基于排隊論的體檢安排【摘 要】： 本文采用與排隊論相關的數(shù)學理論知識，構建體檢排隊系統(tǒng)的優(yōu)化模型，實現(xiàn)對受檢人員體檢排隊的定性描述及量化分析，以提高設備利用率、減少受檢人員等待時間。本文將排隊論的思想和方法應用到體檢中心排隊的管理中來，建立了相應于體檢排隊系統(tǒng)的多服務窗等待制M/M/S排隊論模型。文章對體檢中心的某一科室上4個時間段的實際數(shù)據(jù)進行收集和整理，代入模型進行實證分析，獲得了相應的目標參數(shù)，進行了最優(yōu)服務臺數(shù)的確定。通過己建立的數(shù)學模型，在單位體檢時根據(jù)各個科室的平均服務時間對部分科室的最優(yōu)服務臺數(shù)進行確定，得到每個個體的體檢項目、體檢順序及相應時間安排。結論：該算法適用于個人的體檢排隊安排，同時適用于團體客人的體檢排隊安排。【關鍵詞】：排隊論 泊松分布 M/M/S排隊論 （Dijkstra）算法一、問題重述隨著社會的發(fā)展，人們生活水平的不斷提高，提升了人們對自身健康狀況的認知。身體是財富的本錢，通過了解自身健康狀況來達到預防保健作用已經越來越大。醫(yī)院健康體檢中心人數(shù)眾多，受檢人員往往在診室門前擁擠排隊，導致秩序混亂、效率低下、體檢資源浪費、工作強度增加等問題。由此可見，體檢中排隊等候這一環(huán)節(jié)的不完善，在很大程度上降低了體檢的服務質量和工作效率。全部體檢項目包括：抽血、內科、外科、B超、五官科、胸透、身高、體重、等等。每個人的體檢項目可能各不相同，假設每個體檢項目的服務時間是確定的，并且只有1個醫(yī)生值班，每次只能為1個客戶服務。現(xiàn)要求你們通過數(shù)學建模來完成以下任務：1. 請你為某個新來的客人安排他的體檢順序，使其完成需要的全部檢查的時間盡量少（在各個體檢項目處都可能有人排隊等待）；2. 設計1組數(shù)據(jù)來驗證上述結論。3. 接待團體客人時，如何安排每個人的體檢順序，使得體檢中心能盡快完成任務，設計1組數(shù)據(jù)來驗證該結論。二、問題分析2.1.背景分析隨著計算機網絡的發(fā)展及普及，計算機已應用到各種各樣的行業(yè)與領域。目前一般醫(yī)院都引入了醫(yī)院管理系軟件系統(tǒng)或者體檢管理系統(tǒng)來對用戶的相關信息進行管理，大大節(jié)省了人力物力。隨著人們的健康意識不斷增加，體檢中心接待的體檢人員眾多，一般的體檢中心一次也可能接待數(shù)百人，常常造成體檢人員排隊秩序混亂，嚴重影響體檢醫(yī)生的工作環(huán)境。排隊系統(tǒng)的應用從根本上解決了以上問題，為病人營造了一個公平、公正、公開的醫(yī)療環(huán)境，降低體檢中心指引護士的工作強度，提高各方面的工作效率；而且為體檢中心各級管理人員的科學管理提供了依據(jù)，最大限度的發(fā)揮體檢中心的有限資源，產生最好的社會效益與經濟效益。目前，國內已經有上海、北京、廣東、浙江等地的多家大醫(yī)院投入使用了醫(yī)院排號系統(tǒng)，并且有越來越多的醫(yī)院認識到了使用排隊系統(tǒng)的必要性，醫(yī)院排隊系統(tǒng)出現(xiàn)了良好的發(fā)展勢頭。但就體檢中心來說，尚沒有將排隊理論引入到實際應用中來。2.2.評價分析 通常醫(yī)院的采取的各個方案按照大眾的顧客考慮的，在排隊體檢的過程中由于在各個科室體檢時間不相等，同時在各個科室個的等待人數(shù)比率不同。 給出評價標準是體檢的時間最短。 表格 1抽血內科外科B超五官科胸透身高體重時間222122111檢率0.950.20.20.70.21.00.50.7三、問題假設1. 個個體檢項目之間相互獨立，互不影響；2. 病人排隊體檢和體檢完畢到下一個科室之間沒有時間延遲；3. 入院體檢的顧客單個到達，相繼到達時間間隔服從參數(shù)為的負指數(shù)分布；4. 各個科室可以抽象一個點；5. 每個服務臺的服務時間相互獨立，且服從參數(shù)為的負指數(shù)分布；四、符號說明N：總共所需體檢項目數(shù) i：具體體檢的第i項：第i項體檢項目處得排隊人數(shù) ：第i項體檢所需要的時間：完成第i想體檢項目所需要的總時間 S：醫(yī)院的服務臺個數(shù)抽血A1、內科B1、外科C3、B超D4、五官科E5、胸透F6、身高G7、體重H8和lamuda(i) 表示單位時間平均到達的顧客數(shù), 稱為平均到達率和mu(i) 位時間能被服務完成的顧客數(shù)，稱為平均服務率：在ABCDEFGH各個科室檢查的時間:表示在ABCDEFGH各個科室的受檢比率五、模型建立5.1.