2013年江蘇省高考數學試卷一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共計70分請把答案填寫在答題卡相印位置上1（5分）（2013江蘇）函數y=3sin（2x+）的最小正周期為_2（5分）（2013江蘇）設z=（2i）2（i為虛數單位），則復數z的模為_3（5分）（2013江蘇）雙曲線的兩條漸近線方程為_4（5分）（2013江蘇）集合1，0，1共有_個子集5（5分）（2013江蘇）如圖是一個算法的流程圖，則輸出的n的值是_6（5分）（2013江蘇）抽樣統計甲、乙兩位射擊運動員的5此訓練成績（單位：環），結果如下：運動員第一次第二次第三次第四次第五次甲8791908993乙8990918892則成績較為穩定（方差較小）的那位運動員成績的方差為_7（5分）（2013江蘇）現在某類病毒記作XmYn，其中正整數m，n（m7，n9）可以任意選取，則m，n都取到奇數的概率為_8（5分）（2013江蘇）如圖，在三棱柱A1B1C1ABC中，D，E，F分別是AB，AC，AA1的中點，設三棱錐FADE的體積為V1，三棱柱A1B1C1ABC的體積為V2，則V1：V2=_9（5分）（2013江蘇）拋物線y=x2在x=1處的切線與兩坐標軸圍成三角形區域為D（包含三角形內部和邊界）若點P（x，y）是區域D內的任意一點，則x+2y的取值范圍是_10（5分）（2013江蘇）設D，E分別是ABC的邊AB，BC上的點，AD=AB，BE=BC，若=1+2（1，2為實數），則1+2的值為_11（5分）（2013江蘇）已知f（x）是定義在R上的奇函數當x0時，f（x）=x24x，則不等式f（x）x 的解集用區間表示為_12（5分）（2013江蘇）在平面直角坐標系xOy中，橢圓C的標準方程為（ab0），右焦點為F，右準線為l，短軸的一個端點為B，設原點到直線BF的距離為d1，F到l的距離為d2，若d2=，則橢圓C的離心率為_13（5分）（2013江蘇）在平面直角坐標系xOy中，設定點A（a，a），P是函數y=（x0）圖象上一動點，若點P，A之間的最短距離為2，則滿足條件的實數a的所有值為_14（5分）（2013江蘇）在正項等比數列an中，a6+a7=3，則滿足a1+a2+ana1a2an的最大正整數n的值為_二、解答題：本大題共6小題，共計90分請在答題卡指定區域內作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟15（14分）（2013江蘇）已知=（cos，sin），=（cos，sin），0（1）若|=，求證：；（2）設=（0，1），若+=，求，的值16（14分）（2013江蘇）如圖，在三棱錐SABC中，平面SAB平面SBC，ABBC，AS=AB，過A作AFSB，垂足為F，點E，G分別是棱SA，SC的中點求證：（1）平面EFG平面ABC；（2）BCSA17（14分）（2013江蘇）如圖，在平面直角坐標系xOy中，點A（0，3），直線l：y=2x4設圓C的半徑為1，圓心在l上（1）若圓心C也在直線y=x1上，過點A作圓C的切線，求切線的方程；（2）若圓C上存在點M，使MA=2MO，求圓心C的橫坐標a的取值范圍18（16分）（2013江蘇）如圖，游客從某旅游景區的景點A處下山至C處有兩種路徑一種是從A沿直線步行到C，另一種是先從A沿索道乘纜車到B，然后從B沿直線步行到C現有甲、乙兩位游客從A處下山，甲沿AC勻速步行，速度為50m/min在甲出發2min后，乙從A乘纜車到B，在B處停留1min后，再從勻速步行到C假設纜車勻速直線運動的速度為130m/min，山路AC長為1260m，經測量，cosA=，cosC=（1）求索道AB的長；（2）問乙出發多少分鐘后，乙在纜車上與甲的距離最短？