第五節數列的綜合應用 第五節數列的綜合應用 考點探究 挑戰高考 考向瞭望 把脈高考 雙基研習 面對高考 雙基研習 面對高考 1 數列與其他章節的綜合題數列綜合題 包括數列知識和指數函數 對數函數 不等式的知識綜合起來 另外 數列知識在復數 三角函數 解析幾何部分也有廣泛的應用 1 對于等差數列 當d 0時 an是n的一次函數 對應的點 n an 是位于直線上的若干個點 當d 0時 函數是增函數 對應的數列是遞增數列 同理 d 0時 函數是常數函數 對應的數列是常數列 d 0時 函數是減函數 對應的數列是遞減數列 若等差數列的前n項和為sn 則sn pn2 qn p q r 當p 0時 an 為常數列 當p 0時 可用二次函數的方法解決等差數列問題 2 對于等比數列 可用指數函數的性質來理解 當a1 0 q 1或a10 01時 等比數列是遞減數列 當q 1時 是一個常數列 當q 0 無法判斷數列的單調性 它是一個擺動數列 an a1qn 1 2 數列的探索性問題探索性問題是高考的熱點 常在數列解答題中出現 探索性問題對分析問題 解決問題的能力有較高的要求 3 等差數列與等比數列的綜合問題 4 數列的實際應用現實生活中涉及 等實際問題 常常考慮用數列的知識來加以解決 銀行利率 企業股金 產品利潤 人口增長 工作效率 曲線長度 1 數列 an 是公差不為0的等差數列且a7 a10 a15是等比數列 bn 的連續三項 若等比數列 bn 的首項b1 3 則b2 答案 5 答案 3 3 隨著計算機技術的迅猛發展 電腦的價格不斷降低 若每隔4年電腦的價格降低三分之一 則現在價格為8100元的電腦12年后的價格可降為 答案 2400元4 已知等比數列 an a1 3 且4a1 2a2 a3成等差數列 則a3 a4 a5等于 答案 84 考點探究 挑戰高考 等差數列與等比數列相結合的綜合問題是高考考查的重點 特別是等差 等比數列的通項公式 前n項和公式以及等差中項 等比中項問題是歷年命題的熱點 2011年蘇州高三調研 已知數列 an 滿足 a1 1 a2 a a 0 數列 bn 滿足bn anan 1 n n 1 若 an 是等差數列 且b3 12 求a的值及 an 的通項公式 2 若 an 是等比數列 求 bn 的前n項和sn 3 當 bn 是公比為a 1的等比數列時 an 能否為等比數列 若能 求出a的值 若不能 請說明理由 思路分析 1 由基本量運算可得結果 2 討論a 1和a 1兩種情況 3 利用等比數列的定義判斷 名師點評 本題中對字母a分類討論 這也是等比數列不同于等差數列的情形 等比數列含參數往往需要討論 互動探究1本例 3 中 公比a 1 改為 a 則第 3 問結果如何 涉及到函數 方程 不等式知識的綜合性試題 在解題過程中通常用遞推思想 函數與方程 歸納與猜想 等價轉化 分類討論等數學思想方法 屬于中 高檔難度的題目 解 1 證明 由an 1 a 6an 6得 an 1 3 an 3 2 log5 an 1 3 2log5 an 3 即cn 1 2cn 又c1 log5 a1 3 1 cn 是首項為c1 1 公比q 2的等比數列 2 由 1 得cn 2n 1 即log5 an 3 2n 1 an 3 an 3 名師點評 數列與函數 不等式容易結合構成綜合性較強的題目 函數的類型 性質及結構是解決問題的突破口 其次聯系數列知識 化簡整理代數式也是解題的關鍵 本問題中 題目的設置多含有參數 又多與存在 不存在等問題相關聯 綜合性較強 一般可利用特殊值法或者從特殊到一般的處理思想分析 歸納 猜想等 從此過程中找到解題的入口或線索 設等差數列 an 的前n項和為sn 且a5 a13 34 s3 9 1 求數列 an 的通項公式及前n項和公式 2 設數列 bn 的通項公式為 問 是否存在正整數t 使得b1 b2 bm m 3 m n 成等差數列 若存在 求出t和m的值 若不存在 請說明理由 思路分析 1 按基本量運算 2 b1 b2 bm成等差數列 借助等差中項列式計算 名師點評 解決存在性問題時需尋找滿足的條件 算出結果 或在某種條件下進行邏輯推理 對于所含的參數 多數題目可以算出具體的數值 方法技巧 1 數列的滲透力很強 它和函數 方程 三角 不等式等知識相互聯系 優化組合 無形中加大了綜合力度 所以 解決此類題目僅靠掌握一點單科知識 無異于杯水車薪 必須對蘊藏在數列概念和方法中的數學思想有所了解 深刻領悟它在解題中的重大作用 常用的數學思想方法主要有 函數與方程 數形結合 分類討論 等價轉化 等 2 數列作為特殊的函數 在實際問題中有著廣泛的應用 如增長率 減少率 銀行信貸 濃度匹配 養老保險 圓鋼堆壘等問題 3 解答數列綜合題和應用題既要有堅實的基礎知識又要有良好的邏輯思維能力和分析 解決問題的能力 解答應用性問題 應充分運用觀察 歸納 猜想的手段建立有關等差 比 數列 遞推數列模型 再結合其他相關知識來解決問題 失誤防范 1 等差 等比數列的綜合題 審題易讀錯題 等差讀成等比 或等比看成了等差 一字之差 謬之千里 2 綜合問題中 數學式子的結構易理解錯 造成解題方向出錯 考向瞭望 把脈高考 從近幾年的江蘇高考試題來看 等差數列與等比數列交匯 數列與解析幾何 不等式交匯是考查的熱點 題型以解答題為主 難度偏高 主要考查學生分析問題和解決問題的能力 預測2012年的江蘇高考 等差數列與等比數列的交匯 數列與不等式的交匯是主要考點 重點考查運算能力和邏輯推理能力 本題滿分16分 2010年高考四川卷 已知數列 an 滿足a1 0 a2 2 且對任意m n n 都有a2m 1 a2n 1 2am n 1 2 m n 2 1 求a3 a5 2 設bn a2n 1 a2n 1 n n 證明 數列 bn 是等差數列 3 設cn an 1 an qn 1 q 0 n n 求數列 cn 的前n項和sn 解 1 由題意 令m 2 n 1可得a3 2a2 a1 2 6 再令m 3 n 1可得a5 2a3 a1 8 20 3分 2 證明 當n n 時 由已知 以n 2代替m 可得a2n 3 a2n 1 2a2n 1 8 5分于是 a2 n 1 1 a2 n 1 1 a2n 1 a2n 1 8 即bn 1 bn 8 所以數列 bn 是公差為8的等差數列 8分 名師點評 數列 解析幾何 不等式是新課標高考的重點內容 將三者密切結合在一起 命制大型綜合題是歷年高考的熱點和重點 數列是特殊的函數 以數列為背景的不等式證明