泊松流與指數(shù)分布 設N(t)表示在時間區(qū)間0,t)內到達的顧客數(shù)（t 0），令表示在時間區(qū)間 內有n(n0)個顧客到達的概率. 當合于下列三個條件時，我們說顧客的到達形成泊松流。這三個條件是：1.在不相重疊的時間區(qū)間內顧客到達數(shù)是相互獨立的，我們稱這性質為無后效性。2.對充分小的，在時間區(qū)間t,t +)內有一個顧客到達的概率與t無關，而約與區(qū)間長成正比，即 其中o()，當 0時，是關于t的高階無窮小。 0是常數(shù)，它表示單位時間有一個顧客到達的概率，稱為概率強度。3.對于充分小的，在時間區(qū)間t,t +)內有兩個或兩個以上顧客到達的概率極小，以致可以忽略，即在上述條件下，我們研究顧客到達數(shù)n的概率分布。由條件2，我們總可以取時間由0算起，并簡記由條件1和2,有 n=1,2.由條件2和3得 因而有在以上兩式中，取趨于零的極限，當假設所涉及的函數(shù)可導時，得到以下微分方程組取初值，容易解出 。再令 ，可以得到及其它所滿足的微分方程組，即 由此容易解得對于泊松流,表示單位時間平均到達的顧客數(shù),所以1/就表示相繼顧客到達平均間隔時間，而這正和的意義相符。表示單位時間能被服務完成的顧客數(shù)，稱為平均服務率，而1/表示一個顧客的平均服務時間。排隊模型 由于個人體檢所需時間為定值，排隊時間為變量，故某體檢者完成體檢時間最短等價于其排隊等候時問最短。排隊等待時間包括兩方面： 等待正在檢查者完成體檢。在第i項體檢處若有受檢人員已檢查分鐘，則剩余時間為-； 等待前面排隊者完成體檢。若第i項體檢處有人排隊，則排隊時間為*因此第i項體檢的等待時間為：*+-則完成第i項體檢所需的總時間： = *+-+模型建立根據(jù)前面的分析結果，我們可以建立如下模型：（1） 首先算出每一項體檢項目所需的時間，得出min，讓剛進入醫(yī)院的顧客A進入該項進行體檢。 在A體檢的過程中來醫(yī)院體檢的人群：設顧客單個到達，相機到達的時間間隔服從參數(shù)為的負指數(shù)分布。系統(tǒng)中有S個服務臺，每個服務臺的服務時間相互獨立，且服從參數(shù)為的負指數(shù)分布。表示單位時間平均到達的顧客數(shù)，所以1/就表示相繼顧客到達的平均時間。表示單位時間能能被服務完成的顧客數(shù)，稱為平均服務率，而1/表示一個顧客的平均服務時間。（2） 在安排A進行體檢i項之前，按照統(tǒng)計的方法求出，并預計在時間內進入醫(yī)院的人數(shù)，即*。每一項體檢完成的人數(shù)為/，把進來的人數(shù)按照（1）的方法進行安排。當A體檢完第i項后，根據(jù)預計的結果再用（1）的方法進行安排，直到完成全部體檢項目為止。（3） 在建立模型的過程之中，要盡可能準確給出和的值，使整個與安排能準確的在計算機中完成。問題二根據(jù)我們體檢人員到來情況進行調查研究，對體檢人員到來和接受服務時間的數(shù)據(jù)進行收集、整理和分析。我們得知顧客到來和體檢的時間主要集中在上午，下午醫(yī)務人員對體檢結果等相關數(shù)據(jù)的進行處理。故這里把上午8:00-12:00之間分成4個時間段進行統(tǒng)計，每個時間段隨機統(tǒng)計200個單位時間(每個單位時間10分鐘)，顧客的到達情況統(tǒng)計整理如表31所示。表3.1顧客到達情況統(tǒng)計表5以下5-1010-1515-2020-2525-3030-3535-4040-4545-508:00-9:0052241053123109:00-10:00284512613221210:00-11:00174220852023111:00-12:00623151100000通過對原始數(shù)據(jù)進行計算，我們可得到體檢人員的平均到達率，如表32所示。在該表中，入表示顧客的到達均值。表3.2體檢人員平均到達率時間段（人/時）8:00-9:0037.59:00-10:0085.810:00-11:00117.211:00-12:0032.1如表32所示，上午8:00-9:00為顧客到達量最少的時候，9:00-10:00體檢人員逐漸增加，10:00-11:00達到最高峰，11:00-12:00到達人數(shù)回落。這是由于體檢中心接受的體檢人員大多是由單位來組織體檢的，10:00-11:00這個時間段內顧客到來較為方便。 我們以上午8:00-9:00的顧客到達情況進行說明。