GRE數學sub的準備2007-01-03 22:38:21 來自: Credo|無法加新小組因此棄 五. 如何準備 1.備考資料 Cracking the GRE Math Test, 2nd Edition 這本書是我復習時使用的主要參考書。書中涵蓋了考試中出現的近90%的內容，每章結束之后，都有Content Review的題目進行復習。最后還附了一套仿真題。我認為這是一本不可多得的sub備考資料。這本書不貴，在Amazon上賣12美元，地址如下： /exec/obido . 103-3798320-3132649 ETS出版的Practicing to Take the Mathematics Test GRE， 3rdEdtion就不用買了，太貴了（140多美元，只有兩套真題。而且書中的一套題目可以在ETS的網站上下載。另一套是誰也沒見過的真題） 官方真題 目前能得到的官方真題只有97年和93年的。97年的真題是在free practice book中免費提供的，我已經上傳到精華區了，文件名是Math.pdf。不過這套題目難度偏低，屬于高考難度。另外一套93年的真題其實是Practicing to Take the Mathematics Test Gre, 2nd Edition，目前沒有電子版，有盜版小販賣。我當時沒有做這套題目。如果想做的話，可以找cyclewalker復印，他買了。 （提示：以后ETS可能會在官方網站放出包含新的真題的Free Practice Book） REA6套仿真題 這就是臭名昭著的那6套題目。正如GFinger所說，題目又偏又難，偏的題目就直接跳過吧（其實做一做也可以，我就都做了）。題目難的好處是讓大家對于真實的考試有所準備，最近幾年的題目難度有上升的趨勢。大家還是認真地把這6套題目做一下吧。（提示：題目我也已經上傳了，是寄托天下網友的掃描版，不過打印出來效果還可以） 03年和04年的回憶題 03年的回憶題我是從寄托天下上下載的，已經上傳。04年的回憶題是GFinger師兄提供的，師兄辛苦了，呵呵。回憶題由于其不完整性，只能用于臨考前摸清ETS的最新出題動向，不能用來模考。不過ETS的題目重復使用率很高，大家還是認真看看這些題目。 （提示：北大數院97級編了一本如何準備GRE數學專項考試，由世圖出版，里面的內容全部來自于REA的6套仿真題和93年的真題，所以不推薦大家購買） 2.考試內容 下面列一下sub考試的大致范圍。 按照ETS的說法，sub考試中50%是微積分方面的題目，25%是線性代數的題目，剩下的25%是其他基本數學內容。 Sub考試總的原則是記住基本定義、定理和結論，不要管證明，更不要去記太復雜的內容。 （提示：下面我給出了一些我認為比較經典的參考書，一般來說書中的內容都是大大超過了考試內容。如果在平時做題時碰到書中索引查不到的概念，可以到這里查詢：） （以下內容參考了寄托天下妙手空空的文章） 高中知識 各種三角誘導公式，和，差，倍，半公式與和差化積，積化和差公式，平面解析幾何。 說明：Cracking the GRE Math Test里面第一章就是復習高中知識，我看內容基本差不多了，大家也就不用另外找書復習了。 數學分析 極限，連續的概念，單變量微積分（求導法則，積分法則，微商），多邊量微積分及其應用，曲線及曲面積分，場論初步。 參考書：張筑生先生的3冊數學分析新講，Walter Rudin的Principles of Mathematical Analysis 說明：Cracking the GRE Math Test用了兩章來復習數學分析，基本夠了。我只是另外看了一些場論的公式以及Fourier分析的一點內容。不過sub中有一些數學分析方面的題目很靈活，要你判斷一個命題是否正確，對于錯誤選項如果想不出反例來就有些麻煩了，大家要注意。 微分方程 基本概念，各種方程的基本解法。 參考書：Wolfgang Walter, Ordinary Differential Equations 說明：以Cracking the GRE Math Test中的相關章節為主，一般不難。 線性代數 普通代數，艾森斯坦因法則，行列式，向量空間，多變量方程組解法，特征多項式及特征向量，線形變換及正交變換，度量空間。 參考書：鎮系之寶，張賢科老師的高等代數學，Seymour Lipschutz的Theory and Problems of Linear Algebra 說明：Cracking the GRE Math Test這本書里面的東西也差不多夠了，不過鑒于sub越來越難，大家還是回去翻翻張老師的書吧。 初等數論 歐幾里得算法，同余式的相關公式，歐拉-費馬定理。 參考書：馮老師的整數與多項式 說明：以Cracking the GRE Math Test相關章節為主。 抽象代數 群論及環域的基本概念及運算法則。 參考書：馮老師的近世代數引論 說明：抽象代數的內容最近幾年越來越多，今年考試中考到了極大理想。還好我在做REA的題目的時候碰到了高斯整環的題目，所以回去好好翻了翻書。大家要認真準備這一部分的內容。 離散數學 命題邏輯，圖論初步（基本概念，表示法，鄰接and關聯距陣，基本運算定理如V+F-E=2），集合論（注意了解一下偏序的概念）。 參考書：J. A. Bondy and U.S.R. Murty，Graph theory with applications 說明：邏輯的題目比較簡單，也就是命題邏輯的基本運算，最多再加上真值表，隨便找一本離散數學的書看看基本概念就行了。集合論的題目也比較簡單。不過由于系里面沒有開圖論的課，所以大家還是好好看書，Bondy這本書看看第一章就行了。 數值分析 高斯迭代法，插值法等基本運算法則。 