2 1認識一元二次方程 第二章一元二次方程 第1課時一元二次方程 導入新課 講授新課 當堂練習 課堂小結 1 了解一元二次方程的概念 重點 2 掌握一元二次方程的一般形式ax2 bx c 0 a b c為常數 a 0 重點 3 能根據具體問題的數量關系 建立一元二次方程的模型 難點 學習目標 導入新課 復習引入 沒有未知數 代數式 一元一次方程 二元一次方程 不等式 分式方程 2 什么叫方程 我們學過哪些方程 含有未知數的等式叫做方程 我們學過的方程有一元一次方程 二元一次方程 組 及分式方程 其中前兩種方程是整式方程 3 什么叫一元一次方程 含有一個未知數 且未知數的次數是1的整式方程叫做一元一次方程 問題1 幼兒園某教室矩形地面的長為8m 寬為5m 現準備在地面正中間鋪設一塊面積為18m2的地毯 四周未鋪地毯的條形區域的寬度都相同 你能求出這個寬度嗎 列出方程即可 解 如果設所求的寬為xm 那么地毯中央長方形圖案的長為m 寬為m 根據題意 可得方程 8 2x 5 2x x x 8 2x x x 5 2x 8 2x 5 2x 18 化簡 2x2 13x 11 0 該方程中未知數的個數和最高次數各是多少 問題2 觀察下面等式 102 112 122 132 142你還能找到其他的五個連續整數 使前三個數的平方和等于后兩個數的平方和嗎 解 如果設五個連續整數中的第一個數為x 那么后面四個數依次可表示為 根據題意 可得方程 x 1 x 2 x 3 x 4 x2 x 1 2 x 2 2 x 3 2 x 4 2 化簡得 x2 8x 20 0 該方程中未知數的個數和最高次數各是多少 解 由勾股定理可知 滑動前梯子底端距墻m 如果設梯子底端滑動xm 那么滑動后梯子底端距墻m 根據題意 可得方程 問題3 如圖 一個長為10m的梯子斜靠在墻上 梯子的頂端距地面的垂直距離為8m 如果梯子的頂端下滑1m 那么梯子的底端滑動多少米 6 x 6 72 x 6 2 102 化簡得 x2 12x 15 0 10m 8m 1m xm 該方程中未知數的個數和最高次數各是多少 2x2 13x 11 0 x2 8x 20 0 x2 12x 15 0 1 只含有一個未知數 2 未知數的最高次數是2 3 整式方程 講授新課 觀察與思考 方程 都不是一元一次方程 那么這兩個方程與一元一次方程的區別在哪里 它們有什么共同特點呢 特點 只含有一個未知數x的整式方程 并且都可以化為ax2 bx c 0 a b c為常數 a 0 的形式 這樣的方程叫做一元二次方程 ax2 bx c 0 a b c為常數 a 0 ax2稱為二次項 a稱為二次項系數 bx稱為一次項 b稱為一次項系數 c稱為常數項 知識要點 一元二次方程的概念 一元二次方程的一般形式是 想一想為什么一般形式中ax2 bx c 0要限制a 0 b c可以為零嗎 當a 0時 bx c 0 當a 0 b 0時 ax2 c 0 當a 0 c 0時 ax2 bx 0 當a 0 b c 0時 ax2 0 總結 只要滿足a 0 b c可以為任意實數 練一練 1 關于x的方程 k 3 x2 2x 1 0 當k時 是一元二次方程 2 關于x的方程 k2 1 x2 2 k 1 x 2k 2 0 當k時 是一元二次方程 當k時 是一元一次方程 3 1 1 典例精析 例1下列選項中 關于x的一元二次方程的是 C 不是整式方程 含兩個未知數 化簡整理成x2 3x 2 0 少了限制條件a 0 例2 a為何值時 下列方程為一元二次方程 1 ax2 x 2x2 2 a 1 x a 1 2x 7 0 解 1 將方程式轉化為一般形式 得 a 2 x2 x 0 所以當a 2 0 即a 2時 原方程是一元二次方程 2 由 a 1 2 且a 1 0知 當a 1時 原方程是一元二次方程 方法總結 用一元二次方程的定義求字母的值的方法 根據未知數的最高次數等于2 列出關于某個字母的方程 再排除使二次項系數等于0的字母的值 例3將方程3x x 1 5 x 2 化為一般形式 并分別指出它們的二次項 一次項和常數項及它們的系數 解 去括號 得 3x2 3x 5x 10 移項 合并同類項 得一元二次方程的一般形式 3x2 8x 10 0 其中二次項是3x2 系數是3 一次項是 8x 系數是 8 常數項是 10 1 下列方程哪些是一元二次方程 為什么 1 7x2 6x 0 2 2x2 5xy 6y 0 3 4 5 x2 2x 3 1 x2 方程中同時出現x y兩個未知數非整式方程 化簡后是一元一次方程 當堂練習 2 把下列方程化為一元二次方程的一般形式 并寫出它的二次項系數 一次項系數和常數項 3x2 5x 1 0 x2 x 8 0 3 5 1 1 1 8 7x2 4 0 7 0 4 3 如圖 有一塊矩形鐵皮 長19cm 寬15cm 在它的四個角分別切去一個正方形 然后將四周突出的部分折起 就能制作一個無蓋方盒 如果要制作的無蓋方盒的底面積是81cm2 那么鐵皮各角應切去多大的正方形 列出方程 并將其化為一般式 解 設需要剪去的小正方形邊長為xcm 則紙盒底面的長方形的長為 19 2x cm 寬為 15 2x cm 依題意得 19 2x 15 2x 81 x2 17x 51 0 一般式 xcm xcm 一元二次方程 只含有一個未知數x