初三數學復習 數與式 第一課時 實數的有關概念【知識要點】（一）實數的有關概念 （1）實數的分類 當然還可以分為：正實數、零、負實數。 有理數還可以分為：正有理數，零，負有理數 （2）數軸： 數軸是研究實數的重要工具，是在數與式的學習中，實現數形結合的載體，數軸的三要素：原點、正方向和單位長度，實數與數軸上的點是一一對應的，我們還可以利用這種一、一對應關系來比較兩個實數的大小。 （3）絕對值 絕對值的幾何意義：一個數的絕對值是這個數在數軸上的對應點到原點的距離。 （4）相反數、倒數 若a、b兩個數為互為相反數，則a+b=0。 若m、n兩個數互為倒數，則mn=1。 （5）三種非負數： “幾個非負數的和等于零，則必定每個非負數都同時為零”的結論常用于化簡，求值。（6）平方根、算術平方根、立方根的概念。如果一個數的平方等于a，這個數就叫做a的平方根一個正數有兩個平方根，它們互為相反數；0有 一個平方根，它是0本身；負數沒有平方根a(a0)的平方根記作 一個正數a的正的平方根，叫做a的算術平方根a(a0)的算術平方根記作 （7）科學計數法、有效數字和近似值的概念。1.近似數：一個近似數，四舍五入到那一位，就說這個近似數精確到哪一位2.有效數字：一個近似數，從左邊第一個不是0的數字起，到精確到的數位為止，所有的數字，都叫做這個近似數的有效數字3.科學記數法：把一個數用 (1 10，n為整數)的形式記數的方法叫科學記數法【典型例題：】P2例1、(2012貴州六盤水，5，3分)數字，中無理數的個數是（ ）A1 B2 C3 D4點評：此題主要考查了無理數的定義，其中：（1）有理數都可以化為小數，其中整數可以看作小數點后面是零的小數，例如5=5.0；分數都可以化為有限小數或無限循環小數（2）無理數是無限不循環小數，其中有開方開不盡的數（3）有限小數和無限循環小數都可以化為分數，也就是說，一切有理數都可以用分數來表示；而無限不環小數不能化為分數，它是無理數P2例4、（2012湖北省恩施市，題號16 分值 4）觀察下表：根據表中數的排列規律，B+D=_.例題補充、（2012河北省17,3分）17、某數學活動小組的20位同學站成一列做報數游戲，規則是：從前面第一位同學開始，每位同學依次報自己順序的倒數加1，第1位同學報，第2位同學報，這樣得到的20個數的積為_. 第二課時：實數的運算及比較大小【知識要點】一、實數的運算1.加法：同號兩數相加，取相同的符號，并把絕對值相加；絕對值不相等的異號兩數相加，取絕對值較大的加數的符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值；互為相反數的兩個數相加得0；一個數同0相加，仍得這個數2.減法：減去一個數等于加上這個數的相反數3.乘法：幾個非零實數相乘，積的符號由負因數的個數決定，當負因數有偶數個時，積為正；當負因數有奇數個時，積為負幾個數相乘，有一個因數為0，積就為04.除法：除以一個數，等于乘上這個數的倒數兩個數相除，同號得正，異號得負，并把絕對值相除0除以任何一個不等于0的數都得05.乘方與開方 (1)an所表示的意義是n個a相乘，正數的任何次冪是正數，負數的偶次冪是正數，負數的奇次冪是負數(2)正數和0可以開平方，負數不能開平方；正數、負數和0都可以開立方(3)零指數與負指數二、實數大小的比較1.對于數軸上的任意兩個點，靠右邊的點所表示的數較大.2.正數都大于0，負數都小于0，兩個正數，絕對值較大的那個正數大；兩個負數；絕對值大的反而小.3.對于實數a、b，若a-b0 ab；a-b=0 a=b；a-b0 ab.4.對于實數a，b，c，若ab，bc，則ac.5.無理數的比較大小：利用平方轉化為有理數：如果 ab0，a2b2 則 ab ；或利用倒數轉化：如比較 與 .