數學與科技進步沈灝2012 09 10haoshen 參考文獻 部分 1 M 克萊因 古今數學思想 全四冊 上海科技出版社 2 張順燕 數學的源與流 高等教育出版社 3 鄧東皋等 數學與文化 北京大學出版社 4 G 哈代 一個數學家的辯白 5 沈灝 數學在科學中的地位與作用 超星視頻 第一章 數學在科學中的地位 1 1 何謂科學 何謂技術 科學 Science 是對客觀規律的認識 揭示和描述的系統知識 技術 Technoledge 則是人們為了各種特定的目的在科學理論指導下從事的種種發明與創造等等 科學 一詞源于拉丁文scientia 原為 知識 與 學問 之意 1 2 梁啟超關于 學 與 術 的定義學也者 觀察事物而發明真理者也 術也者 取所發現之真理致之用者也 譬如以石投水則沉 投以木則浮 觀察此事實以證明水之右浮力 此物理也 應用此真理以駕駛船舶 則航海術也 研究人體之組織 辨別各器官之機能 此生理學也 應用此真理以療治疾病 則醫術也 學與術之區分及其相關系 凡百皆準此 梁啟超 學與術 1911 1 3 中譯名 科學 之由來明清時期 與science意義最相近的中文詞語為 格致 即 格物致知 之意 徐光啟稱之為 格物窮理之學 明治維新時期 日本學者西周將science譯為 科學 其意為 分科之學 在古代中國 分科之學 與 分科取士 的科舉考試相關 因此 雖然 科學 一詞在中國古已有之 然而它只和科舉有關 而和science無關 十九世紀九十年代 康有為首次將 科學 作為science的譯名從日本引入中國 自此至1905年 科學 與 格致 并用 1905年 清政府廢科舉 興新學 自此以后 科學 逐步取代 格致 專以指代science 1 4 自然科學與自然哲學 科學 一詞 原來主要是指自然科學 Naturalscience 也稱自然哲學 NaturalPhilosophy 例如 Newton的名著叫作 自然哲學的數學原理 廣義的 科學 不但包括自然科學 還包括社會科學 人文科學等大類 1 5 科學與技術之間的關系學為術之體 術為學之用上述說法不無道理 但失諸片面 技術固然要接受科學理論的指導 必須符合科學規律才有可能有所發明 有所創造 反之 技術的進步也會為科學研究提供更多更好的方法和手段 促進科學的發展 1 6 有 閑 最難從事科學研究的三個基本條件 一曰有 才 二曰有 財 三曰有 閑 有 閑 最難 科學是不講功利的 而技術是一定要講功利的 從個人來說 研究科學的動機是什么 是人的與生俱來的好奇心 是人們探究未知世界奧秘的無窮無盡的樂趣 1 7 從事科學研究 做學問 的三個境界 昨夜西風凋碧樹 獨上層樓 望斷天涯路 為伊消得人憔悴 衣帶漸寬終不悔 眾里尋她千百度 驀然回首 那人恰在燈火闌珊處 王國維 人間詞話 1 8 科學的一種分類法 自然科學 物理 之學 社會科學 事理 之學 人文科學 情理 之學 哲學 數學 1 9 六門基礎科學數 理 化 天 地 生 1 10 科學精神最簡潔的表達可概括為兩個字 求是 1 11 數學之用數學的計算功能 數學是描述科學理論的合適語言 數學是發現科學規律的銳利武器 數學是培養學生思維能力的理想載體 數學的哲學意義 數學的美學價值 第二章 代數結構與序結構2 1 集合與一一對應定義2 1 設X與Y為兩個非空集合 f為從集合X到集合Y的一個對應規則 使得對X中的任意一個元素x 都有Y中惟一的一個元素y與之對應 則稱f為從X到Y的一個映射 mapping 而將y叫作元素x在映射f作用之下的象 記作y f x 定義2 2 設f為從集合X到Y的一個映射 i 若對Y中任一元素y 都存在X中某個元素x 使得y f x 則稱f為從X到Y上的一個滿射 surjection 或稱f是映上的 surjective