（3）為使兩位游客在C處互相等待的時間不超過3分鐘，乙步行的速度應控制在什么范圍內？19（16分）（2013江蘇）設an是首項為a，公差為d的等差數列（d0），Sn是其前n項和記bn=，nN*，其中c為實數（1）若c=0，且b1，b2，b4成等比數列，證明：Snk=n2Sk（k，nN*）；（2）若bn是等差數列，證明：c=020（16分）（2013江蘇）設函數f（x）=lnxax，g（x）=exax，其中a為實數（1）若f（x）在（1，+）上是單調減函數，且g（x）在（1，+）上有最小值，求a的取值范圍；（2）若g（x）在（1，+）上是單調增函數，試求f（x）的零點個數，并證明你的結論2013年江蘇省高考數學試卷參考答案與試題解析一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共計70分請把答案填寫在答題卡相印位置上1（5分）（2013江蘇）函數y=3sin（2x+）的最小正周期為考點：三角函數的周期性及其求法菁優網版權所有專題：計算題；三角函數的圖像與性質分析：將題中的函數表達式與函數y=Asin（x+）進行對照，可得=2，由此結合三角函數的周期公式加以計算，即可得到函數的最小正周期解答：解：函數表達式為y=3sin（2x+），=2，可得最小正周期T=|=|=故答案為：點評：本題給出三角函數表達式，求函數的最小正周期，著重考查了函數y=Asin（x+）的周期公式的知識，屬于基礎題2（5分）（2013江蘇）設z=（2i）2（i為虛數單位），則復數z的模為5考點：復數代數形式的混合運算菁優網版權所有專題：計算題分析：把給出的復數展開化為a+bi（a，bR）的形式，然后直接利用模的公式計算解答：解：z=（2i）2=44i+i2=34i所以，|z|=5故答案為5點評：本題考查了復數代數形式的混合運算，考查了復數模的求法，是基礎題3（5分）（2013江蘇）雙曲線的兩條漸近線方程為考點：雙曲線的簡單性質菁優網版權所有專題：計算題；圓錐曲線的定義、性質與方程分析：先確定雙曲線的焦點所在坐標軸，再確定雙曲線的實軸長和虛軸長，最后確定雙曲線的漸近線方程解答：解：雙曲線的a=4，b=3，焦點在x軸上 而雙曲線的漸近線方程為y=x雙曲線的漸近線方程為故答案為：點評：本題考查了雙曲線的標準方程，雙曲線的幾何意義，特別是雙曲線的漸近線方程，解題時要注意先定位，再定量的解題思想4（5分）（2013江蘇）集合1，0，1共有8個子集考點：子集與真子集菁優網版權所有專題：計算題分析：集合P=1，2，3的子集是指屬于集合的部分或所有元素組成的集合，包括空集解答：解：因為集合1，0，1，所以集合1，0，1的子集有：1，0，1，1，0，1，1，0，1，1，0，1，共8個故答案為：8點評：本題考查集合的子集個數問題，對于集合M的子集問題一般來說，若M中有n個元素，則集合M的子集共有2n個5（5分）（2013江蘇）如圖是一個算法的流程圖，則輸出的n的值是3考點：程序框圖菁優網版權所有專題：操作型分析：由已知的程序框圖可知，該程序的功能是利用循環計算a值，并輸出滿足a20的最小n值，模擬程序的運行過程可得答案解答：解：當n=1，a=2時，滿足進行循環的條件，執行循環后，a=8，n=2；當n=2，a=8時，滿足進行循環的條件，執行循環后，a=26，n=3；當n=3，a=26時，不滿足進行循環的條件，退出循環故輸出n值為3故答案為：3點評：本題考查的知識點是程序框圖，由于循環的次數不多，故可采用模擬程序運行的方法進行6（5分）（2013江蘇）抽樣統計甲、乙兩位射擊運動員的5此訓練成績（單位：環），結果如下：運動員第一次第二次第三次第四次第五次甲8791908993乙8990918892則成績較為穩定（方差較小）的那位運動員成績的方差為2考點：極差、方差與標準差