參考書：李慶揚等的數值計算原理 說明：內容很少，我考試的時候沒見過。 實變函數 可數性概念，可測，可積的概念，度量空間，內積等概念。 說明：以Cracking the GRE Math Test相關章節為主。 拓撲學 鄰域系，可數性公理，緊集的概念，基本拓撲性質。 參考書：J. R. Munkres, Topology 說明：重點，近幾年的分量越來越大。以Cracking the GRE Math Test相關章節為主，不過據說考過foundamental group，大家還是好好看看書。 復變函數 基本概念，解析性（共厄調和的概念），柯西積分定理，Taylor&Laurent展式（重點），保角變換（非重點），留數定理（重點） 參考書：方企勤先生的復變函數教程，Lars V. Ahlfors的Complex Analysis 說明：學過復變就行了，一定要記住基本公式。 概率論與統計 古典概型，單變量概率分布模型，二項式分布的正態近似 參考書：李賢平的概率論基礎 說明：以Cracking the GRE Math Test中相關章節為主，一般來說很簡單。不過由于2字班沒有學過古典概型（托文sir的福），所以我還是把李賢平的這本書好好看了看。統計方面不用擔心，不會有難題，所以不用專門找書看。 3.復習計劃 我從9月中旬開始準備，同時一邊上課（只選了19學分，呵呵）一邊準備general test，所以戰線拉得比較長，斷斷續續近2個月。如果是像UnitarySpace、Johnwoo、mathbooks這樣的牛人來準備，應該半個月就差不多了。下面就說說我的復習安排吧，獻丑了。 第1-4周：認真鉆研Cracking the GRE Math Test。讀完之后做書后的仿真題以及97年的真題。（因為還在準備10月23日的general test，所以用了1個月的時間） 第5-6周：做REA的6套仿真題，同時復習各科內容，檢查自己的知識缺陷。 第7周（考前的一個禮拜）：看往年回憶題，同時再把Cracking the GRE Math Test中不熟悉的部分復習一遍，把所做過的題目中做錯的題目再看一邊。 基本就是這樣_ 4.應試建議 憑我的感覺，數學sub其實就是高考數學選擇題的extended version。所以很多高考時做選擇題的技巧基本可以照搬（比如排除法，代入法之類的。做了幾套模擬題大家的感覺就更深刻了）。其實大家都是高考過來人，不過我還是要廢話幾句。 做題時不用慌，sub的試題難度并不高，都是考基本概念和結論（加上一些變化），時間基本上是剛好夠用。雖然最近幾年難度有所增加，不過對于清華的學生，只要不粗心，2分半鐘內把正確選項選出來基本沒有問題。（如果粗心怎么辦？回去做幾套高考數學題再來）不過題目難度是逐漸上升的，所以前面做題目的時候還是做快一點，最好每題用時不要超過2分鐘。難題出現在45題之后。 如果遇到3分鐘都做不出來的題目，要堅決放棄，留到最后再做。因為如果為了一道題目而放棄后面的簡單題目是非常不值的。 如果一道題目一個錯誤選項都找不出來，最好不要輕易猜答案。Sub每道題的得分期望是0，如果亂猜的話，未必能得更多的分。（當然，如果人品足夠好的話） 在平時準備的時候最好熟悉一下答題紙和試題冊上相關信息的填涂，不過基本上和General Test差不多。樣卷和答題紙在ETS提供的樣題中有。 每次做模考卷，一定要在170分鐘內一次性做完，不能今天做10道，明天做20道。因為sub考試的強度太大（比General Test要不少），如果平時沒有訓練過的話，到了考場上做到最后20題會受不了的，體力腦力都會透支的。 高中知識 各種三角誘導公式，和，差，倍，半公式與和差化積，積化和差公式，平面解析幾何。 說明：Cracking the GRE Math Test里面第一章就是復習高中知識，我看內容基本差不多了，大家也就不用另外找書復習了。 數學分析 極限，連續的概念，單變量微積分（求導法則，積分法則，微商），多邊量微積分及其應用，曲線及曲面積分，場論初步。 參考書：張筑生先生的3冊數學分析新講，Walter Rudin的Principles of Mathematical Analysis 說明：Cracking the GRE Math Test用了兩章來復習數學分析，基本夠了。我只是另外看了一些場論的公式以及Fourier分析的一點內容。不過sub中有一些數學分析方面的題目很靈活，要你判斷一個命題是否正確，對于錯誤選項如果想不出反例來就有些麻煩了，大家要注意。 微分方程 基本概念，各種方程的基本解法。 參考書：Wolfgang Walter, Ordinary Differential Equations 說明：以Cracking the GRE Math Test中的相關章節為主，一般不難。 線性代數 普通代數，艾森斯坦因法則，行列式，向量空間，多變量方程組解法，特征多項式及特征向量，線形變換及正交變換，度量空間。 參考書：鎮系之寶，張賢科老師的高等代數學，Seymour Lipschutz的Theory and Problems of Linear Algebra 說明：Cracking the GRE Math Test這本書里面的東西也差不多夠了，不過鑒于sub越來越難，大家還是回去翻翻張老師的書吧。 初等數論 歐幾里得算法，同余式的相關公式，歐拉-費馬定理。 參考書：馮老師的整數與多項式 說明：以Cracking the GRE Math Test相關章節為主。 抽象代數 群論及環域的基本概念及運算法則。 參考書：馮老師的近世代數引論 說明：抽象代數的內容最近幾年越來越多，今年考試中考到了極大理想。還好我在做REA的題目的時候碰到了高斯整環的題目，所以回去好好翻了翻書。