ii 若對X中任意兩個不同元素s t 只要s t 都有f s f t 則稱f為從X到Y的一個單射 injection iii 若f既是單射又是滿射 則稱f為從X到Y上的一個雙射 bijection 或一一對應 onetoonecorrespondance 2 2 集合的基數定義2 3 設X與Y為兩個集合 若存在從X到Y上的一個一一對應 則稱X與Y的基數 cardinal 或稱X與Y等勢 記作 X Y 這里 X 表示集合X的基數 若X是包含m格元素的有限集 則定義X的基數為m 即 X m 空集的基數為零 即 定義2 4 設X與Y為兩個集合 若X存在某個子集U使得 U Y 則稱X的基數不小于Y的基數 記作 X Y 若 X Y 但對Y的任一子集V 都不存在從V到X上的一一對應 則稱X的基數大于Y的基數 記作 X Y 命題2 1 若 X Y 與 Y X 同時成立 則必 X Y 2 3 可數集定義2 5 令N表示由全體正整數組成的集合 設X為任一集合 若 X N 則稱X為可數集 countableset 否則稱X為不可數集 例2 1 i 全體偶數的集合是可數集 ii 全體3的倍數組成的集合是可數集 iii 令S 7t 5 t為任意正整數 則S為可數集 思考題 1 令Q表示由全體有理數組成的集合 證明 Q是可數集 思考題 1 令Q表示由全體有理數組成的集合 證明 Q是可數集 2 證明 有限集不可能與其真子集基數相同 無限集必與它的某個真子集基數相同 擴展閱讀 全體實數組成的集合記作R 證明 R是不可數集 實數集R的基數叫作連續統勢 思考題3 證明 全體實數的集合R與全體復數組成的集合C的基數相同 即 C R 2 4 偏序關系與偏序集定義2 6 令S為一個非空集合 在S上給定一個關系 記作 若 具有下述性質 i 自反性 對S中任意元素想x 都有x x ii 反對稱性 由x y與y x都成立必有x y iii 傳遞性 由x y與y z同時成立必有x z 則稱 為集合S上的一個偏序關 partialordering 而把序對 S 叫作一個偏序集 partiallyorderedset 例2 2 設n為給定之正整數 S為由n的全體正因數組成的集合 則S關于整數的整除關系構成一個偏序集 例2 3 設A為給定之有限集 S為由A的全體子集 包括S本身與空集 組成的集合 則S關于集合的包含關系構成一個偏序集 2 5 全序集若x y但x y 則記作x y 定義2 7 設 S 為一個偏序集 若對S中任意兩個不同元素x與y 在x y與y x兩式之中必有且只有一式成立 則稱 S 為一個全序集 totallyorderedset 例2 4 全體實數的集合R關于實數的小于等于關系是一個全序集 R 全體正整數集合N關于此 也構成一個全序集 思考題4 舉出一些你在專業學習或生活中用到的偏序關系和偏序集以及全序集之例 2 6 復數域的公理化通常用C表示全體附屬的集合 在C上定義有兩個基本的代數運算 加法和乘法 復數關于這兩種運算具有下述基本性質 1 加法交換律 對任意元素a b都有a b b a 2 加法結合律 對任意元素a b c 都有 a b c a b c 3 零元存在 對任意元素a 都有0 a a 4 負元存在 對任意元素a 都存在某個元素x使得a x 0 x叫做a的負元 記作 a 5 乘法交換律 對任意元素a b都有a b b a 6 乘法結合律 對任意元素a b c 都有 a b c a b c 7 單位元存在 對任意元素a 都有1 a a 8 逆元存在 對任意非零元素a 都存在某個元素x使得a x 1 x叫做a的逆元 記作1 a 9 乘法對于加法的分配律 對任意元素a b c 都有a b c a b a c 定義2 8 復數集C關于復數加法和乘法這兩種基本運算構成的代數系統 