用直角坐標系中角的終邊上的點的坐標來表示銳角的正弦函數的定義嗎？能否也定義其它函數（余弦、正切）？【學生自主探究】：，問題5：改變終邊上的點的位置，這三個比值會改變嗎？為什么？【分析】：先由學生回答問題，教師再引導學生選幾個點，計算比值，獲得具體認識，并由相似三角形的性質證明。【設計意圖】：讓學生深刻理解體會三角函數值不會隨著終邊上的點的位置的改變而改變，只與角有關系。通過摩天輪的演示，讓學生感受到第一象限角的正弦可以跟銳角正弦的定義一樣。問題6：大家根據第一象限角的正弦函數的定義，能否也給出第二象限角的定義呢？【學生自主探究】：學生通過上面已知知識得到學生定義好第二象限角后，讓學生自己算出摩天輪座艙在第150秒時，離地面的高度？通過摩天輪知道：由此得到：【設計意圖】：通過這個，讓學生檢驗在第二象限角是否正確？問題7：在第三象限角或第四象限能成立嗎？【設計意圖】：讓學生通過模型，檢驗定義是否正確，從中讓學生自己發現正、負符號的偏差。（可以讓學生取，從而得到，發現這與不相符，實際上是）【教師總結】：我們通過個模型知道如何在某些范圍內如何計算自已此時離地面的高度，用數學模型來表示，當摩天輪轉動，角度的概念也不知不覺地推廣到任意角，對于任意角的正弦不能只是依賴于角所在的直角三角形中的對邊的長度比斜邊長度了，我更應該用點P的橫坐標來代替或，那么這樣就能夠很好表示出正弦的函數任意角的定義。第三部分給出任意角三角函數的定義如圖3,已知點為角終邊上的點，點到頂點的距離為R，則 （） （） （）【分析】：讓學生通過剛才的模型進一步體驗任意角三角函數的定義要點：點、點的坐標、點到頂點的距離。問題8：當摩天輪的半徑R1時，三角函數的定義會發生怎樣的變化。【學生自主探究】：，。教師引導學生進行對比，學生通過對比發現取到原點的距離為1的點可以使表達式簡化。教師進一步給出單位圓的定義給出下列表格，讓學生自己補充完整。三角函數定義一：定義二：定義域及時歸納總結有利學生對所學知識的鞏固和掌握。第三部分例題講解例1.（課本P14例2）已知角終邊經過點，求角的正弦、余弦和正切值。【分析】：讓學生現學現賣，得用上面的定義二就可以得到答案。例2.（課本P14例1）求的正弦、余弦和正切值。【學生自主探究】：讓學生自己思考并獨立完成。然后與課本的解答相對比一下，發現本題的難點。【教師講解】：本題題意很簡單，但是如何入手卻是難點，關鍵是對本節課的三角函數定義的要點有沒有領會清楚（任意角三角函數的定義要點：點、點的坐標、點到頂點的距離），因此本題的重點之處是如何利用單位圓找到這個點P，如圖4可以知道，又點P在第四象限，得到，這樣就可以很容易得到本題答案。不妨讓學生取，能否也得到點P的坐標，得到的三角函數值是否與單位圓的一樣。這樣可以讓學生更深刻體驗三角函數的定義。第四部分鞏固練習練習1.例2變式求的正弦、余弦和正切值。練習2.問題9：通過觀察摩天輪的旋轉，三角函數的角的終邊所在象限不同，請說說三角函數在各個象限內的三角函數值的符號?獨立完成課本P15的“探究”。【設計意圖】：練習1、練習2的設計與例2、例3銜接，主要目的是幫助學生鞏固三角函數的本質特征，引導學生從定義出發利用坐標平面內的點的坐標特征自主探究三角函數的有關問題的思想方法。并在特殊情形中體會數形結合的