大家要認真準備這一部分的內容。 離散數學 命題邏輯，圖論初步（基本概念，表示法，鄰接and關聯距陣，基本運算定理如V+F-E=2），集合論（注意了解一下偏序的概念）。 參考書：J. A. Bondy and U.S.R. Murty，Graph theory with applications 說明：邏輯的題目比較簡單，也就是命題邏輯的基本運算，最多再加上真值表，隨便找一本離散數學的書看看基本概念就行了。集合論的題目也比較簡單。不過由于系里面沒有開圖論的課，所以大家還是好好看書，Bondy這本書看看第一章就行了。 數值分析 高斯迭代法，插值法等基本運算法則。 參考書：李慶揚等的數值計算原理 說明：內容很少，我考試的時候沒見過。 實變函數 可數性概念，可測，可積的概念，度量空間，內積等概念。 說明：以Cracking the GRE Math Test相關章節為主。 拓撲學 鄰域系，可數性公理，緊集的概念，基本拓撲性質。 參考書：J. R. Munkres, Topology 說明：重點，近幾年的分量越來越大。以Cracking the GRE Math Test相關章節為主，不過據說考過foundamental group，大家還是好好看看書。 復變函數 基本概念，解析性（共厄調和的概念），柯西積分定理，Taylor&Laurent展式（重點），保角變換（非重點），留數定理（重點） 參考書：方企勤先生的復變函數教程，Lars V. Ahlfors的Complex Analysis 說明：學過復變就行了，一定要記住基本公式。 概率論與統計 古典概型，單變量概率分布模型，二項式分布的正態近似 參考書：李賢平的概率論基礎 說明：以Cracking the GRE Math Test中相關章節為主，一般來說很簡單。不過由于2字班沒有學過古典概型（托文sir的福），所以我還是把李賢平的這本書好好看了看。統計方面不用擔心，不會有難題，所以不用專門找書看。 Sub Maths_寫給非數學專業的朋友們 aries 2005-12-13 13:49 恢復于歪酷浩劫后. 本文系寄托天下原創，轉載請注明出處，謝謝。 時隔一月，記憶消退得厲害，被so貓姐催著寫這篇東西，又把那堆筆記和題目翻出來，想起不少值得與大家分享的東西。 這里首先要感謝我的一個朋友，是最好的朋友之一，hitomine，目前就讀于北大數學系。沒有他的幫助，我根本無法入門（也許現在仍沒入門），更別談應付這個考試。從暑假耐心（且不嫌我蠢）地給我補上抽代、復變和拓樸的基本知識，把整套北數的教材借給我，到最后幫我分析考綱，寫拓樸摘要和一道道回答在他看來肯定非常弱智的問題，我想，這次考試能順利通過，完全歸結于他的細心和對數學的深刻理解。 另我高興的是，10G他考得很完美，我很高興，他一定能達成自己的夢想的。（我會把他給我寫的復習材料，和我們的郵件對答附于文后，希望對非數學專業的朋友有用。） 以下分成五部分 1非數學專業應考策略 2背景及復習歷程 3網絡資源 4考場實錄 5附錄 附1.hitomine的sub math考綱 附2.hitomine的柘樸基礎摘要 附3.hitomine全程解答GOGO的傻問題 第一部分 非數學專業應考策略 將hitomine不辭辛苦寫的tips分享給大家。 “ 1. 關于新的分類: 以上分類不同于ETS給出的官方標準,這是因為充分考慮到了中國考生及中國數學教學的特點而重新歸類的,基本符合大多數考生的知識結構特點(包括數學專業的及非數學專業的). 2. 關于我們的目標: 對于參加這個考試的非申請數學專業的考生目標最好放在56道題,也就是說可以錯十道,按照一般中國大學理工科(包括經濟)的數學教學內容,模式,要求及水平,上述5個PART必然有一定的偏重. 3. 各部分的一些事項: 3.1 第一部分是初等的數學(已經按照中國高中大綱RECATEGORIZE過了),基本上包涵了高中的大部分內容，目標是錯0道. 3.2 第二部分是微積分,也就是國內所說的高數,由于國內高數教學只注意操作,因而某些定性的東西對大家很陌生,一定要注意微積分的背景和意義,另外關于實數空間的拓撲學可能要參考一些數學分析的書籍,但要求很淺,不用多看,多看也看不懂的,這部分我們的目標是錯3道以內. 3.3 第三部分是線性代數,大約半年多前我驚訝地發現中國很多著名大學的非數學專業的線代教學里,基本不要求線性空間(向量空間)這個概念,因此很多學生也根本不知道,在我看來這是不可想象的,無論從理論還是計算的角度,如果可能的話,希望能夠掌握從空間和映射角度看問題的方法,這部分我們的目標是錯1道以內. 3.4 第四部分是抽象代數,主要就是關于群,環,域這些最簡單的代數對象的最基本知識,關鍵在于對概念的把握和例子,試題中不排除有些需要借助抽象推理的題,但大多數題目只需要從定義的一些簡單工作即可,這部分我們的目標是錯2道以內. 3.5 第五部分是其他,包括很多較為分散的內容,除了一般拓撲學以外,其他基本都很簡單.這一部分我們的目標是錯4道以內,基本是錯在拓撲上,另外不排除一道考到很偏知識的題(甚至超出了我列舉的范圍,例如很naive的布爾代數).關于拓撲,這應該是第一放棄的題,備考的時候也要先保證其他的. 4. 一本有用的參考書: 關于第一,二,三部分的參考書,我想大家知道的肯定比我多,做過的書也一定比我多得多,而對于抽象代數,很多考生可能之前沒有接觸過,也不知道要看什么書學好,掌握到多少好.個人覺得聶靈沼,丁石孫的代數學引論(第二版,高等教育出版社)中的第一章內容就足夠了.另外該書中第零章的2,3,4節可以幫助某些已經把初等數論的初等知識忘得一干二凈的考生重拾這些簡單的內容. 5. 