C 叫作復數域 有時為了方便 也常常簡單地用C表示復數域 2 7 數域問題 是否只有全體復數的集合C關于復數的加法與乘法構成的代數系統才具有2 6中的全部九條性質 定義2 9 設K為復數集C的至少包含兩個元素的子集 若K關于加法與乘法這兩種代數運算封閉并且具有2 6中的9條性質 則稱代數系統 K 為一個數域 或簡單地稱K為一個數域 numberfield 例2 5 令R表示全體實數的集合 則 R 是一個數域 叫做實數域 thefieldofrealnumbers 例2 6 令Q表示全體有理數的集合 則 Q 也是一個數域 叫做有理數域 thefieldofrationalnumbers 例2 6 令Q i a bi a b為有理數 則Q i 也是一個數域 叫做Gauss數域 關于數域的判別法則 定理2 1 設K為復數集C的至少包含兩個元素的子集 若K關于四則運算封閉 則K是一個數域 思考題5 設n為整數 令Q n a b n a b為有理數 則Q n 為數域 思考題6 證明 有理數域是最小的數域 即任意一個數域都包含有理數域 2 8 域定義2 10 設F為至少包含兩個元素的集合 在F上定義兩個二元運算 叫做加法和乘法 分別記作 與 若F關于這兩個代數運算封閉 并且滿足以下八條公理 1 加法交換律 對F中任意元素a b都有a b b a 2 加法結合律 對F中任意元素a b c 都有 a b c a b c 3 零元存在 對F中任意元素a 都有0 a a 4 負元存在 對F中任意元素a 都存在某個元素x使得a x 0 x叫做a的負元 記作 a 5 乘法交換律 對F中任意元素a b都有a b b a 6 乘法結合律 對F中任意元素a b c 都有 a b c a b c 7 單位元存在 對任意元素a 都有1 a a 8 逆元存在 對任意非零元素a 都存在某個元素x使得a x 1 x叫做a的逆元 記作1 a 9 乘法對于加法的分配律 對任意元素a b c 都有a b c a b a c 則稱代數系統 F 為一個域 或簡單地稱F為一個域 field 顯然 每一個數域都是域 下面我們構造一個只有兩個元素的域 令F 0 1 規定加法如下 0 0 0 0 1 0 1 0 1 1 1 0 再規定乘法如下 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 不難驗證 F 關于這兩種代數運算封閉 并且滿足全部八條公理 因此這是一個域 思考題7 設p為任意素數 證明 都存在一個正好具有p個元素的域 包含有限多個元素的域叫有限域 有限域理論在計算機科學 信息科學和通信工程中有極其重要的應用 2 9 整數環定義2 11 令Z表示全體整數組成的集合 則Z關于復數的加法和乘法運算具有除去性質8 之外的其余八條性質 因此 Z 不是一個數域 但它還是具有相當好性質的一個代數系統 叫做整數環 帶余除法定理2 2 任給整數a和正整數b 存在唯一一對整數q與r 使得a q b r 0 r b 1 2 10 多項式環定義2 設R為實數域 令R x 表示不定元x的全體實系數多項式所組成的集合 考慮R x 關于多項式加法 與乘 R x 法 所組成的代數系統 R x 不難證明 R x 滿足除去8 以外的全部八條公理 R x 叫做實數域上的一元多項式環 思考題8 證明 R x 滿足除去8 以外的全部八條公理 思考題9 設f x 與g x 為R x 中的兩個多項式且g x 0 證明 存在多項式q x 與r x 使得f x q x g x r x 其中r x 0或者r x 的次數小于g x d的次數 第三章 數學的計算功能 3 1 數學為計算提供方法和工具數學是一門藝術 是一門通過發展概念和技巧以使人們較為輕快地前進 