立體幾何 第七章 第39講空間幾何體的三視圖 直觀圖 表面積和體積 欄目導(dǎo)航 1 空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征 1 多面體的結(jié)構(gòu)特征 平行 公共頂點(diǎn) 底面 2 旋轉(zhuǎn)體的形成 2 空間幾何體的三視圖 1 三視圖的名稱幾何體的三視圖包括 2 三視圖的畫法 在畫三視圖時(shí) 重疊的線只畫一條 擋住的線要畫成 三視圖的正視圖 側(cè)視圖 俯視圖分別是從幾何體的 方 方 方觀察幾何體的正投影圖 正視圖 側(cè)視圖 俯視圖 虛線 正前 正左 正上 3 空間幾何體的直觀圖空間幾何體的直觀圖常用 畫法來畫 其規(guī)則是 1 原圖形中x軸 y軸 z軸兩兩垂直 直觀圖中 x 軸 y 軸的夾角為 z 軸與x 軸和y 軸所在平面 2 原圖形中平行于坐標(biāo)軸的線段 直觀圖中仍分別 平行于x軸和z軸的線段在直觀圖中保持原長度 平行于y軸的線段在直觀圖中長度為 斜二測 45 或135 垂直 平行于坐標(biāo)軸 不變 原來的一半 4 空間幾何體的表面積與體積 Sh 4 R2 1 思維辨析 在括號(hào)內(nèi)打 或 1 底面是正方形的四棱柱為正四棱柱 2 有一個(gè)面是多邊形 其余各面都是三角形的幾何體是棱錐 3 夾在圓柱的兩個(gè)平行截面間的幾何體還是圓柱 4 用斜二測畫法畫水平放置的 A時(shí) 若 A的兩邊分別平行于x軸和y軸 且 A 90 則在直觀圖中 A 45 5 正方體 球 圓錐各自的三視圖中 三視圖均相同 解析 1 錯(cuò)誤 因?yàn)閭?cè)棱不一定與底面垂直 2 錯(cuò)誤 盡管幾何體滿足了一個(gè)面是多邊形 其余各面都是三角形 但不能保證各三角形具有公共頂點(diǎn) 3 錯(cuò)誤 因?yàn)閮蓚€(gè)平行截面不能保證與底面平行 4 錯(cuò)誤 A應(yīng)為45 或135 5 錯(cuò)誤 正方體的三視圖由于正視的方向不同 其三視圖的形狀可能不同 圓錐的側(cè)視圖與俯視圖顯然不相同 2 用任意一個(gè)平面截一個(gè)幾何體 各個(gè)截面都是圓面 則這個(gè)幾何體一定是 A 圓柱B 圓錐C 球體D 圓柱 圓錐 球體的組合體解析 當(dāng)用過高線的平面截圓柱和圓錐時(shí) 截面分別為矩形和三角形 只有球滿足任意截面都是圓面 C 3 某幾何體的俯視圖是如圖所示的矩形 正視圖是一個(gè)底邊長為8 高為5的等腰三角形 側(cè)視圖是一個(gè)底邊長為6 高為5的等腰三角形 則該幾何體的體積為 A 24B 80C 64D 240 B 4 表面積為3 的圓錐 它的側(cè)面展開圖是一個(gè)半圓 則該圓錐的底面直徑為 解析 設(shè)圓錐的母線為l 圓錐底面半徑為r 則 rl r2 3 l 2 r 解得r 1 即直徑為2 2 5 某幾何體的三視圖如圖所示 其中正視圖是腰長為2的等腰三角形 側(cè)視圖是半徑為1的半圓 則該幾何體的表面積是 1 三視圖中 正視圖和側(cè)視圖一樣高 正視圖和俯視圖一樣長 側(cè)視圖和俯視圖一樣寬 即 長對正 寬相等 高平齊 2 解決有關(guān) 斜二測畫法 問題時(shí) 一般在已知圖形中建立直角坐標(biāo)系 盡量運(yùn)用圖形中原有的垂直直線或圖形的對稱軸為坐標(biāo)軸 圖形的對稱中心為原點(diǎn) 注意兩個(gè)圖形中關(guān)鍵線段長度的關(guān)系 一空間幾何體的三視圖和直觀圖 例1 1 一幾何體的直觀圖如圖 下列給出的四個(gè)俯視圖中正確的是 B 2 用斜二測畫法畫一個(gè)水平放置的平面圖形的直觀圖為如圖所示的一個(gè)正方形 則原來的圖形是 A 3 已知三棱錐的俯視圖與側(cè)視圖如圖所示 俯視圖是邊長為2的正三角形 側(cè)視圖是有一條直角邊為2的直角三角形 則該三棱錐的正視圖可能是 C 二空間幾何體的表面積和體積 1 以三視圖為載體的幾何體的表面積問題 關(guān)鍵是分析三視圖確定幾何體中各元素之間的位置關(guān)系及數(shù)量 2 多面體的表面積是各個(gè)面的面積之和 組合體的表面積注意銜接部分的處理 旋轉(zhuǎn)體的表面積問題注意其側(cè)面展開圖的應(yīng)用 3 若所給定的幾何體是柱體 錐體或臺(tái)體等規(guī)則幾何體 則可直接利用公式進(jìn)行求解 其中 等積轉(zhuǎn)換法多用來求三棱錐的體積 4 若所給定的幾何體是不規(guī)則幾何體 則將不規(guī)則的幾何體通過分割或補(bǔ)形轉(zhuǎn)化為規(guī)則幾何體 再利用公式求解 5 若以三視圖的形式給出幾何體 則應(yīng)先根據(jù)三視圖得到幾何體的直觀圖 然后根據(jù)條件求解 C B 三與球有關(guān)的切 接問題 1 已知點(diǎn)E F G分別是正方體ABCD A1B1C1D1的棱AA1 CC1 DD1的中點(diǎn) 點(diǎn)M N Q P分別在線段DF AG BE C1B1上 以M N Q P為頂點(diǎn)的三棱錐P MNQ的俯視圖不可能是 C 解析 當(dāng)M與F重合 N與G重合 Q與E重合 P與B1重合時(shí) 三棱錐P MNQ的俯視圖為A 當(dāng)M N Q P是所在線段的中點(diǎn)時(shí) 三棱錐P MNQ的俯視圖為B 當(dāng)M N Q P位于所在線段的非端點(diǎn)位置時(shí) 存在三棱錐P MNQ 使其俯視圖為D 故選C 2 若幾何體的三視圖如圖所示 則該幾何體的外接球的表面積為 A 34 B 35 C 36 D 17 解析 由幾何體的三視圖知它的底面是正方形且有一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐 可把它補(bǔ)成一個(gè)長 寬 高分別為3 3 4的長方體 該長方體的外接球即為原四棱錐的外接球