關于模考題: 說實話,關于這件事我也一直感到很無奈,目前我們手頭的材料有那6套卷子,但價值不太高,感覺題目級別和官方的卷子有著不小的差別,但是其中很多題目單獨拿出來作為練習題卻是很好的(這部分見以后的文章)!由于ETS的題目風格怪異,導致國內很多練習書的練習方式幾乎全部失效,做ETS的題時還是沒有什么感覺,兩條路:本身的數學水平提高了,什么題都一樣的;多分析你做過的為數不多的ETS式的題.另外官方有一套模考題,這是主要的參考標準.關于這套題,以后還會說的. ” 我很贊同。補充一句，從這次考試看 1 陳題極端重要 2 數學分析非常重要，由于是概念和基本計算 3 概率論、抽代、實分析和拓樸非常少 4 注意一些基礎語匯，如consistent要知道意思 第二部分 背景及復習歷程 事實上，我很清楚自己的數學水平。高中時hitomine坐在我旁邊，他是差一點點就進國家隊的人，差距不言而喻。最要命的是經濟類數學全都是淺嘗即止，高等數學重計算輕概念（這個問題最為嚴重），線性代數甚至都不涉及線性變換這一最最核心的觀念，概率論的考試難度更是更小，只和一般的書后習題匹配。所以剛開始的時候hitomine花了老大老大的功夫給我講數學學科的基本架構，映射、連續這種最最核心且基本的概念；他講的很生動，而且因為超過一般數學系碩士生（并不夸張）水平，深入淺出，既充分考慮到我的無知，又能用最前沿最核心的觀念給我講基礎知識，比如拓樸與分析的對較和對應，代數系統、態射等概念的建立，講抽代基礎的時候，更是把整個代數體系融成一體，使我對線性代數的本質和矩陣所表述的映射觀念有了基本的感性認識。對于非數學專業的學生來說，這是自學很難達成的一件事，往往要等看過許多書之后方能有一個初步的感覺。所以我很幸運。 這個過程大概有二十天，把高等代數、抽象代數的基本概念，考試涉及的復數函數內容（最簡單的部分）和拓樸的一點點皮基礎簡明扼要地講給我聽。之后我花了二周多裝備8T，他則北上讀書去了。 后面的一個月，我把hitomine留給我的一堆書瀏覽了一遍，精讀了北大“藍”的抽代講義（寫的真好）和香港大學的一本拓樸講義（因為是英文寫的，而且寫得比較易懂），做了數十頁A4的筆記；向yuanyuan和froggy借來數分和姚慕生的高代。其間又去旁聽數學系的拓樸課，老師很好，但因為我實在沒時間做功課，后來漸漸跟不上，聽不懂了（這個拓樸好象只考了一道罷）。 最后一個月，開始做REA的六套題。對這些題的批評非常多，對他們的評論我贊同。從根本上來說，這些題目與考試完全殊途，很多偏的概念根本沒必要知道（比如laplace積分變換）。但我必須說，這六套題對我幫助很大，至少，它們讓我基本恢復到了高中時的數學計算水平（這個感覺可能大學里早丟了，這才慢慢撿起來）。我花了很大的功夫，大部分題目都弄懂了，做了五六十頁的A4筆記。當然，這個過程仍然少不了hitomine的幫助，在后面的附錄里，你們會看到hitomine的回答有多么認真。最后的三套題（兩套真題一套cracking題）加上03回憶題至關重要，事實上今年很多很多題就是前兩年的題。考前那晚我讓hitomine做一份0304答案給我參考，他真的非常夠兄弟。可惜因為題目表述問題，很多題沒有追究下去，不然也許能考得更好。 第三部分 教材和網絡資源 教材前輩們講的很多，請參看： /bbs/viewthread.php?tid=239502&extra=page%3D1%26filter%3Ddigest 一本值得推薦的書是Cracking the GRE Math Test，Amazon賣12美元。此書爭議頗多，主要是覺得題太少太簡單。但我覺得，對非申請數學專業的非數學系學生來講，它把知識點總覽了一遍，在這個過程中熟悉了數學的英語表達，有好處。雖然出路方向與真題有差距，真題沒有那么多計算，但很多概念和知識點是有針對性的。 以下列舉電子資源，在gter上都能找到 REA題六套 褒貶不一，其偏且怪的出題思路明顯不符真題，但有利于提高計算能力 97-99practice book，sample92-93，math97（真題），加上ETS郵來的practice book 非常重要，或是ETS的官方樣題，或是真題，體現了考試思路 第四部分 應考實錄 考試的過程很順利。環境不錯，上海方面一個教室都沒坐滿。我前后左右都是數學系的，有不少還是旁聽是認識的朋友。心態很好，反正考得差了大不了不寄，或者明年再考。hitomine的策略（第一小時30題，第二小時25題）很有價值，但我貫徹得不夠，前面做得慢了，以至后面比較難的題目沒時間考慮，留下六題沒做，估計另外還錯了十道左右罷（所以實在不算是出色的表現）。但考后發現數學系的兄弟也大都沒有做完，放了寬心，很輕松地徑自回家去了。有一點還需要說一說，170分鐘亦短亦長，但實際上真的很長，進了大學長期不持續計算可以會支持不住，所以REA的六套題和三套模考還有另一個好處是培養耐性，非常重要。 好了，不說了。像hitomine說的，sub其實是個投機取巧的東西，考的好根本不說明任何問題，但考的差也許能說明一些問題所以，祝后來的朋友們都讓這個無聊考試失去意義罷。再向hitomine致以我的感謝。 順便說一句，我最后的分數，820 92%，在數學系看來實在不算好，但對申請經濟學應該可以了。 