從而避免靠蠻力計算的藝術 3 2 從變中找不變例3 1 求前n個自然數的和 S n 1 2 3 n解 1 2 3 n 1 nn n 1 n 2 2 1 n 1 n 1 n 1 n 1 n 1 因此得 S n n n 1 2 3 3 待定系數法之應用例3 2 求前n個自然數的平方之和 例3 3 設k為正整數 求前n個自然數的k次方之和 直覺用于發明 邏輯用于證明 3 5 級數求和之例 例3 4 計算 1 2 1 6 1 12 1 20 1 30 1 42 1 56 1 72 1 90 1 1 2 1 2 1 3 1 3 1 4 1 4 1 5 1 5 1 6 1 6 1 7 1 7 1 8 1 8 1 9 1 9 1 10 1 1 10 9 10 3 6 斐波那契數列1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 90 145 3 9 朱載堉 明朝 1536 1611 為了研究樂律學 發明十二平均律 用珠算求2的12次方根的近似值 精確到25位有效數字 2的12次方根 1 059463094359295264561825 3 10 牛頓 1642 1727 和萊布尼茨 1646 1716 發明微積分 微分可用來求變化率 切線的斜率 速度和加速度 積分可用來求不規則圖形的面積和體積 運動物體所走的路程 3 11 計算數學與計算機十九世紀中葉以前的數學大家一般都是計算能手 L Euler 1707 1783 與K Gauss 1777 1855 都在其一生中把很大精力花在數值計算以及計算方法的改進上 自電子計算機問世以后 即能以過去計算專家所無法比擬的速度與規模進行數值計算 的數值計算曾長期作為判斷計算技術水平的一個標準 十九世紀中葉 的近似值算到400位 英國計算家W Shanks 1812 1882 花了二十多年時光 把 算到707位 傳為美談 不過到1946年通過計算機發現第528位是錯誤的 1949年由計算機求 的近似值 一下子精確到小數點后2000多位 十年后推進到十萬位 二十年后天推進到一百萬位 第四章 數學是描述科學規律的合適語言大自然是一部書 這部書使用數學的語言寫成的 意大利 伽利略沒有哪一門科學能比數學更為清晰的闡明自然界的和諧性 保羅 卡洛斯 如果物理定律在數學形式上不美 那就是一種理論還不夠成熟的標志 說明理論有缺陷 需要改進 我沒有試圖直接解決某一物理問題 而只是試圖尋找某種優美的數學 英 狄拉克 數學之所以有高的聲譽 還有一個理由 那就是數學給予精確自然科學以某種可靠性 沒有數學 這些科學是達不到這種可靠性的 理論科學家在他探索理論時 就不得不愈來愈從純粹數學的形式考慮 因為實驗家的物理實驗不能把他提高到最抽象的領域中去 我們這個世界的圖景可以由音樂的音符組成 也可由數學的公式組成 美 愛因斯坦 4 1 天文學天文學的研究對象是最純潔 最美好 最有意義的問題 無論是研究宇宙的旋轉 天體的運行 還是研究天體的大小 相互之間的距離變化 都可以使人得到一種美的享受 天文學的研究目的就是為了尋求宇宙是如何遵循數和數的關系和諧的運行 即宇宙可以用數學關系來描述 卻無法用別的方法所替代 波蘭 哥白尼 天體運行論 4 2 圓錐曲線理論 古希臘 與天體力學開普勒是世界上第一個用數學公式描述天體運動的人 他使天文學從古希臘的靜態幾何學轉化為動力學 開普勒三定律證明了畢達哥拉斯主義核心的數學原理 現象的數學結構提供了理解現象的鑰匙 開普勒行星運動三定律 a 行星在橢圓軌道上繞太陽運動 太陽位于此橢圓的一個焦點上 b 從太陽到星星的向徑在相等的時間內掃過相同的面積 c 行星繞太陽公轉的周期的平方與橢圓軌道的半長軸的立方成正比 4 3 