高等數學考試試卷 一、填空題（每小題3分，共30分） 1. 函數的定義域為_。2. 設，則 。3. 設，則= 。4. 設，則 。5. 。6. 函數的極小值為 ，極大值為 。7. 。8. 。9. 設，則_。10. 交換二次積分次序 _ 二、計算題（每小題5分，共50分）1. 設，求。2. 求。3. 求。4. 求曲線的平行于直線的切線方程。5. 求由方程 所確定的函數的導數。6. 求。7. 求。8. 求， 其中D由所圍成的區域。9. 設 求。考試站點：_ 報考專業：_ 準考證號：_ 姓名：_10.設 ，求 。三、應用題（每小題7分，共14分）1. 求拋物線 與直線 所圍平面圖形的面積。 2. 要作一個底面為長方形的帶蓋的箱子，其體積為72立方厘米，其底邊成 1：2的關系，問各邊的長怎樣，才能使表面積為最小？ 四、證明題（共6分）證明不等式： ，。 高等數學復習參考答案 一、填空題（每小題3分，共30分） 1. 2. 3. -14. 5. 6. 0, 7. 8. 9. 10. 二、計算題（每小題5分，共50分）1. 解： （3分） （5分）2. 解：原式 （3分） （5分）3. 解：原式 （3分） （4分） （5分）4. 解 ：設切點坐標為 （2分） 直線的斜率 （3分） （4分） 所求的切線方程為 （5分）5. 解：對方程兩邊同時求導得 （2分） 有 得 （4分） （5分）6. 解：原式 （3分） （5分）7. 解：原式 （2分） （4分） （5分）8. 解：原式 （2分） （3分） （4分） （5分）9. 解： （1分） （2分） （4分） = = （5分）10. 解： （3分） （5分）三、應用題（每小題7分，共14分）1. 解：曲線交點為 和 （1分）所圍區域為 故面積為 （2分） （4分） （6分） （7分） 2. 解：設一條短的底邊為x, 則另一條底邊為2x, 又設箱子高為h, 則由 得 （1分） 表面積 () (3分) 令 得唯一駐點 （5分）由 可知當 時，表面積S最小，即底邊為3 cm, 6cm, 高為4cm時，表面積最小。 （7分） 四、證明題（共6分）證明 令，那么. (1分)要證 ，只需要證.根據計算知道， (2分) (3分)和. (4分) 因為和不同時等于1，得到，從而， (5分)結果有 . (6分)高等數學考點： 姓名： 考號： 專業： 一、 選擇題（每題有四個選項，只有一個正確，請選擇正確的答案；每題5分，共25分）1函數的定義域是()ABCD2設函數f (x)在處可導，則等式中的A表示() AB C D3下列函數中，當x0時，極限 f (x)存在的是() A.B. C. D.4設f (1)=0, 且極限存在，則等于()ABCf (1)D05二次積分等于()ABCD二、填空題（每題5分，共25分）1設函數則= .2設函數則 .3設f (x)在積分區間上連續，且f ( x)為奇函數，則 .4 .5 .三、計算題（每題10分，共40分，沒有解題過程不得分）1 設函數，補充f (0),使f (x) 在點x=0處連續.2 設3 求4 求由曲線所圍成的平面區域的面積.四、證明：當0 1時，（10分） 高等數學2007-2008復習資料（一） (120分鐘)姓名_學號_ _ 班級 專業_ 成績_ _ 一 填空題 （共30分） 1比較大小： 。 2. 比較大小： 0。 3由定積分幾何意義 有 。 4 。 5. 。 6. 設 則 。 7. 設 是 的一個原函數， 則 。 8. 若 ，則 c= 。 9. 若 ，則 。 10.若 ，則 。二 解答題 （共56分） 11求極限 。 12設 求 。 13. 。 14。 15.。 16.。 17。 18設 ，求在 上的最大值與最小值。三 應用題 （8分） 19求由曲線 ，及 所圍成圖形的面積。四 證明題 （6分） 20試證：。 高等數學2007-2008復習資料（二） (120分鐘) 姓名_學號_ _ 班級 專業_ 成績_ _一 單項選擇題 （共30分） 1.已知 ， 則 （ ） A. B. 1 C.2 D.42.下列等式正確的是 （ ） A. B.C. D.3.