第五部分 附錄 附1.hitomine的sub math考綱 Part I PRELIMINARIES 1.1 Basic knowledge of functions 1.2 Manipulations of trigonometric functions 1.3 Representations, calculations, and simple limits of sequences of numbers 1.4 Basic real geometry of dimension 2 and 3, and analytic geometry 1.5 Basic theory of arithmetic, number theory 1.6 Solving inequalities and using of fundamental inequalities AM-GM inequality and Cauchy Inequality 1.7 Basic conceptions and manipulations of complex numbers Part II CALCULUS 2.1 Topology on space R limits, continuity, open and closed sets, compactness, bounded sets, and Weierstrass Theorem 2.2 Advance manipulations, properties and meanings of functions of one variable 2.2.1 Limits LHospital Rule 2.2.2 Differentiations, derivatives, some simple Taylors expansions 2.2.3 Riemannian integral 2.3 Calculation and Estimation of local and global (absolute) extreme points and values 2.4 Basic differential geometry of curves and surfaces conception of tangency 2.5 Similar manipulations of functions of two or three variables rudimentary but Stokes Formula in classical sense are required 2.6 Simple applications of calculus, set mathematical models 2.7 Convergence of simple series of numbers Cauchy Principle Part III LINEAR ALGEBRA 3.1 Conception of vector spaces of finite dimension on fixed basic field (R or C) linear dependence and independence, base 3.2 Linear maps and transformations, their representations of matrix, rank, kernel (null space), image (range), eigenvalues and eigenvectors 3.3 Basic manipulations of matrix and determinations, solving group of linear equations 3.4 Vector spaces equipped with an inner product, standard orthogonal base Part IV ABSTRACT ALGEBRA 4.1 Groups 4.1.1 Basic conceptions and judgments subgroups, formal subgroups, quotient groups, cosets, index of subgroup, order of element, homomorphism, isomorphism, kernels 4.1.2 Crucial examples cyclic groups, permutation groups, linear groups 4.1.3 Some simple calculations order, index, cardinality of coset 4.2 Rings 4.2.1 Basic conceptions and judgments subrings, ideals, quotient rings, homomorphism, isomorphism, kernels 4.2.2 Some qualified rings integral rings (domains), commutative rings, rings equipped with a unit, and prime ideals, maximal ideals 4.2.3 Crucial examples rings of integrals, rings of algebraic numbers, rings of matrix 4.3 Fields 4.3.1 Basic conceptions and judgments 4.3.2 Crucial examples fields of numbers, finite fields Fp and their characteristics Part V SUPPLEMENTORY 5.1 General topology 5.1.1 Basic conceptions T and C axioms are not required and judgments 5.1.2 Perception of topological properties 5.1.3 Topological