伽利略與力學科學的建立除了牛頓之外 伽利略要算是近代科學最偉大的奠基者了 與亞里士多德不同 伽利略認為 科學必須尋求數學描述 而不是物理解釋 這個方法開創了科學的新紀元和物理科學數學化的進程 伽利略建立了力學科學 設計和樹立了近代科學的思維模式 1650年前后 在科學家頭腦中占據最主要地位的問題是 能否在伽利略的地上物體運動定律和開普勒的天體運動定律之間建立一種聯系 他們確信 上帝數學化地設計了世界 4 4 萬有引力定律牛頓在伽利略和開普勒工作的基礎上 發現了萬有引力定律 給出了萬有引力公式 F G Mm r2這是一個偉大的發現 世界上從來沒有運用方程式到到過如此程度的單一化和統一化 牛頓的功績在于 他為宇宙奠定了新秩序 以最確鑿的證據證明了自然界是按數學設計的 1679年 牛頓證明 1 行星以一個焦點為力的中心的圓錐曲線軌道上運動 開普勒定律 由此可推出平方反比律 2 反過來 如果假定在給定初始條件下解得唯一性 則由平方反比律也可推出 行星 做圓錐曲線軌道運動 3 從1684年到1687年的寫書過程中 牛頓發現 引力與物體質量成正比 引力與質量有恒定聯系由此得出引力的 萬有性 牛頓的萬有引力的思想從1666年開始醞釀到1687年巨著出版 整整經歷了二十年 在這期間許多人都有引力概念 并知道平方反比律 胡克甚至說他能根據平方反比律對行星運動做出完善的解釋 但這需要真正過硬的數學功夫 胡克等人是不具備的 在當時只有牛頓才能完成這項偉業 其結果就是 原理 一書的誕生 第三章 數學是描述科學規律的合適語言 4 5 自然哲學的數學原理近代科學誕生的標志是1687年牛頓 自然哲學的數學原理 一書的出版 牛頓真正給近代科學確定了前所未有的特征 1 給出一般的 普遍的概念 理論和體系 特別是萬有引力 2 建立數學模型 給出數學解法 導出定量的規律 3 根據數學模型可以通過觀察和實驗檢驗的預言 4 提出新問題 為未來學科發展指明方向 牛頓不僅為物理學和力學奠定基礎 而且通過數學化使之成為精密科學 這就使物理學或力學不再停留在一方面是哲學思辨 另一方面是唯象的經驗 兩方面脫節的前科學階段 而在由前科學上升為科學 由哲學進化為科學 由定性精密化為定量的過程中 數學起了關鍵作用 4 6 拉格朗日與他的 分析力學 18世紀的數學家和科學家繼承牛頓的思想繼續前進 拉格朗日的 分析力學 是牛頓數學方法的典范 對力學作了完全數學化的處理 這種方法也用到了流體力學 彈性力學和電磁學 定量的數學化方法構成了科學的本質 真理大多存在于數學中 數學支配一切 自然法則就是數學法則 18世紀最偉大的智者對此深信不疑 4 7 無用與有用之間方程X 2 1 0的求根 復數與復數的幾何表示 復數理論與復變函數論 流體力學 空氣動力學 麥克斯韋的電磁理論 4 8 方程的根式解問題一元三次方程 卡當公式 一元四次方程 費拉里公式 一元五次方程的求根公式是否存在 4 9 群論 關于對稱性的理論 與量子力學阿貝爾 1802 1829 證明 一般的5次或5次以上的代數方程不存在根式解 伽羅華 1811 1832 進一步給出一種方法 利用這種方法 可以判斷給定的一個任意次數的代數方程是否可以根式解 由此誕生了純粹數學的一個極其重要的分支 群論 這一高度抽象的數學理論后來成了研究量子力學的最合適的數學語言和工具 4 10非歐幾何 羅巴切夫斯基 1793 1856 黎曼 1826 1866 與愛因斯坦的相對論 4 11 數學與生物學孟德爾 1822 1884 于1865年發現遺傳定律 但知道1900年前后才被重新發現 這是生物學上一大突破 做數學上也刺激了數量遺傳學的發展 于是 生物學與數學正式結合在一起 1939年 數學生物學成為一門正式學科而今 分子生物學 DNA測序 種群遺傳 生物分類等等 