設函數 則有 （ ） A.極小值 B. 極小值 C.極大值 D. 極大值4. （ ）A. B. C. D. 5. 下列積分值為負數的是 （ ） A. B. C. D. 6. 下列積分值為0的是 （ ） A. B. C. D. 7. 若的一個原函數是 ，則 （ ） A. B. C. D. 8. 下列廣義積分收斂的是（ ） A. B. C. D. 9計算 時為使被積函數有理化，可設x= ( ) A. 2tant B. C. 2sect D. 10. ( ) A. 0 B. C. 3 D. 二 解答題 （共56分） 11 12. 13.14. 設 ，求k值。 15.16. 17.18. 求函數 ，在 上的最大值與最小值。三 應用題 （8分） 19計算由曲線 與 所圍成圖形的面積。四 證明題 （6分） 20證明： （）高等數學一答案: 1.或 2. 3. 4. 5.0 6. 7 8. 9.16 10. 11. 12. 13. 14. 15.1216. 17. 18.最大值 ，最小值。192 高等數學二答案：1.A 2.C 3.B 4.C 5.C 6.A 7.B 8.C 9.B 10.D 11. 12. 13. 14.k=e 15.2 16. 17. 18. 最小值 ，最大值。 1918 20. 提示：令 第一章函數、極限和連續1.1 函數一、 主要內容 函數的概念 1. 函數的定義: y=f(x), xD定義域: D(f), 值域: Z(f).2.分段函數: 3.隱函數: F(x,y)= 04.反函數: y=f(x) x=(y)=f-1(y) y=f-1 (x)定理:如果函數: y=f(x), D(f)=X, Z(f)=Y 是嚴格單調增加(或減少)的； 則它必定存在反函數：y=f-1(x), D(f-1)=Y, Z(f-1)=X且也是嚴格單調增加(或減少)的。 函數的幾何特性1.函數的單調性: y=f(x),xD,x1、x2D 當x1x2時,若f(x1)f(x2),則稱f(x)在D內單調增加( )；若f(x1)f(x2),則稱f(x)在D內單調減少( )； 若f(x1)f(x2),則稱f(x)在D內嚴格單調增加( )；若f(x1)f(x2),則稱f(x)在D內嚴格單調減少( )。 2.函數的奇偶性：D(f)關于原點對稱 偶函數：f(-x)=f(x) 奇函數：f(-x)=-f(x) 3.函數的周期性： 周期函數：f(x+T)=f(x), x(-，+) 周期：T最小的正數 4.函數的有界性： |f(x)|M , x(a,b) 基本初等函數1.常數函數： y=c ， (c為常數)2.冪函數： y=xn , (n為實數)3.指數函數： y=ax , (a0、a1)4.對數函數： y=loga x ,(a0、a1)5.三角函數： y=sin x , y=con x y=tan x , y=cot x y=sec x , y=csc x 6.反三角函數：y=arcsin x, y=arccon x y=arctan x, y=arccot x 復合函數和初等函數1.復合函數： y=f(u) , u=(x)y=f(x) , xX2.初等函數: 由基本初等函數經過有限次的四則運算（加、減、乘、除）和復合所構成的，并且能用一個數學式子表示的函數。二、 例題分析例1. 求下列函數的定義域： 解:對于有: 0 解得: 1 對于有: 0 2 的定義域: 解: 由得： ，解得: 由 得： 0 ， 2 的定義域: 例2.設f(x)的定義域為（-1，1）則f(x+1) 的定義域為 A.(-2,0), B.(-1,1), C.(0,2), D.0,2 解：-1x+11 -2x0即f(x+1) 的定義域為: x(-2,0)應選A.例3.下列f(x)與g(x)是相同函數的為A. , B. ， C. ，D. ， 解：A. ，B. ， 應選BC. ，D. ，例4.求，的反函數及其定義域。解：，在(-3,+)內，函數是嚴格單調的反函數： 例5.設則其反函數 。解： 在內是嚴格單調增加的 又 取 即： （應填）例6.設函數和是定義在同一區間上的兩個偶函數，則為 函數。