spaces with distance 5.2 Functions of one complex variable 5.2.1 Conception of analytic (holomorphic) and its criteria Cauchy-Riemann Equation 5.2.2 Integral on cycles the residue formula 5.3 Reading programs (procedures) and relevant naive calculations 5.4 Probability theory 5.4.1 Basic elements in modern theory of Kolmogolov and relevant manipulations 5.4.2 Calculations in classical models of probability 5.5 Logic and propositions 5.6 Linear program 5.7 Combinations and arrangements 5.8 Basic statistics 附2.hitomine的柘樸基礎摘要 Rudimentary General Topology 1. Topological Spaces 1.1 Definition: topology on a set; topological space 1.2 Examples: discrete topology; trivial topology 2. Basis for a Topology 2.1 Definition: basis for a topology 2.2 Definition: the product topology; the subspace topology 2.3 Definition: equivalence of different topologies 3. Closed Sets and Limit Points 3.1 Definition: closed sets; closure; interior of a set 3.2 Proposition: Let Y be a subspace of X; let A be a subset of Y; let Ac denote the closure of A in X. Then the closure of A in Y equals AcY. 3.3 Proposition: Let A be a subset of the topological space X. (a) Then xAc if and only if every open set U containing x intersects A. (b) Supposing the topology of X is given by a basis, then xAc if and only if every basis element B containing x intersects A. 3.4 Definition: limit point (or cluster point, accumulating point, point of accumulation) *3.5 Proposition: Let A be a subset of the topological space X; let A be the set of all limit points of A. Then Ac=AA. 4. Continuous Functions (or Maps, Mappings) 4.1 Definition: continuous function (compare, as an example, with the analytic version of continuity of f:R-R via the - definition) *4.2 Proposition: Let X and Y be topological spaces; let f:X-Y. Then the following are equivalent: (a) f is continuous; (b) For every subset A of X, one has f(Ac)?f(A)c; (c) For every closed subset B of Y; the set f -1(B) is closed in X; (d) For each xX and each neighbourhood V of f(x), there is a neighbourhood U of x such that f(U)?V. 4.3 Definition: homeomorphism 5. The Metric Topology 5.1 Definition: metric; metric topology; metrizable space; bounded set 5.2 Examples: the euclidean metric d on Rn; the square metric and their equivalence *5.3 Proposition: Let f:X-Y; let X and Y be metrizable with metrics dX and dY, respectively. Then continuity of f is equivalent to the requirement