學業分層測評(一)(建議用時：45分鐘)學業達標一、選擇題1.abcd中三個頂點a，b，c的坐標分別是(1,2)，(3,0)，(5,1)，則頂點d的坐標是()a.(9，1)b.(3,1)c.(1,3)d.(2,2)【解析】設d點坐標為(x，y)，則即故d點坐標為(1,3).故應選c.【答案】c2.方程(x24)2(y24)20表示的圖形是()a.兩條直線b.四條直線c.兩個點d.四個點【解析】由方程得解得或或或故選d.【答案】d3.在同一平面直角坐標系中，將曲線ycos 2x按伸縮變換后為()a.ycos xb.y3cosxc.y2cosxd.ycos 3x【解析】由得代入ycos 2x，得cos x.ycos x，即曲線ycos x.【答案】a4.將圓x2y22x4y10平分的直線是()a.xy10b.xy30c.xy10d.xy30【解析】因為圓心是(1,2)，所以將圓心坐標代入各選項驗證知選c.【答案】c5.平面內有一條固定線段ab，|ab|4，動點p滿足|pa|pb|3，o為ab的中點，則|op|的最小值是() 【導學號：12990002】a.b.c.2d.3【解析】以ab的中點o為原點，ab所在直線為x軸建立平面直角坐標系，如圖，則點p的軌跡是以a，b為焦點的雙曲線的一部分.2c4，c2,2a3，a，b2c2a24.點p的軌跡方程為1.由圖可知，點p為雙曲線與x軸的右交點時，|op|最小，|op|的最小值是.【答案】a二、填空題6.x軸上的單位長度為y軸上單位長度的2倍的平面直角坐標系中，以原點為圓心，4為半徑的圓的圖形變為_.【解析】如果x軸上的單位長度不變，y軸上的單位長度縮小為原來的，圓x2y216的圖形變為中心在原點，焦點在x軸上的一個橢圓.【答案】橢圓7.已知點a(2,0)，b(3,0)，動點p(x，y)滿足x21，則點p的軌跡方程是_.【解析】由題意得(2x，y)，(3x，y)，(2x)(3x)(y)2x21，即y25x50.【答案】y25x508.如圖112所示，正方體abcda1b1c1d1的棱長為1，點m在ab上，且amab，點p在平面abcd上，且動點p到直線a1d1的距離的平方與p到點m的距離的平方差為1，在平面直角坐標系xay中，動點p的軌跡方程是_.圖112【解析】過p作pqad于q，再過q作qha1d1于h，連結ph，pm，可證pha1d1，設p(x，y)，由|ph|2|pm|21，得x211，化簡得y2x.【答案】y2x三、解答題9.臺風中心從a地以20 km/h的速度向東北方向移動，離臺風中心30 km內的地區為危險區，城市b在a地正東40 km處，求城市b處于危險區內的時間.【解】以a為坐標原點，ab所在直線為x軸，建立平面直角坐標系，則b點坐標為(40,0)，以點b為圓心，30為半徑的圓的方程為(x40)2y2302，臺風中心移動到圓b內時，城市b處于危險區，臺風中心移動的軌跡為直線yx，與圓b相交于點m，n，點b到直線yx的距離d20.求得|mn|220(km).所以1，所以城市b處于危險區內的時間為1 h.10.a為定點，線段bc在定直線l上滑動.已知|bc|4，a到l的距離為3，求abc的外心的軌跡方程.【解】建立平面直角坐標系，使x軸與l重合，a點在y軸上(如圖)，則a點的坐標為(0,3).設外心p點的坐標為(x，y).p在bc的垂直平分線上，b(x2,0)，c(x2,0).p也在ab的垂直平分線上，|pa|pb|，即，化簡得x26y50.這就是所求的軌跡方程.能力提升1.方程x2xy0的曲線是()a.一個點b.一條直線c.兩條直線d.一個點和一條直線【解析】x2xyx(xy)0，即x0或xy0.故方程x2xy0表示兩條直線.【答案】c2.已知abc的底邊bc長為12，且底邊固定，頂點a是動點，且sin bsin csin a，若以底邊bc為x軸、底邊bc的中點為原點建立平面直角坐標系，則點a的軌跡方程是() 【導學號：12990003】a.1b.1(x3)c.1d.1(x3)【解析】由題意知，b(6,0)，c(6,0)由sin bsin csin a，得bca6，即|ac|ab|6.所以點a的軌跡是以b(6,0)，c(6,0)為焦點，2a6的雙曲線的左支且y0.其方程為1(x1)的點的軌跡.給出下列三個結論：曲線c過坐標原點；曲線c關于坐標原點對稱；若點p在曲線c上，則f1pf2的面積不大于a2.其中，所有正確結論的序號是_.【解析】因為原點o到兩個定點f1(1,0)，f2(1,0)的距離的積是1，而a1，所以曲線c不過原點，即錯誤；因為f1(1,0)，f2(1,0)關于原點對稱，所以|pf1|pf2|a2對應的軌跡關于原點對稱，即正確；因為sf1pf2|pf1|pf2|sin f1pf2|pf1|pf2|a2，即面積不大于a2，所以正確.【答案】4.學校科技小組在計算機上模擬航天器變軌返回試驗.設計方案如圖113，航天器運行(按順時針方向)的軌跡方程為1，變軌(即航天器運行軌跡由橢圓變為拋物線)后返回的軌跡是以y軸為對稱軸，m為頂點的拋物線的實線部分，降落點為d(8,0).觀測點a(4,0)，b(6,0).圖113(1)求航天器變軌后的運行軌跡所在的曲線方程；(2)試問：當航天器在x軸上方時，航天器離觀測點a，b分別為多遠時，應向航天器發出變軌指令？【解】(1)設曲線方程為yax2，點d(8,0)在拋物線上，a，曲線方程