三、實數運算順序加和減是一級運算，乘和除是二級運算，乘方和開方是三級運算這三級運算的順序是三、二、一如果有括號，先算括號內的；如果沒有括號，同一級運算中要從左至右依次運算四、實數的運算律加法交換律：a+b=b+a加法結合律：(a+b)+c=a+(b+c)乘法交換律：ab=ba乘法結合律：(ab)c=a(bc)乘法分配律：(a+b)c=ac+bc【典型例題：】P3例3（2012山東省聊城，10，3分）如右圖所示的數軸上，點B與點C關于點A對稱，A、B兩點對應的實數是和-1，則點C所對應的實數是（ ）A. 1+ B. 2+ C. 2-1 D. 2+1P4例 4(2012廣東汕頭，21，7分)觀察下列等式：第1個等式：a1=（1）；第2個等式：a2=（）；第3個等式：a3=（）；第4個等式：a4=（）；請解答下列問題：（1）按以上規律列出第5個等式：a5=；（2）用含有n的代數式表示第n個等式：an=（n為正整數）；（3）求a1+a2+a3+a4+a100的值分析：（1）（2）觀察知，找第一個等號后面的式子規律是關鍵：分子不變，為1；分母是兩個連續奇數的乘積，它們與式子序號之間的關系為 序號的2倍減1和序號的2倍加1（3）運用變化規律計算第三課時：整式與因式分解（1） ：【整式知識梳理】 代數式的分類 1.整式有關概念 （1）單項式：只含有 的積的代數式叫做單項式。單項式中_叫做這個單項式的系數；單項式中_叫做這個單項式的次數； （2）多項式：幾個 的和，叫做多項式。_ 叫做常數項。 多項式中_的次數，就是這個多項式的次數。多項式中_的個數，就是這個多項式的項數。2.同類項、合并同類項（1）同類項：_ 叫做同類項；（2）合并同類項：_ 叫做合并同類項；（3）合并同類項法則： （4）去括號法則：括號前是“”號，_ 括號前是“”號，_ （5）添括號法則：添括號后，括號前是“+”號，插到括號里的各項的符號都 ；括號前是“”號，括到括號里的各項的符號都 。3.整式的運算（1）整式的加減法：運算實質上就是合并同類項，遇到括號要先去括號。（2）整式的乘除法： 4.冪的運算：同底數冪的乘法，底數不變，指數相加。即：（,都是正整數）。 冪的乘方，底數不變，指數相乘。即：（,都是正整數）。 積的乘方等于每一個因數乘方的積。即：（是正整數）同底數冪相除，底數不變，指數相減。即：（ ）， ，（）5、整式的乘法：（1）單項式與單項式相乘，把它們的系數、相同字母的冪分別相乘，其余字母連同它的指數不變，作為積的因式。 （2）單項式乘以多項式： 。（3）乘法公式：平方差： 。完全平方公式： 。6.整式的除法：（1）單項式相除：把它們的系數、相同字母分別相除，作為商的因式；對于只在被除式里含有的字母，則連同它的指數作為商的一個因式，相同字母相除要用到同底數冪的運算性質。（2）多項式除以單項式：先把這個多項式的每一項除以這個單項式，再把所得的商相加7.代數式的化簡求值 含有絕對值的代數式的化簡，通常可利用數軸的直觀性；整式的化簡求值常常要靈活運用配方法、換元法、整體代換思想和構造思想；分式的化簡求值一般可對分子、分母的多項式因式分解、約分。再運用分式的性質化簡計算；二次根式的化簡求值一般應先考慮能否利用二次根式的性質，配方法、乘法公式等化簡計算。（2） 【因式分解知識梳理】 1分解因式：把一個多項式化成 的形式，這種變形叫做把這個多項式分解因式2分解困式的方法： 提公團式法：如果一個多項式的各項含有公因式，那么就可以把這個公因式提出來，從而將多項式化成兩個因式乘積的形式，這種分解因式的方法叫做提公因式法 運用公式法：平方差公式: ； 完全平方公式: ；3分解因式的步驟：（1）分解 因式時，首先考慮是否有公因式，如果有公因式，一定先提取公團式，然后再考慮是否能用公式法 分解（2）在用公式時，若是兩項，可考慮用平方差公式；若是三項，可考慮用完全平方公式；若是三項以上，可先進行適當的分組，然后分解因式。【典型例題：】P6例4、分解因式（x-1）2-2（x-1）+1的結果是（）A（x-1）（x-2） Bx2 C（x+1）2 D（x-2）2 P6例5( 2012年浙江省寧波市,20,6)同樣大小的黑色棋子按如圖所示的規律擺放：第4個第3個第2個第1個（1） 第5個圖形有多少顆黑色棋子？（2） 第幾個圖形有2013顆棋子？說明理由。 