數學在生物科學上的應用方興未艾 前程無限 4 12 數學與經濟學作為一門科學 首先需要搞清基本概念 描述可觀的經濟現象 闡述經濟是如何發展的 然后仿照自然科學的方法建立經濟模型 研究其中規律 特別是變量之間的函數關系以及各種量如何演化的微分方程 若由此再沿著數學化道路發展 即得抽象的數理經濟學 若沿著聯系實際的道路往前 就會得出符合實際的經濟學結論 這首先需要對函數或方程的系數按實際情況進行估算 這時還需要運用統計工具及其他數學方法來確定 確定之后還需解方程以得出結論 諾貝爾經濟學獎獲得者大多是數學家或數學功底深厚的經濟學家 一個典型的例子 美麗心靈 中的納什 第五章 數學是探索未知世界的銳利武器無用之用 眾用之基 明朝 徐光啟數學是科學的大門和鑰匙 忽視數學必將傷害所有的知識 因為忽視數學的人是無法了解任何其他科學乃至世界上任何其他事物的 英 R 培根 沒有哪一門科學能比數學更為清晰的闡明自然界的和諧性 保羅 卡洛斯數學的發展和國家的繁榮昌盛密切相關 法 拿破侖 音樂能激發或撫慰情懷 繪畫能使人賞心悅目 詩歌能動人心弦 哲學能使人獲得智慧 科技可以改善物質生活 而數學則能提供以上的一切 美 克萊因 5 1 海王星的發現天王星於1781年3月13日被威廉 赫歇爾發現 但是到1830年 對天王星的觀察與理論之間有了不能容忍的誤差 已經達到20 1850年更達到2 從表面上看 似乎萬有引力定律的正確性已值得懷疑 兩位青年數學家 劍橋大學23大學生亞當斯 1819 1892 和法國青年數學家勒威亞 1811 1877 認為 偏差是由某個未知行星的擾動所引起 亞當斯經過近兩年的思考和計算 證明天王星運行上的偏差是由一未知行星的攝動引起 他將結果通知英國有關機構 但未受到重視 法國勒威耶于同年 1945年 研究同一問題 完成了兩個報告 發表于1946年6月1日與8月31日 1836年9月18日 勒威耶致信柏林天文臺天文學家加耳 告訴他未知行星的坐標 加耳在9月23日收到來信的當天晚上 將望遠鏡對準寶瓶座內勒威耶所指的那一點 看到一顆星不在星圖上面 這正是那顆未知行星 9月25日 加耳給勒威耶去信說 先生 你給我們指出位置的那顆行星是真實存在的 這顆星就是海王星 海王星 由數學家計算出來的行星 加耳在9月23日收到來信的當天晚上 將望遠鏡對準寶瓶座內勒威耶所指的那一點 看到一顆星不在星圖上面 這正是那顆未知行星 9月25日 加耳給勒威耶去信說 先生 你給我們指出位置的那顆行星是真實存在的 這顆星就是海王星 海王星 由數學家計算出來的行星 5 2 Radon變換與CT掃描技術A M 卡馬克試圖尋找一個不經手術而能準確確定一個體內物體的位置和密度的方法 在那時 只有X 射線 x 光透視 可以利用 但它只給出2維圖像 在平面上有一密度不均勻的物體 我們不能看見里面的陰影部分 但是通過射現穿過它 來看一下從另一邊出來多少 我們能測量出沿一條直線的物質總量 問題是如何從該信息重現物體內部的密度 在平面上有一密度不均勻的物體 我們不能看見里面的陰影部分 但是通過射現穿過它 來看一下從另一邊出來多少 我們能測量出沿一條直線的物質總量 問題是如何從該信息重現物體內部的密度 這個問題的數學解在第一次世界大戰時期即已得到 這就是著名的Radon變換 由于Radon的解答 卡馬克明白了用X 射線從許多不同角度照射 就能決定體內目標的位置和形態 由此導致了CAT掃描技術的產生 即人體器官的3維成像技術 如今 這一原理已擴張為磁共振圖像掃描技術它的分辨率更高 在這兩個技術中 本質上只是大量測量1維和2維的度量 然后應用Radon變換重造3維圖像 卡馬克對Radon變換的應用遠不限于醫學 如今 這一原理已擴張為磁共振圖像掃描技術它的分辨率更高 在這兩個技術中 