菁優網版權所有專題：計算題；圖表型分析：直接由圖表得出兩組數據，求出它們的平均數，求出方差，則答案可求解答：解：由圖表得到甲乙兩位射擊運動員的數據分別為：甲：87，91，90，89，93；乙：89，90，91，88，92；，方差=4=2所以乙運動員的成績較穩定，方差為2故答案為2點評：本題考查了方差與標準差，對于一組數據，在平均數相差不大的情況下，方差越小越穩定，考查最基本的知識點，是基礎題7（5分）（2013江蘇）現在某類病毒記作XmYn，其中正整數m，n（m7，n9）可以任意選取，則m，n都取到奇數的概率為考點：古典概型及其概率計算公式菁優網版權所有專題：概率與統計分析：求出m取小于等于7的正整數，n取小于等于9的正整數，m取到奇數，n取到奇數的方法種數，直接由古典概型的概率計算公式求解解答：解：m取小于等于7的正整數，n取小于等于9的正整數，共有79=63種取法m取到奇數的有1，3，5，7共4種情況；n取到奇數的有1，3，5，7，9共5種情況，則m，n都取到奇數的方法種數為45=20種所以m，n都取到奇數的概率為故答案為點評：本題考查了古典概型及其概率計算公式，解答的關鍵是做到對取法種數計算的補充不漏，是基礎的計算題8（5分）（2013江蘇）如圖，在三棱柱A1B1C1ABC中，D，E，F分別是AB，AC，AA1的中點，設三棱錐FADE的體積為V1，三棱柱A1B1C1ABC的體積為V2，則V1：V2=1：24考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積菁優網版權所有專題：計算題分析：由三角形的相似比等于面積比的平方得到棱錐和棱柱的底面積的比值，由題意棱柱的高是棱錐的高的2倍，然后直接由體積公式可得比值解答：解：因為D，E，分別是AB，AC的中點，所以SADE：SABC=1：4，又F是AA1的中點，所以A1到底面的距離H為F到底面距離h的2倍即三棱柱A1B1C1ABC的高是三棱錐FADE高的2倍所以V1：V2=1：24故答案為1：24點評：本題考查了棱柱和棱錐的體積公式，考查了相似多邊形的面積的比等于相似比的平方，是基礎的計算題9（5分）（2013江蘇）拋物線y=x2在x=1處的切線與兩坐標軸圍成三角形區域為D（包含三角形內部和邊界）若點P（x，y）是區域D內的任意一點，則x+2y的取值范圍是2，考點：簡單線性規劃；導數的運算菁優網版權所有專題：不等式的解法及應用分析：利用導數求出拋物線在x=1處的切線方程，畫出可行域，找出最優解，則x+2y的取值范圍可求解答：解：由y=x2得，y=2x，所以y|x=1=2，則拋物線y=x2在x=1處的切線方程為y=2x1令z=x+2y，則畫出可行域如圖，所以當直線過點（0，1）時，zmin=2過點（）時，故答案為點評：本題考查了導數的運算，考查了簡單的線性規劃，解答的關鍵是把問題轉化為線性規劃知識解決，是基礎題10（5分）（2013江蘇）設D，E分別是ABC的邊AB，BC上的點，AD=AB，BE=BC，若=1+2（1，2為實數），則1+2的值為考點：平面向量的基本定理及其意義菁優網版權所有專題：平面向量及應用分析：由題意和向量的運算可得=，結合=1+2，可得1，2的值，求和即可解答：解：由題意結合向量的運算可得=，又由題意可知若=1+2，故可得1=，2=，所以1+2=故答案為：點評：本題考查平面向量基本定理及其意義，涉及向量的基本運算，屬中檔題11（5分）（2013江蘇）已知f（x）是定義在R上的奇函數當x0時，f（x）=x24x，則不等式f（x）x 