第2章圓錐曲線與方程 2 5圓錐曲線的統一定義 1 了解圓錐曲線的統一定義 2 能用坐標法解決一些與圓錐曲線有關的簡單幾何問題和實際問題 學習目標 知識梳理自主學習 題型探究重點突破 當堂檢測自查自糾 欄目索引 知識梳理自主學習 知識點一圓錐曲線的統一定義 答案 平面內到和到一條定直線l F不在l上 的距離的比等于 的點的軌跡 時 它表示橢圓 時 它表示雙曲線 時 它表示拋物線 一個定點F 常數e 0 e 1 e 1 e 1 知識點二準線方程 答案 思考1 橢圓上一點到準線距離與它到對應焦點距離之比等于多少 答案 2 動點M到一個定點F的距離與到一條定直線l的距離之比為定值的軌跡一定是圓錐曲線嗎 答案當F l時 動點M軌跡是圓錐曲線 當F l時 動點M軌跡是過F且與l垂直的直線 返回 題型探究重點突破 題型一統一定義的簡單應用 解析如圖所示 解析答案 反思與感悟 PF2 10 PF1 10 2 8 8 橢圓的兩個定義從不同角度反映了橢圓的特征 解題時要靈活運用 一般地 如果遇到有動點到兩定點距離和的問題 應自然聯想到橢圓的定義 如果遇到有動點到一定點及一定直線距離的問題 應自然聯想到統一定義 若兩者都涉及 則要綜合運用兩個定義才行 反思與感悟 跟蹤訓練1已知橢圓 解析答案 上一點P到右焦點F2的距離為b b 1 求P到左準線的距離 由橢圓第一定義 PF1 PF2 2a 4b 得PF1 4b PF2 4b b 3b 解析答案 內有一點P 1 1 F是橢圓的右焦點 在橢圓上求一點M 使MP 2MF之值為最小 題型二應用統一定義轉化求最值 解析答案 反思與感悟 例2已知橢圓 解設d為M到右準線的距離 故MP 2MF MP d PM 顯然 當P M M 三點共線時 所求的值為最小 從而求得點M的坐標為 本例中 利用統一定義 將橢圓上點M到焦點F的距離轉化為到準線的距離 再利用圖形 形象直觀 使問題得到簡捷的解決 反思與感悟 解析答案 題型三圓錐曲線統一定義的綜合應用 解析答案 反思與感悟 解設F1為左焦點 則根據橢圓定義有 再設A B N三點到左準線距離分別為d1 d2 d3 由統一定義AF1 ed1 BF1 ed2 反思與感悟 在圓錐曲線有關問題中 充分利用圓錐曲線的共同特征 將曲線上的點到準線的距離與到焦點的距離相互轉化是一種常用方法 反思與感悟 解析答案 1 求PF1的最小值和最大值 PF1 a ex0 又 a x0 a 解析答案 返回 當堂檢測 1 2 3 4 5 1 已知方程 1 k x2 1 k y2 1表示焦點在x軸上的雙曲線 則k的取值范圍為 解析答案 1 k 1 1 2 3 4 5 2 已知點F1 F2分別是橢圓x2 2y2 2的左 右焦點 點P是該橢圓上的一個動點 那么的最小值是 解析答案 2 1 2 3 4 5 3 已知F1 F2是橢圓的兩個焦點 滿足 則橢圓離心率的取值范圍是 解析答案 的點M總在橢圓內部 1 2 3 4 5 M點軌跡方程為x2 y2 c2 其中F1F2為直徑 由題意知橢圓上的點在圓x2 y2 c2外部 設點P為橢圓上任意一點 則OP c恒成立 由橢圓性質知OP b 其中b為橢圓短半軸長 b c c22c2 1 2 3 4 5 的焦點 c 0 和 c 0 若c是a m的等比中項 n2是2m2與c2的等差中項 則橢圓的離心率是 解析答案 有相同 1 2 3 4 5 解析由題意 得 由 可得m2 n2 2n2 2m2 即n2 3m2 代入 得4m2 c2 c 2m 代入 得4m2 am a 4m 1 2 3 4 5 5 已知拋物線y2 4x上一點M到焦點的距離為5 則點M到y軸的距離為 解析答案 解析由拋物線定義知點M到準線x 1的距離為5 所以點M到y軸的距離為4 4 課堂小結 1 三