第21練平面向量中的線性問題內(nèi)容精要平面向量是初等數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，兼具代數(shù)和幾何的“雙重特性”，是解決代數(shù)問題和幾何問題的有力工具，與很多知識聯(lián)系較為密切，是高考命題的熱點(diǎn)題型一平面向量的線性運(yùn)算例1如圖，正方形abcd中，點(diǎn)e是dc的中點(diǎn)，點(diǎn)f是bc的一個三等分點(diǎn)，那么等于()a.b.c.d.破題切入點(diǎn)順次連接，選好基底答案d解析在cef中，有.因?yàn)辄c(diǎn)e為dc的中點(diǎn)，所以.因?yàn)辄c(diǎn)f為bc的一個三等分點(diǎn)，所以.所以，故選d.題型二平面向量基本定理及其應(yīng)用例2如圖，在平行四邊形abcd中，m，n分別為dc，bc的中點(diǎn)，已知c，d，試用c，d表示，.破題切入點(diǎn)利用平面向量基本定理，用基底表示其余向量解在adm中，c.在abn中，d.由得(2dc)，(2cd)題型三平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算例3平面內(nèi)給定三個向量a(3,2)，b(1,2)，c(4,1)(1)求滿足ambnc的實(shí)數(shù)m，n；(2)若(akc)(2ba)，求實(shí)數(shù)k；(3)若d滿足(dc)(ab)，且|dc|，求d.破題切入點(diǎn)向量坐標(biāo)表示下的線性運(yùn)算解(1)由題意得(3,2)m(1,2)n(4,1)，所以得(2)akc(34k,2k)，2ba(5,2)，由題意得2(34k)(5)(2k)0，解得k.(3)設(shè)d(x，y)，則dc(x4，y1)，ab(2,4)由題意得得或d(3，1)或(5,3)總結(jié)提高(1)平面向量的性線運(yùn)算主要包括加減運(yùn)算和數(shù)乘運(yùn)算，正確把握三角形法則和多邊形法則，準(zhǔn)確理解數(shù)與向量乘法的定義，這是解決向量共線問題的基礎(chǔ)(2)對于平面向量的線性運(yùn)算問題，要注意其與數(shù)的運(yùn)算法則的共性與不同，兩者不能混淆，如向量的加法與減法要注意向量的起點(diǎn)和終點(diǎn)的確定，靈活利用三角形法則、平行四邊形法則同時抓住兩條主線：一是基于“形”，通過作出向量，結(jié)合圖形分析；二是基于“數(shù)”，借助坐標(biāo)運(yùn)算來實(shí)現(xiàn)1已知點(diǎn)a(1,3)，b(4，1)，則與向量同方向的單位向量為()a(，) b(，)c(，) d(，)答案a解析由題意知(3，4)，所以與同方向的單位向量為(，)2(2014課標(biāo)全國)設(shè)d，e，f分別為abc的三邊bc，ca，ab的中點(diǎn)，則等于()a. b.c. d.答案c解析如圖，()2.3(2014天津)已知菱形abcd的邊長為2，bad120，點(diǎn)e，f分別在邊bc，dc上，bebc，dfdc.若1，則等于()a. b.c. d.答案c解析，()()22()4422()24()21.2().(1)(1)(1)22()(1)2()1，()1，即().由解得.4(2014福建)設(shè)m為平行四邊形abcd對角線的交點(diǎn)，o為平行四邊形abcd所在平面內(nèi)任意一點(diǎn)，則等于()a. b2c3 d4答案d解析因?yàn)辄c(diǎn)m為平行四邊形abcd對角線的交點(diǎn)，所以點(diǎn)m是ac和bd的中點(diǎn)，由平行四邊形法則知2，2，故4.5.如圖，平面內(nèi)有三個向量，其中與的夾角為120，與的夾角為30，且|2，|，|2，若(，r)，則()a4，2 b，c2， d，答案c解析設(shè)與，同方向的單位向量分別為a，b，依題意有4a2b，又2a，b，則2，所以2，.6如圖所示，在abc中，點(diǎn)o是bc的中點(diǎn)，過點(diǎn)o的直線分別交直線ab，ac于不同的兩點(diǎn)m，n，若m，n (m，n0)，則的最小值為()a2 b4c. d9答案c解析.同理，m，o，n三點(diǎn)共線，故，即0，由于，不共線，根據(jù)平面向量基本定理得0且0，消掉即得mn2，故(mn)(54).7(2013江蘇)設(shè)d，e分別是abc的邊ab，bc上的點(diǎn)，adab，bebc.若12(1，2為實(shí)數(shù))，則12的值為_答案解析如圖，()，則1，2，12.8(2013四川)在平行四邊形abcd中，對角線ac與bd交于點(diǎn)o，則_.答案2解析由于abcd為平行四邊形，對角線ac與bd交于點(diǎn)o，2，2.9(2014北京)已知向量a，b滿足|a|1，b(2,1)，且ab0(r)，則|_.答案解析ab0，ab，|a|b|b|，|a|.又|a|1，|.10在平面內(nèi)，已知|1，|，0，aoc30，設(shè)mn(m，nr)，則_.答案3解析因?yàn)閍oc30，所以，30.因?yàn)閙n，0，所以|2(mn)2m2|2n2|2m23n2，即|.又(mn)m2m，則|cos 30m，即1m，平方得m29n2，即9，所以3.11已知非零向量e1，e2不共線(1)如果e1e2，2e18e2，3(e1e2)，求證：a、b、d三點(diǎn)共線；(2)欲使ke1e2和e1ke2共線，試確定實(shí)數(shù)k的值(1)證明e1e2，2e18e23e13e25(e1e2)5，與共線，且有公共點(diǎn)b，a、b、d三點(diǎn)共線(2)解ke1e2與e1ke2共線，存在，使ke1e2(e1ke2)，則(k)e1(k1)e2.由于e1與e2不共線，只能有k1.12已知點(diǎn)o為坐標(biāo)原點(diǎn)，a(0,2)，b(4,6)，t1t2.(1)求點(diǎn)m在第二或第三象限的充要條件；(2)求證：當(dāng)t11時，不論t2為何實(shí)數(shù)，a、b、m三點(diǎn)都共線；(3)若t1a2，求當(dāng)且abm的面積為12時a的值(1)解t1t2t1(0,2)t2(4,4)(4t2,2t14t2)當(dāng)點(diǎn)m在第二或第三象限時，有故所求的充要條件為t20且t12t20.(2)證明當(dāng)t11時，由(1)知(4t2,4t22)(4,4)，(4t2,4t2)t2(4,4)t2，不論t2為何實(shí)數(shù)，a、b、m三點(diǎn)共線(3)解當(dāng)t1