下面根據(jù)表31的數(shù)據(jù)，我們對單位時間內到達的顧客數(shù)是否服從泊松分布進行擬合檢驗。首先，我們用極大似然估計法來估計泊松分布中包含的未知參數(shù)。設總體X服從泊松分布。首先，我們用極大似然估計法來估計泊松分布中包含的未知參數(shù)。設總體X服從泊松分布則參數(shù)入的似然函數(shù)為： 兩邊取對數(shù)得： 得似然方程： 解得： 又可算得： 故參數(shù)的極大似然估計量為： 根據(jù)表32，顧客的平均到達率為375人小時，故單位時內顧客的平均到達率：概率： 其中，與為第n-1個組的下限與上限。理論頻數(shù)=200，對于理論頻數(shù)小于5的組進行合并后k=4，但因在計算概率是，估計了一個參數(shù)，故r=1，自由度為k-r-1=3，求的值為：取a=0.05，可得： ，故認為單位時間內到達的顧客服從參數(shù)為的泊松分布。對于其他各個時間段，我們可以用同樣的方法可證明在每一個時間段顧客的到達都是服從泊松分布。為了研究系統(tǒng)中體檢人員接受服務時間的概率分布，在該體檢中心的隨機調查了200個體檢人員接受服務的時間，記錄整理如表33所示。表3.3服務時間原始數(shù)據(jù)服 務時 間 (m)1.0 1.21.2 1.41.4 1.61.6 1.81.8 2.02.0 2.22.2 2.42.4 2.62.6 2.82.8 3.03.0 3.23.2 3.43.4以上頻數(shù)6122144293759412115753 根據(jù)調查的原始數(shù)據(jù)，顧客的平均服務時間為t=2.29m=132.6s。下面我們使用極大似然估計法來估計理論分布中包含的未知參數(shù)：設顧客的服務時間T服從負指數(shù)分布 則參數(shù)的似然函數(shù)為： 兩邊取對數(shù)得： 得似然方程： 解得：又可算得：故參數(shù)的極大似然估計量為：根據(jù)極大似然估計法，其參數(shù)為：與顧客到達時間一樣，進行矛擬合檢驗，同樣可驗證：該體驗中心排隊系統(tǒng)中體檢人員接受服務的時間服從參數(shù)為=27.144的負指數(shù)分布。綜上，體檢排隊模型假設成立。問題三對于一個團體的客人，要求使整個團體的客人所用時間最少，我們采用0-1規(guī)劃，假設該團體公有M人，按照儀器充分利用、所用總時間最少的分配原則，設每一個體檢項目分配xi人，得到如下的模型： 根據(jù)模型，我們用lingo編程求出最優(yōu)解.六、模型解答問題一 根據(jù)表格一的數(shù)據(jù)和實際情況，給出每個科室的和的表格表格 2lamuda130mu120lamuda230mu224lamuda330mu325Lamuda45mu43lamuda530mu521Lamuda660mu642Lamuda760mu730Lamuda860mu845 根據(jù)表格2的數(shù)據(jù)，用MATLAB編程得出了抽血科室的到達時間和離開時間的圖，和等待時間與停留時間。 根據(jù)對抽血科室的時間和表格一的數(shù)據(jù)處理，通過上面的圖可以看出：當人數(shù)呈數(shù)據(jù)流的泊松分布，與現(xiàn)實相符。問題二 把每個科室抽象成一個點，時間與檢比的積根當做權重。據(jù)迪克斯特拉（Dijkstra）算法，其基本思想是按距 從近到遠為順序，依次求得A到G 的各頂點的最短路和距離，直至（或直至G 的所有頂點），算法結束。為避免重復并保留每一步的計算信息，采用了標號算法（i）令，對，令（ii）對每個 計算把達到這個最小值的一個頂點記為，令 （iii）.若i=|V|-1,停止。若i=0;x(i)=100;end得到的最優(yōu)解：=17 =13 =15 =12 =18 =15 =11 =19七、模型評價與推廣本文上述結果表明利用計算機模擬完全有能力完成對多人、多項體檢項目的分析，并做出僅需等待最短時間的最優(yōu)安排；同時兼顧提高設備利用率，使得各項體檢設備都得以發(fā)揮其最大效用。對此不僅能夠定性分析，而且作出了定量安排，故而是切實可行的，值得在臨床實踐中推廣應用。尤其在醫(yī)院排隊掛號、就診，戰(zhàn)時大批量傷病員的救治排隊等方面具備一定優(yōu)越性，藉此可以合理利用資源 。在此基礎上，對本算法進一步優(yōu)化，可以考慮團隊體檢時如何排隊，建立以所有受檢人員完成檢查的總時間最短為目標函數(shù)、各體檢者的等待時間最短為約束條件的非線性規(guī)劃模型，探討團體體檢排隊的最優(yōu)方案將是下一步研究方向。