第四課時 分式【整式知識梳理】1分式有關概念（1）分式：分母中含有字母的式子叫做分式。對于一個分式來說：當_時分式有意義。當_時分式沒有意義。只有在同時滿足_，且_這兩個條件時，分式的值才是零。（2）最簡分式：一個分式的分子與分母_時，叫做最簡分式。（3）約分：把一個分式的分子與分母的_約去，叫做分式的約分。將一個分式約分的主要步驟是：把分式的分子與分母_，然后約去分子與分母的_。（4）通分：把幾個異分母的分式分別化成與_相等的_的分式叫做分式的通分。通分的關鍵是確定幾個分式的_ 。（5）最簡公分母：通常取各分母所有因式的最高次冪的積作公分母，這樣的公分母叫做最簡公分母。求幾個分式的最簡公分母時，注意以下幾點：當分母是多項式時，一般應先 ；如果各分母的系數都是整數時，通常取它們的系數的 作為最簡公分母的系數；最簡公分母能分別被原來各分式的分母整除；若分母的系數是負數，一般先把“”號提到分式本身的前邊。2分式性質：（1）基本性質：分式的分子與分母都乘以（或除以）同一個 ，分式的值 （2）符號法則：_ 、_ 與_的符號， 改變其中任何兩個，分式的值不變。即：3.分式的運算： 注意：為運算簡便， 若分式的分子與分母的各項系數是分數或小數時，一般要化為整數。 若分式的分子與分母的最高次項系數是負數時，一般要化為正數。 （1）分式的加減法法則：（1）同分母的分式相加減， ，把分子相加減；（2）異分母的分式相加減，先 ，化為 的分式，然后再按 進行計算（2）分式的乘除法法則：分式乘以分式，用_做積的分子，_做積的分母，公式：_；分式除以分式，把除式的分子、分母_后，與被除式相乘，公式： ；（3）分式乘方是_，公式_。4分式的混合運算順序，先 ，再算 ，最后算 ，有括號先算括號內。5對于化簡求值的題型要注意解題格式，要先化簡，再代人字母的值求值【典型例題：】類型一：分式的基本性質 例2、（2012浙江省義烏市，8，3分）下列計算錯誤的是( )A B C D類型二：分式化簡求值例、2012廣東肇慶，20，7）先化簡，后求值：，其中=-4 第五課時 數的開方與二次根式【知識梳理】1.二次根式：形如（a0）的式子叫做二次根式。注意：（1）在二次根式中，被開放數可以是數，也可以是單項式、多項式、分式等代數式，但必須注意：因為負數沒有平方根，所以a0是為二次根式的前提條件，如，等是二次根式，而，等都不是二次根式。（2）二次根式有意義的條件：由二次根式的意義可知，當a0時，有意義，是二次根式，所以要使二次根式有意義，只要使被開方數大于或等于零即可。（3）二次根式（a0）的非負性（a0）表示a的算術平方根，也就是說，（a0）是一個非負數，即0（a0）。2.、最簡二次根式：同時滿足：被開方數的因數是整數，因式是整式（分母中不含根號）； 被開方數中含能開得盡方的因數或因式。這樣的二次根式叫做最簡二次根式。3.、同類二次根式：幾個二次根式化成最簡二次根式后，如果被開方數相同，這幾個二次根式就叫同類二次根式。4.、二次根式的性質（1）（a0）描述為：一個非負數的算術平方根的平方等于這個非負數。注意：二次根式的性質公式（a0）是逆用平方根的定義得出的結論。上面的公式也可以反過來應用：若a0，則，如：，。（2）描述為：一個數的平方的算術平方根等于這個數的絕對值。注意：、化簡時，一定要弄明白被開方數的底數a是正數還是負數，若是正數或0，則等于a本身，即；若a是負數，則等于a的相反數-a,即；k、中的a的取值范圍可以是任意實數，即不論a取何值，一定有意義；、化簡時，先將它化成，再根據絕對值的意義來進行化簡。（3）與的異同點不同點：與表示的意義是不同的，表示一個正數a的算術平方根的平方，而表示一個實數a的平方的算術平方根；在中，而中a可以是正實數，0，負實數。但與都是非負數，即，。因而它的運算的結果是有差別的，（a0），而k、相同點：當被開方數都是非負數，即a0時，=；a0時，無意義，而。5、二次根式的運算（1）因式的外移和內移：如果被開方數中有的因式能夠開得盡方，那么，就可以用它的算術根代替而移到根號外面；如果被開方數是代數和的形式，那么先解因式