解：設 = 是偶函數 （應填“偶”）例7. 判斷的奇偶性。解: 為奇函數 例8.設 ，則的周期為 。解法一: 設的周期為T, = 而 ， 解法二： (應填)例9. 指出函數那是由些簡 單函數復合而成的？解：令 ， 則 ， 則 ， 則 是由：，復合而成的。例10. 已知,則等于 A. , B. , C. , D. 解: 或 （應選A）例11. 已知求的表達式。解:解得 1.2 極 限一、 主要內容極限的概念1. 數列的極限: 稱數列以常數A為極限;或稱數列收斂于A.定理: 若的極限存在必定有界.2.函數的極限： 當時，的極限： 當時，的極限： 左極限： 右極限：函數極限存的充要條件：定理：無窮大量和無窮小量1 無窮大量： 稱在該變化過程中為無窮大量。 X再某個變化過程是指： 2 無窮小量： 稱在該變化過程中為無窮小量。3 無窮大量與無窮小量的關系： 定理：4 無窮小量的比較： 若,則稱是比較高階的無窮小量； 若 （c為常數），則稱與同階的無窮小量； 若，則稱與是等價的無窮小量，記作：； 若,則稱是比較低階的無窮小量。定理：若： 則：兩面夾定理1 數列極限存在的判定準則： 設： （n=1、2、3） 且： 則： 2 函數極限存在的判定準則： 設：對于點x0的某個鄰域內的一切點 （點x0除外）有： 且： 則：極限的運算規則 若： 則： 推論： 兩個重要極限 1 或 2 二、 例題分析例1 求數列的極限。解： 例2計算 解： 誤解：=0例3 下列極限存在的是 A. B. C. D. 解：A. B. 不存在C. 應選CD. 不存在例4.當時，與是等價無窮小量， 則 。解： (應填2)例5.計算 (n=1,2,3,)解: (n=2,3,) 又: 由兩面夾定理可得: 例6.計算下列極限 解: 解: 解法一: 共軛法 解法二： 變量替換法 設： 當時， 解法一：共軛法 解法二：變量替換法 設： 當時， 解法一： 解法二： 解：設： 當時， 結論： 解法一： 又 解法二：解法三：應用羅必塔法則 解法一： 解法二： 設當時，解法三： 例7.當時，若與為等價無窮小量，則必有 。解： （應填）結論：例8.若，則 。解： （應填）例9.已知，求的值。解： 由 當時，原式成立。例10.證明：當時，與是等價無窮小量。證：只要證明 成立，即可。 設： 當時，結論：1.3 連續一、 主要內容 函數的連續性1. 函數在處連續：在的鄰域內有定義， 1o 2o 左連續： 右連續：2. 函數在處連續的必要條件： 定理：在處連續在處極限存在 3. 函數在處連續的充要條件： 定理：4. 函數在上連續： 在上每一點都連續。 在端點和連續是指： 左端點右連續； 右端點左連續。 a+ 0 b- x5. 函數的間斷點：若在處不連續，則為的間斷點。間斷點有三種情況： 1o在處無定義； 2o不存在； 3o在處有定義，且存在， 但。 兩類間斷點的判斷： 1o第一類間斷點：特點：和都存在。可去間斷點：存在，但，或在處無定義。 2o第二類間斷點：特點：和至少有一個為， 或振蕩不存在。無窮間斷點：和至少有一個為函數在處連續的性質1. 連續函數的四則運算： 設， 1o 2o 3o 2. 復合函數的連續性： 則：3. 反函數的連續性： 函數在上連續的性質 1.最大值與最小值定理：在上連續在上一定存在最大值與最小值。 y y +M M f(x) f(x) 0 a b x m -M 0 a b x2. 有界定理： 在上連續在上一定有界。 3.介值定理： 在上連續在內至少存在一點 ，使得：， 其中： y y M f(x) C f(x) 0 a b x m 0 a 1 2 b x 推論： 在上連續，且與異號 在內至少存在一點，使得：。 4.初等函數的連續性： 初等函數在其定域區間內都是連續的。三、 例題分析例1. 分段函數，在處是否連續？解： 由函數連續的充要條件定理可知:在 處連續。例2設函數，試確定常數k的值，使在定義域內連續。解：的定義域為： 當時， 是初等函數，在有定義不論k為何值，在內都是連續的。 當時， 是初等函數，在有定義不論k為何值， 在內都