本質上只是大量測量1維和2維的度量 然后應用Radon變換重造3維圖像 卡馬克對Radon變換的應用遠不限于醫學 在古人類學中 它已被用于某個生活在大約290萬年前的Pless夫人的檢測 對Pless夫人耳室的CAT掃描確定了用其它方法認為是正確的結論 我們的曾曾曾直至第N代曾祖母是直立行走的 Radon變換用于海洋學 可以測定海洋的度 1958年 天文學家用它來描繪過一張月球亮度分布圖 卡馬克因此獲得1979年度諾貝爾生物與醫學獎 5 3 近世代數與糾錯碼理論A 美國70年代初發射 旅行者 號宇宙飛船 成功地應用了糾錯碼技術 使宇宙飛船在30億公里之外向地面傳回了天王星 海王星等星體的天文圖象天王星的九個衛星的光環以及海王星的6個衛星的光環等極其寶貴的資料 糾錯碼技術在通信與數字技術中廣泛使用 包括 圖像記錄技術 CD DVD等 數字音頻技術 CD CompactDisk小型唱片 計算機技術 存儲技術 包括半導體 存儲設備 磁帶設備 磁盤設備 光盤設備等 廣播技術 衛星廣播 地面廣播 電纜 衛星通信 移動通信技術 5 5 數論和代數在密碼學中的應用 1 信息安全 信息保密 信息的完整性 防攻擊與身份認證 2 公鑰密碼學 密碼學一次偉大的革命 Diffie和Hellman1976 數論在公鑰密碼學的應用基于大整數的素因子分解 著名的例子是RSA體制 Rivest Shamir和Adleman1977 如果已知素數p和q 求乘積n pq 是十分簡單的 但若n是一個非常大的正整數 要給出n的素因子分解 計算量是十分大的 密碼體制的可靠性 主要決定于計算的復雜性 數論和代數在密碼學中的應用 1 信息安全 信息保密 信息的完整性 防攻擊與身份認證 2 公鑰密碼學 這是密碼學一次偉大的革命 Diffie和Hellman1976 4 數學的教育作用 數學是培養和訓練學生思維能力的理想載體計算能力 幾何直觀能力 邏輯思維能力 精確 嚴密 簡潔的表達能力 在表面上無關的事物間發現本質聯系的能力 比薩斜塔實驗 馬爾薩斯人口理論 達爾文進化論 門捷列夫元素周期律 5 數學的哲學意義 6 數學的美學價值春秋時的管仲和古希臘P一thagoras發現 5度音程的弦長之比為2 3音樂不外是發出聲音的代數 法國 M Mersenne樂也者 聲音之學也 律也者 數度之學也 朱載堉 朱載堉 1536 1611 與十二平均律C CD DEF FG GA AB C 總結數學的作用1 數學提供計算的工具和方法 2 數學是描述科學理論的合適語言 3 數學是發現科學規律的銳利武器 4 數學是訓練科學思維的有效載體 5 數學的哲學意義 6 數學的美學價值 主要參考書 課程管理與考核 2 測驗115 3 測驗215 4 期末考試50 緒言 5 課程小論文10 1 平時作業10 第一章基本概念和基本規律 1 1電路模型和基本變量 基本要求 建立電路模型的概念 建立分布參數與集中參數的概念 了解電路集中化判據的概念 掌握支路電流 電壓的參考方向與其真實方向的關系 了解器件建模的概念 1 1電路模型和基本變量 1 電路模型 工程上實際電氣裝置品種繁多 千差萬別 實際元件 電氣器件 電氣裝置 進行科學抽象的概括 用數學模型表示電氣器件外部功能 模型元件 電路元件 電路模型 模型元件是實際器件的理想化 反映實際電氣器件的主要電磁性能 模型元件按一定規則組合 使之具有實際裝置的主要電磁性能 這種組合就是電路模型 根據電路模型得出的數學關系又能反映實際器件和裝置的基本物理規律 電器裝置用電路模型近似表示是有條件的 條件變了 電路模型也要作相應的改變 課程將僅對電路模型進行分析和計算 1 1電路模型和基本變量 2 電路參數 稱電阻 電容 電感為電路參數 1 分布參數 在電路中三種參數是連續分布的 