參考文獻【1】馬琳療養(yǎng)院體健中心動態(tài)排隊系統(tǒng)J中國數(shù)字醫(yī)學，2007，1(1)：2325【2】劉京梅科學的組織管理運用于大批量人員體檢工作中J中原醫(yī)刊，2004，lo(2o)：56【3】茆詩松統(tǒng)計手冊M北京：科學出版社，2003【4】陳慶宏排隊論在生產過程時間組織中的應用閉北方經貿，2003(11)：9293【5】于志青排隊論在交通工程中的應用研究J】中州大學學報，2005，22(1)：118119【6】張維中排隊論在確定集裝箱碼頭吞吐能力中的應用【J】海岸工程，1998，17(1)： 67-7l【7樊相宇電話交費窗口用戶排隊分析【J】西安郵電學院學報，2003，5(1)：48-5l【8】熊桂武MMn系統(tǒng)在學校科學管理中的應用們長春師范學院學報，2004，23(1)：3133【9】楊燦，盧正鼎基于排隊模型的視頻點播系統(tǒng)設計與分析叨電視技術，2004(5)：3436【10】王勇，孫薇，李道華排隊管理系統(tǒng)在銀行管理中的應用陰黑龍江大學自然科學學報，2004，23(2)：156158附錄：程序代碼：clear clc %* %初始化顧客源 %* %總仿真時間 Total_time = 10; %隊列最大長度 N = 10000000000; %到達率與服務率 lambda =30; mu =20; %平均到達時間與平均服務時間 arr_mean = 1/lambda; ser_mean = 1/mu; arr_num = round(Total_time*lambda*2); events = ; %按負指數(shù)分布產生各顧客達到時間間隔 events(1,:) = exprnd(arr_mean,1,arr_num); %各顧客的到達時刻等于時間間隔的累積和 events(1,:) = cumsum(events(1,:); %按負指數(shù)分布產生各顧客服務時間 events(2,:) = exprnd(ser_mean,1,arr_num); %計算仿真顧客個數(shù)，即到達時刻在仿真時間內的顧客數(shù) len_sim = sum(events(1,:)Total_time break; else number = sum(events(4,member) events(1,i); %如果系統(tǒng)已滿，則系統(tǒng)拒絕第 i個顧客，其標志位置 0 if number = N+1 events(5,i) = 0; %如果系統(tǒng)為空，則第 i個顧客直接接受服務 else if number = 0 %其等待時間為 0%PROGRAMLANGUAGEPROGRAMLANGUAGEevents(3,i) = 0; %其離開時刻等于到達時刻與服務時間之和 events(4,i) = events(1,i)+events(2,i); %其標志位置 1 events(5,i) = 1; member = member,i; %如果系統(tǒng)有顧客正在接受服務，且系統(tǒng)等待隊列未滿，則 第 i個顧客進入系統(tǒng) else len_mem = length(member); %其等待時間等于隊列中前一個顧客的離開時刻減去其到 達時刻 events(3,i)=events(4,member(len_mem)-events(1,i); %其離開時刻等于隊列中前一個顧客的離開時刻加上其服 %務時間 events(4,i)=events(4,member(len_mem)+events(2,i); %標識位表示其進入系統(tǒng)后，系統(tǒng)內共有的顧客數(shù) events(5,i) = number+1; member = member,i; end end end end %仿真結束時，進入系統(tǒng)的總顧客數(shù) len_mem = length(member); %* %輸出結果 %* %繪制在仿真時間內，進入系統(tǒng)的所有顧客的到達時刻和離 %開時刻曲線圖（stairs：繪制二維階梯圖） stairs(0 events(1,member),0:len_mem); hold on; stairs(0 events(4,member),0:len_mem,.-r); legend(到達時間 ,離開時間 ); hold off; grid on; %繪制在仿真時間內，進入系統(tǒng)的所有顧客的停留時間和等 %待時間曲線圖（plot：繪制二維線性圖） figure; plot(1: