勾股定理全章復(fù)習(xí)與鞏固學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解勾股定理的歷史，掌握勾股定理的證明方法；2.理解并掌握勾股定理及逆定理的內(nèi)容；3.能應(yīng)用勾股定理及逆定理解決有關(guān)的實(shí)際問題.知識(shí)網(wǎng)絡(luò)要點(diǎn)梳理要點(diǎn)一、勾股定理1.勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.（即：）2.勾股定理的應(yīng)用 勾股定理反映了直角三角形三邊之間的關(guān)系，是直角三角形的重要性質(zhì)之一，其主要應(yīng)用是：（1）已知直角三角形的兩邊，求第三邊；（2）利用勾股定理可以證明有關(guān)線段平方關(guān)系的問題；（3）求作長度為的線段要點(diǎn)二、勾股定理的逆定理1. 原命題與逆命題如果一個(gè)命題的題設(shè)和結(jié)論分別是另一個(gè)命題的結(jié)論和題設(shè)，這樣的兩個(gè)命題叫做互逆命題.如果把其中一個(gè)叫做原命題，那么另一個(gè)叫做它的逆命題.2.勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長，滿足，那么這個(gè)三角形是直角三角形.應(yīng)用勾股定理的逆定理判定一個(gè)三角形是不是直角三角形的基本步驟：（1）首先確定最大邊，不妨設(shè)最大邊長為；（2）驗(yàn)證與是否具有相等關(guān)系，若，則ABC是以C為直角的直角三角形，反之，則不是直角三角形.3.勾股數(shù)滿足不定方程的三個(gè)正整數(shù)，稱為勾股數(shù)（又稱為高數(shù)或畢達(dá)哥拉斯數(shù)），顯然，以為三邊長的三角形一定是直角三角形.常見的勾股數(shù)：3、4、5； 5、12、13；8、15、17；7、24、25；9、40、41.如果()是勾股數(shù)，當(dāng)t為正整數(shù)時(shí)，以為三角形的三邊長，此三角形必為直角三角形.觀察上面的、四組勾股數(shù)，它們具有以下特征：1.較小的直角邊為連續(xù)奇數(shù)；2.較長的直角邊與對(duì)應(yīng)斜邊相差1.3.假設(shè)三個(gè)數(shù)分別為，且，那么存在成立.（例如中存在2425、4041等）要點(diǎn)三、勾股定理與勾股定理逆定理的區(qū)別與聯(lián)系區(qū)別：勾股定理是直角三角形的性質(zhì)定理，而其逆定理是判定定理；聯(lián)系：勾股定理與其逆定理的題設(shè)和結(jié)論正好相反，兩者互為逆定理，都與直角三角形有關(guān).典型例題類型一、勾股定理及逆定理的簡單應(yīng)用1、已知直角三角形的兩邊長分別為6和8，求第三邊的長【變式】在ABC中，AB15，AC13，高AD12求ABC的周長2、如圖所示，ABC中，ACB90，ACCB，M為AB上一點(diǎn)求證：【變式】已知，ABC中，ABAC，D為BC上任一點(diǎn)，求證：.類型二、勾股定理及逆定理的綜合應(yīng)用3、已知如圖所示，在ABC中，ABAC20，BC32，D是BC上的一點(diǎn)，且ADAC，求BD的長【變式】如圖所示，已知ABC中，B22.5，AB的垂直平分線交BC于D，BD，AEBC于E，求AE的長.4、如圖所示，分別以直角三角形ABC三邊為直徑向外作三個(gè)半圓，其面積分別用表示，則不難證明(1)如圖，分別以直角三角形ABC三邊為邊向外作三個(gè)正方形，其面積分別用表示，那么之間有什么關(guān)系?(不必證明)(2)如圖，分別以直角三角形ABC三邊為邊向外作三個(gè)正三角形，其面積分別用表示，請(qǐng)你確定之間的關(guān)系并加以證明5、如果ABC的三邊分別為，且滿足，判斷ABC的形狀.類型三、勾股定理的實(shí)際應(yīng)用6、如圖，一只螞蟻在長方體木塊的一個(gè)頂點(diǎn)A處，食物在這個(gè)長方體上和螞蟻相對(duì)的頂點(diǎn)B處，螞蟻急于吃到食物，所以沿著長方體的表面向上爬，請(qǐng)你計(jì)算它從A處爬到B處的最短路線長為多少? 【變式】如圖，有一個(gè)圓柱體，它的高為20，底面半徑為5如果一只螞蟻要從圓柱體下底面的A點(diǎn)，沿圓柱表面爬到與A相對(duì)的上底面B點(diǎn)，則螞蟻爬的最短路線長約為_.(取3) 鞏固練習(xí)一.選擇題1如圖，一棵大樹被臺(tái)風(fēng)刮斷，若樹在離地面3處折斷，樹頂端落在離樹底部4處，則樹折斷之前高( ) A.5 B.7 C.8 D.102如圖，從臺(tái)階的下端點(diǎn)B到上端點(diǎn)A的直線距離為( ) A. B.C. D.3. 下列命題中是假命題的是（ ）A.三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)之比為：3：4的三角形是直角三角形；B.三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)之比為：2的三角形是直角三角形；C.三邊長度之比：2的三角形是直角三角形；D.三邊長度之比：2的三角形是直角三角形；4. 如圖所示，在ABC中，ABAC5，BC6，點(diǎn)E、F是中線AD上的兩點(diǎn)，則圖中陰影部分的面積是（ ）A6 B12 C24 D305下列三角形中，是直角三角形的是( ) A.三角形的三邊滿足關(guān)系 B.三角形的三邊比為123C.三角形的一邊等于另一邊的一半 D.三角形的三邊為9，40，416某市在舊城改造中，計(jì)劃在市內(nèi)一塊如圖所示的三角形空地上種植草皮以美化環(huán)境，已知這種草皮每平方米售價(jià)元，則購買這種草皮至少需要( ) A.450元 B.225元C.150元 D.300元7. 如圖所示，正方形網(wǎng)格中的ABC，若小方格邊長為1，則ABC是（）A.直角三角形 B.銳角三角形 C.鈍角三角形 D.以上答案都不對(duì)8. 已知，如圖長方形ABCD中，AB3，AD9，將此長方形折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)D重合，折痕為EF，則ABE的面積為（）A.3 B.4 C.6 D.12二.填空題9若一個(gè)三角形的三邊長分別為6，8，10，則這個(gè)三角形中最短邊上的高為_10若等邊三角形的邊長為2，則它的面積為_11如圖，B，C是河岸邊兩點(diǎn)，A是對(duì)岸岸邊一點(diǎn)，測得ABC45，ACB45，BC60米，則點(diǎn)A到岸邊BC的距離是_米 12. 下列命題中，其逆命題成立的是_（只填寫序號(hào)）同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行；如果兩個(gè)角是直角，那么它們相等；如果兩個(gè)實(shí)數(shù)相等，那么它們的平方相等；如果三角形的三邊長滿足，那么這個(gè)三角形是直角三角形13. 長為4 的梯子搭在墻上與地面成45角，作業(yè)時(shí)調(diào)整為60角(如圖所示)，則梯子的頂端沿墻面升高了_ 14在直角三角形中，一條直角邊為11，另兩邊是兩個(gè)連續(xù)自然數(shù)，則此直角三角形的周長為_ 15. 如圖所示的圖形中，所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若涂黑的四個(gè)小正方形的面積的和是10，則其中最大的正方形的邊長為_ 16如圖，ABC中，ACB90，ACBC1，取斜邊的中點(diǎn)，向斜邊做垂線，畫出一個(gè)新的等腰直角三角形，如此繼續(xù)下去，直到所畫直角三角形的斜邊與ABC的BC邊重疊為止，此時(shí)這個(gè)三角形的斜邊長為_ 三.解答題17. 若直角三角形兩直角邊的比是3：4，斜邊長是20，求此三角形的面積.18如圖，兩個(gè)村莊A、B在河CD的同側(cè)，A、B兩村到河的距離分別為AC1千米，BD3 千米，CD3千米現(xiàn)要在河邊CD上建造一水廠，向A、B兩村送自來水鋪設(shè)水管的工程費(fèi)用為每千米20000元，請(qǐng)你在CD上選擇水廠位置O，使鋪設(shè)水管的費(fèi)用最省，并求出