that given xX and given 0, there exists 0 such that dX(x,y) implies dY(f(x),f(y)Y. If the function f is continuous then for every convergent sequence xn-x in X, the sequence f(xn) converges to f(x). The converse holds if X is metrizable. *5.6 Definition: uniformly convergent sequence of functions *5.7 Uniform limit theorem: Let fn:X-Y be a sequence of continuous functions from the topological space X to the metric space Y. If fn converges uniformly to f, then f is continuous. 6. Connected Spaces 6.1 Definition: connected space *6.2 Proposition: A space X is connected if and only if the only subsets of X that are both open and closed in X are the empty set and X itself. *6.3 Proposition: Let A be a connected subspace of X. If A?B?Ac, then B is also connected. *6.4 Proposition: The image of a connected space under a continuous map is connected. 6.5 Definition: path connected space *6.6 Proposition: The image of a path connected space under a continuous map is path connected. *6.7 Proposition: A connected space must be path connected, but the converse does not hold universally. 7. Compact Spaces 7.1 Definition: covering; open covering; compactness *7.2 Proposition: Let Y be a subspace of X.Then Y is compact if and only if any covering of Y by sets open in X contains a finite subcollection covering Y. *7.3 Proposition: Every closed subspace of a compact space is compact. *7.4 Proposition: Every compact subspace of a Hausdorff (we assume the term now whose definition will be required in the later part) space is closed. *7.5 Proposition: The image of a compact space under a continuous map is compact. *7.6 Theorem: Let f:X-Y be a bijective (injective and surjective) continuous function. If X is compact and Y is Hausdorff, then f is a homeomorphism. *7.7 Theorem: A subspace A of Rn is compact if and only if it is closed and bounded (in the euclidean metric d). *7.8 Definition: uniformly continuous function *7.9 Uniform continuity theorem: Let f:X-Y be a continuous map of the compact metric space X to the metric space Y, then f is uniformly continuous. 8. Seqentially Compact Spaces 8.1 Definition: subsequence; sequentially compact *8.2 Proposition: Compactness implies sequentially compactness, but the converse does not hold universally. *8.3 Proposition: If X is a metrizable space. Then compactness and sequentially compactness are equivalent. *8.4 Bolzano-Weierstra theorem: Bounded sequence i