的解集用區間表示為（5，0）（5，）考點：一元二次不等式的解法菁優網版權所有專題：不等式的解法及應用分析：作出x大于0時，f（x）的圖象，根據f（x）為定義在R上的奇函數，利用奇函數的圖象關于原點對稱作出x小于0的圖象，所求不等式即為函數y=f（x）圖象在y=x上方，利用圖形即可求出解集解答：解：作出f（x）=x24x（x0）的圖象，如圖所示，f（x）是定義在R上的奇函數，利用奇函數圖象關于原點對稱作出x0的圖象，不等式f（x）x表示函數y=f（x）圖象在y=x上方，f（x）圖象與y=x圖象交于P（5，5），Q（5，5），則由圖象可得不等式f（x）x的解集為（5，0）（5，+）故答案為：（5，0）（5，+）點評：此題考查了一元二次不等式的解法，利用了數形結合的思想，靈活運用數形結合思想是解本題的關鍵12（5分）（2013江蘇）在平面直角坐標系xOy中，橢圓C的標準方程為（ab0），右焦點為F，右準線為l，短軸的一個端點為B，設原點到直線BF的距離為d1，F到l的距離為d2，若d2=，則橢圓C的離心率為考點：橢圓的簡單性質菁優網版權所有專題：圓錐曲線的定義、性質與方程分析：根據“d2=”結合橢圓的半焦距，短半軸，長半軸構成直角三角形，再由等面積法可得d1=，從而得到a與b的關系，可求得，從而求出離心率解答：解：如圖，準線l：x=，d2=，由面積法得：d1=，若d2=，則，整理得a2ab=0，兩邊同除以a2，得+（）=0，解得e=故答案為：點評：本題主要考查橢圓的幾何性質，即通過半焦距，短半軸，長半軸構成的直角三角形來考查其離心率，還涉及了等面積法13（5分）（2013江蘇）在平面直角坐標系xOy中，設定點A（a，a），P是函數y=（x0）圖象上一動點，若點P，A之間的最短距離為2，則滿足條件的實數a的所有值為1或考點：兩點間的距離公式菁優網版權所有專題：壓軸題；函數的性質及應用；不等式的解法及應用分析：設點P，利用兩點間的距離公式可得|PA|，利用基本不等式和二次函數的單調性即可得出a的值解答：解：設點P，則|PA|=，令，x0，t2，令g（t）=t22at+2a22=（ta）2+a22，當a2時，t=a時g（t）取得最小值g（a）=a22，解得；當a2時，g（t）在區間2，+）單調遞增，t=2，g（t）取得最小值g（2）=2a24a+2，解得a=1綜上可知：a=1或故答案為1或點評：本題綜合考查了兩點間的距離公式、基本不等式的性質、二次函數的單調性等基礎知識和基本技能，考查了分類討論的思想方法、推理能力和計算能力14（5分）（2013江蘇）在正項等比數列an中，a6+a7=3，則滿足a1+a2+ana1a2an的最大正整數n的值為12考點：等比數列的前n項和；一元二次不等式的解法；數列的函數特性；等差數列的前n項和菁優網版權所有專題：壓軸題；等差數列與等比數列分析：設正項等比數列an首項為a1，公比為q，由題意可得關于這兩個量的方程組，解之可得數列的通項公式和a1+a2+an及a1a2an的表達式，化簡可得關于n的不等式，解之可得n的范圍，取上限的整數部分即可得答案解答：解：設正項等比數列an首項為a1，公比為q，由題意可得，解之可得：a1=，q=2，故其通項公式為an=2n6記Tn=a1+a2+an=，Sn=a1a2an=25242n6=254+n6=由題意可得TnSn，即，化簡得：2n1，即2n1，因此只須n，即n213n+100解得 n，由于n為正整數，因此n最大為的整數部分，也就是12故答案為：12點評：本題考查等比數列的求和公式和一元二次不等式的解法，屬中檔題二、解答題：本大題共6小題，共計90分請在答題卡指定區域內作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟15（14分）（2013江蘇）已知=（cos，sin），=（cos，sin），0（1）若|=，求證：；（2）設=（0，1），若+=，求，的值考點：平面向量數量積的運算；向量的模；同角三角函數間的基本關系；兩角和與差的余弦函數；兩角和與差的正弦函數菁優網版權所有專題：平面向量及應用分析：（1）由給出的向量的坐標，求出的坐標，由模等于列式得到coscos+sinsin=0，由此得到結論；（2）由向量坐標的加法運算求出+，由+=（0，1）列式整理得到，結合給出的角的范圍即可求得，的值解答：解：（1）由=（cos，sin），=（cos，sin），則=（coscos，sinsin），由=22（coscos+sinsin）=2，得coscos+sinsin=0所以即；（2）由得，2+2得：因為0，所以0所以，代入得：因為所以所以，點評：本題考查了平面向量的數量積運算，考查了向量的模，考查了同角三角函數的基本關系式和兩角和與差的三角函數，解答的關鍵是注意角的范圍，是基礎的運算題16（14分）（2013江蘇）如圖，在三棱錐SABC中，平面SAB平面SBC，ABBC，AS=AB，過A作AFSB，垂足為F，點E，G分別是棱SA，SC的中點求證：（1）平面EFG平面ABC；（2）BCSA考點：直線與平面平行的判定；直線與平面垂直的性質菁優網版權所有專題：證明題；空間位置關系與距離分析：（1）根據等腰三角形的“三線合一”，證出F為SB的中點從而得到SAB和SAC中，EFAB且EGAC，利用線面平行的判定定理，證出EF平面ABC且EG平面ABC因為EF、EG是平面EFG內的相交直線，所以平面EFG平面ABC；（2）由面面垂直的性質定理證出AF平面SBC，從而得到AFBC結合AF、AB是平面SAB內的相交直線且ABBC，可得BC平面SAB，從而證出BCSA解答：解：（1）ASB中，SA=AB且AFSB，F為SB的中點E、G分別為SA、SC的中點，EF、EG分別是SAB、SAC的中位線，可得EFAB且EGACEF平面ABC，AB平面ABC，EF平面ABC，同理可得EG平面ABC又EF、EG是平面EFG內的相交直線，平面EFG平面ABC；（2）平面SAB平面SBC，平面SAB平面SBC=SB，AF平面ASB，AFSBAF平面SBC又BC平面SBC，AFBCABBC，AFAB=A，BC平面SAB又SA平面SAB，BCSA點評：本題在三棱錐中證明面面平行和線線垂直，著重考查了直線與平面平行、平面與平面平行的判定定理，直線與平面垂直的判定與性質等知識，屬于中檔題17（14分）（2013江蘇）如圖，在平面直角坐標系xOy中，點A（0，3），直線l：y=2x4設圓C的半徑為1，圓心在l上（1）若圓心C也在直線y=x1上，過點A作圓C的切線，求切線的方程；（2）若圓C上存在點M，使MA=2MO，求圓心C的橫坐標a的取值范圍考點：圓的切線方程；點到直線的距離公式；圓與圓的位置關系及其判定菁優網版權所有專題：直線與圓分析：（1）聯立直線l與直線y=x1解析式，求出方程組的解得到圓心C坐標，根據A坐標設出切線的方程，由圓心到切線的距離等于圓的半徑，列出關于k的方程，求出方程的解得到k的值，確定出切線方程即可；（2）設M（x，y），由MA=2MO，利用兩點間的距離公式列出關系式，整理后得到點M的軌跡為以（0，1）為圓心，2為半徑的圓，可記為圓D，由M在圓C上，得到圓C與圓D相交或相切，根據兩圓的半徑長，得出兩圓心間的距離范圍，利用兩點間的距離公式列出不等式，求出不等式的解集，即可得到a的范圍解答：解：（1）聯立得：，解得：，圓心C（3，2）若k不存在，不合題意；若k存在，設切線為：y=kx+3，可得圓心到切線的距離d=r，即=1，解得：k=0或k=，則所求切線為y=3或y=x+3；（2）設點M（x，y），由MA=2MO，知：=2，化簡得：x2+（y+1）2=4，點M的軌跡為以（0，1）為圓心，2為半徑的圓，可記為圓D，又點M在圓C上，圓C與圓D的關系為相交或相切，1|CD|3，其中|CD|=，13，解得：0a點評：此題考查了圓的切線方程，點到直線的距離公式，以及