即在電路的任何部分都既有電阻 又有電容 又有電感 如兩根并行導線 1 1電路模型和基本變量 R0單位長度的電阻 G0單位長度的電導 L0單位長度的電感 C0單位長度的電容 x分得愈小 就愈接近實際情況 稱這種連續分布的電路參數為分布參數 這樣的電路為分布參數電路 1 1電路模型和基本變量 如果電源頻率f很高 波長 很短 當 與電路的尺寸l可以相比擬 甚至更小時 電源中電流或電荷的分布發生的變化 就不能及時影響到整個電路 電路中不同部分的電磁場 以及電流 電荷的變化將按距離的遠近而不同 各處的電壓也不同 分布參數電路 除了有時間變化以外 還有空間變化 電路中的電流和電壓既是時間的函數 又是距離的函數 即i i x t u u x t 分布參數電路中的電流和電壓關系必須用偏微分方程來描述 1 1電路模型和基本變量 2 集中參數 若電源的頻率f不高 電路元件及電路的各向最大尺寸l遠小于電源最高頻率f的波長 時 電磁場的變化傳布整個電路所需的時間 l c遠小于一個周期T 在此短暫的時間里 電流 電荷和電磁場的分布都未來得及發生顯著變化 電路參數的分布性對電路性能的影響并不明顯 分布參數的影響可以集中起來表示 電阻 電容 電感都集中到一點 能量損耗 電場儲能 磁場儲能過程也分別集中在電阻 電容 電感元件中進行 1 1電路模型和基本變量 稱這些電阻 電容 電感元件為集中參數元件 由集中參數元件組成的電路為集中參數電路 電路的這種近似處理的方法和物理力學中將物體看成質點是相仿的 集中化判據 10l 集中參數電路中的電壓 電流為時間的函數u u t i i t 電路可用常微分方程來描述 課程將只討論集中參數電路 1 1電路模型和基本變量 音頻信號 f 20Hz 25kHz 3 108 25 103 12000m 對實驗室儀器而言 可不必考慮分布參數 實驗室電子儀器的尺寸l 3 30cm 允許信號波長 30 300cm 則f c 3 1011 f 108Hz 109Hz 100兆 1000兆 在實驗室 一般情況下500兆頻率的信號 可作集中參數電路來處理 1 1電路模型和基本變量 信號頻率繼續升高 分布參數將上升到主導地位 信號頻率到微波波段 稱超高頻或射頻 f 1010Hz 1mm 10cm 在這種情況下 電路概念完全被破壞 只能用電磁場理論分析各種現象 如天線 它的下端有電流 頂端電流為零 1 1電路模型和基本變量 設聯接于電視接收天線與電視機間的平行雙導線 稱傳輸線 沒有損耗 并延伸至無限長 這樣可不涉及反射波 若天線端口A點感生了頻率為100MHz 即 2 108rad s的電壓uA Umsin t 在距A點1 5m處B點的電壓uB相對于A點的電壓uA將延遲 相當于相位落后 t0 2 108 5 10 9 rad 于是B點的電壓uB Umsin t Umsin t uA 與A點的線間電壓反相 這信號的波長 A到B這段傳輸線能不能看作集中參數電路 1 1電路模型和基本變量 若C點距A點較近為0 015m 從A點到C點的傳輸時間是5 10 11s相位落后2 108 5 10 11 10 2 rad 1 8 在任意時刻t均可認為uC uA 即可以將該段傳輸線看作是集中參數電路 這是AC間的距離遠小于信號波長的緣故 1 1電路模型和基本變量 電流 單位時間內通過導體橫截面的電量 電壓 單位正電荷由一點轉移到另一點獲得或失去的能量 3 基本變量 電路變量 網絡變量 電荷q和磁通 也可作為一對基本變量 1 1電路模型和基本變量 一般選用電流i和電壓u作為基本變量 4 參考方向 電壓的參考極性也任意選定 經計算 電壓值為正 說明參考極性與真實極性一致 否則相反 電流的參考方向可任意給定 并在電路圖上用箭頭表示 電流的參考方向一經選定 就不再改變 經過