圓與圓的位置關系的判定，涉及的知識有：兩直線的交點坐標，直線的點斜式方程，兩點間的距離公式，圓的標準方程，是一道綜合性較強的試題18（16分）（2013江蘇）如圖，游客從某旅游景區的景點A處下山至C處有兩種路徑一種是從A沿直線步行到C，另一種是先從A沿索道乘纜車到B，然后從B沿直線步行到C現有甲、乙兩位游客從A處下山，甲沿AC勻速步行，速度為50m/min在甲出發2min后，乙從A乘纜車到B，在B處停留1min后，再從勻速步行到C假設纜車勻速直線運動的速度為130m/min，山路AC長為1260m，經測量，cosA=，cosC=（1）求索道AB的長；（2）問乙出發多少分鐘后，乙在纜車上與甲的距離最短？（3）為使兩位游客在C處互相等待的時間不超過3分鐘，乙步行的速度應控制在什么范圍內？考點：余弦定理菁優網版權所有專題：解三角形分析：（1）作出相應的圖形，根據cosC的值，求出tanC的值，設出BD表示出DC，由cosA的值，求出tanA的值，由BD表示出AD，進而表示出AB，由CD+AD=AC，列出關于k的方程，求出方程的解得到k的值，即可確定出AB的長；（2）設乙出發xmin后到達點M，此時甲到達N點，如圖所示，表示出AM與AN，在三角形AMN中，由余弦定理列出關系式，將表示出的AM，AN及cosA的值代入表示出MN2，利用二次函數的性質即可求出MN取最小值時x的值；（3）由（1）得到BC的長，由AC的長及甲的速度求出甲到達C的時間，分兩種情況考慮：若甲等乙3分鐘，此時乙速度最小，求出此時的速度；若乙等甲3分鐘，此時乙速度最大，求出此時的速度，即可確定出乙步行速度的范圍解答：解：（1）cosA=，cosC=，tanA=，tanC=，如圖作BDCA于點D，設BD=20k，則DC=15k，AD=48k，AB=52k，由AC=63k=1260m，解得：k=20，則AB=52k=1040m；（2）設乙出發xmin后到達點M，此時甲到達N點，如圖所示，則AM=130xm，AN=50（x+2）m，由余弦定理得：MN2=AM2+AN22AMANcosA=7400x214000x+10000，其中0x8，當x=min時，MN最小，此時乙在纜車上與甲的距離最短；（3）由（1）知：BC=500m，甲到C用時為126050=（min），若甲等乙3分鐘，則乙到C用時為+3=（min），在BC上同時為（min），此時乙的速度最小，且為500=29.07（m/min）；若乙等甲3分鐘，則乙到C用時為3=（min），在BC上用時為（min），此時乙的速度最大，且為500=44.64（m/min），則乙步行的速度控制在29.07，44.64范圍內點評：此題考查了余弦定理，銳角三角函數定義，以及勾股定理，利用了分類討論及數形結合的思想，屬于解直角三角形題型19（16分）（2013江蘇）設an是首項為a，公差為d的等差數列（d0），Sn是其前n項和記bn=，nN*，其中c為實數（1）若c=0，且b1，b2，b4成等比數列，證明：Snk=n2Sk（k，nN*）；（2）若bn是等差數列，證明：c=0考點：等比關系的確定；等差數列的前n項和；等差數列的性質；等比數列的性質菁優網版權所有專題：壓軸題；等差數列與等比數列分析：（1）寫出等差數列的通項公式，前n項和公式，由b1，b2，b4成等比數列得到首項和公差的關系，代入前n項和公式得到Sn，在前n項和公式中取n=nk可證結論；（2）把Sn代入中整理得到bn=，由等差數列的通項公式是an=An+B的形式，說明，由此可得到c=0解答：證明：（1）若c=0，則an=a1+（n1）d，當b1，b2，b4成等比數列時，則，即：，得：d2=2ad，又d0，故d=2a因此：，故：（k，nN*）（2）= 若bn是等差數列，則bn的通項公式是bn=An+B型觀察式后一項，分子